线性方程组迭代解法的启发式教学实践

陈浩 王小丽

摘 要：通过线性方程组迭代解法研究，介绍了在数值分析教学中如何培养学生创造性思维以及分析问题和解决问题能力的一些教学实践.

关键词：线性方程组；迭代法；欧拉方法；改进欧拉方法

Abstract：By introducing to students several different iterative methods for solving linear equations，some experience is obtained to show how to cultivate students in creative thinking and the ability to analyze and solve problems.

Key words：linear equations； iterative methods； Euler method； modified Euler method

在数值分析的教学中，线性方程组的迭代法和常微分方程数值解法是两个重要内容，[1]其讲授往往是独立进行且少有联系的.笔者认为，将线性方程组与微分方程结合起来，利用微分方程数值方法的思想，启发学生思考这些方法是否可以用来迭代求解线性方程组，并由学生自己得出结论，最后给学生们提供求解线性方程组的新的迭代方法.这样做既可以将数值分析中两大看似没有关联的重要内容联系在一起，从而提高学生的认知和学习效率，又培养了学生独立思考问题、解决问题的能力，还能激发了学生学习数值分析的兴趣.本文将对此作一些初步的讨论。考虑线性代数方程组，这里，且假设矩阵的特征值均为正实数，.易知方程组存在唯一解，为构造解此线性系统的迭代法，我们将其与如下常微分方程初值问题联系起来

即线性代数方程组的解为微分方程组的稳定解.我们的想法是利用数值方法求出微分方程（1）的数值解，若數值方法是稳定的，则此数值解将渐进趋向于线性代数方程组的解。接下来我们考虑用两类数值方法解微分方程（1）.设时间步长为，利用欧拉方法[1]可得

由前述分析可知，式（2）-（3）也可以看作为解线性方程组的带参数的迭代法，而为待定的迭代参数.由此可见每一类解微分方程的显式数值方法都可以诱导出一类解线性方程组的迭代算法，诸如由显式龙格-库塔方法及线性多步方法所诱导的迭代格式由于篇幅原因本文不再赘述。下述定理描述了两类迭代法收敛的条件。定理1设矩阵的特征值均为正实数且其最大特征值为.若，则欧拉型迭代法（2）和改进欧拉型迭代法（3）均收敛。即所得序列均满足。

证 1）由（2）式可知欧拉型迭代法的迭代矩阵为，则迭代法收敛当且仅当.设为的任一特征值，则迭代收敛要求，从而。

2）将改进欧拉型迭代法（3）中的中间变量消去可得

从而改进欧拉迭代法的迭代矩阵为。考察其特征值，从而当时有。

为了使得迭代方法的收敛速度更快，我们可以选择适当的迭代参数使得迭代矩阵的谱半径最小。

定理2设矩阵的特征值均为正数且最小最大特征值分别为.则当迭代参数取值为时，欧拉及改进的欧拉迭代法的迭代矩阵谱半径最小。

参考文献：

[1]李庆杨，王能超，易大义.数值分析[M].5版.北京：清华大学出版社，2008.

[2]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

作者简介：陈浩（1986-），男，汉族，重庆师范大学数学科学学院副教授。