线性代数实际教学问题讨论

朱晓星++袁泉

【摘要】本文分析了线性代数课程的内容特点，教学中所面临的实际环境，以及目前较为普遍多样的授课模式，探讨在课程内容衔接、主线确立、学习规律、数学之美、慕课模式借鉴等方面进行优化教学。

【关键词】线性代数  线性方程组  矩阵  秩

【中图分类号】G642                              【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2016）11-0140-02

一、研究背景

线性代数作为诸多理工科课程的基础课程，尽管本身学时不长，但对于后续课程的学习却起着关键性的作用。在教学过程中既要使学生获得必要的基础知识， 同时又具有必要的基本能力。 能力的形成与思想方法的掌握是密不可分的。代数学的基本思想方法有技巧性的数学方法、逻辑性的数学方法、宏观性的数学方法等[1]。关于如何合理安排教授内容章节来教授线性代数，许多高校组织了学者进行探讨教改，并且整理出版了自己的教材，其中以同济大学的教改成果尤为突出，其出版的《线性代数》第三版还获得了2000年中国高校科学技术二等奖。我校也依据本校学生特点，重新编写了《线性代数》[2]教程，在此基础上，进行了一系列教改探讨及教学建设，该课程也被评选成为江苏省精品课程。

二、教授线性代数课程面临环境

1.学生初次学习线性代数课程，会觉得该课程概念多而且抽象，实际生活中也难找到佐证。行列式，方程组、矩阵、二次型等概念框架思路不同，彼此间也难发现其深层次联系，证明繁多，且思路与高等数学证明体系完全不同，初学者极易产生畏惧心理。

2.针对线性代数课程中所遇问题，很多专家学者给出了不同的授课模式，诸如探究式课堂教学、问题解决型课堂教学等模式，然而，对于以上的教学模式，首先对授课人数有了要求，小班教学情况下，才有探究式教学的空间，这对教职工人数和工作量安排提出了较高的要求，在一般工科学校中很难有这样的教学环境;问题解决型更是对学生的基本数学素养有较高的要求，这对于线性代数这样的为大一大二学生而设的基础必修课而言，也有由较大的难度。

三、线性代数的教学尝试

1.课程衔接

线性代数虽然课时不多，但是和高等数学一样是整个大学学习的重要理论基石。这点可以由研究生入学考试中必含有线性代数部分可以得到体现。大部分学生都有在大学二年级学习线性代数课程，经过大一阶段高等数学的学习，已经掌握了学习高等数学时不同于初等数学的学习方法，然而高等数学重视解题能力，强调学以致用，这一点在大学物理的学习过程中也得到了充分体现。初上线性代数课程时可向学生说明，作为基础课程，不一定能做到理论映射到现实生活中。所谓的学以致用，线性代数也在强调工具的应用，但工具并非都是解决实际问题，解决数学问题、专业问题的也称之为工具，线性代数这门学科主要锻炼学生的抽象思维能力以及逻辑思维能力。这与高等数学体系的思维锻炼侧重点不一样。当然，线性代数和高等数学也不是完全割裂的。例如说，可以在刚开始介绍行列式的时候提及解决隐函数方程组所用到的雅克比行列式，其实就是求解二元一次方程组的系数行列式。再如讲到向量组的线性相关性，可以结合解析几何中混合积的几何意义加以释义。诸如此类，让学生能够觉得数学课程虽然分类众多，但彼此间联系紧密。

2.确立主线

初学者在学习线性代数，容易被纷杂抽象的概念所吓倒，有一定的消极心理，不能真正做到主动学习，即便学完线性代数课程，脑海中的印象也就止于一堆堆抽象的定义、枯燥的定理。其根本原因在于教师在授课时候没有有效的给学生贯穿一条线性代数的学习主线，把繁多的知识点串联起来。让学生真正知道自己学到了什么，并用之于以后的进一步学习中。关于线性代数主线的讨论，许多学者给出了自己的建议，有的从矩阵出发，有的从方程组出发，还有的从向量组出发，笔者认为以“初等变换”这一联系方程组、矩阵、向量组三者之间的知识点作为主线或者更能收到成效。要把这一想法付诸实施，授课模块的调整也是有需要的。将行列式和高斯消元法放至首章，紧随着介绍矩阵的定义和基本性质，然后再转入向量组的学习，在利用向量组的知识讲解方程组解的结构时可进一步强调“初等变换”这一主线的重要性。

3.螺旋式切入

实际授课环境中，由于概念定理的抽象性，不可机械地填鸭式教育。根据德国心理学家艾宾浩斯的遗忘曲线理论，如果能增强知识点的螺旋式切入，不断的用已经学过的知识点来“推陈出新”，让学生做到前后衔接，融会贯通。例如：在方程组的讲解过程中，利用高斯消元法求解方程组时，要重点强调“初等变换”知识点的学习，并将其作为后续知识点的重要串联点。学习向量组的性质时，为了能呼应刚结束的方程组知识，可以通过分析线性齐次和非齐次方程组，利用方程组的初等变换来化简方程组，可以得到关于向量组的两个重要结论。

①即向量β可以由向量组α1，α2，…，αs线性表出的充要条件为以向量α1，α2，…，αs为系数列向量，β为常数项向量的线性方程组有解，并且每个解向量的分量就是一组组合系数。

② n维向量α1，α2，…，αs线性相关的充分必要条件是以α1，α2，…，αs为系数列向量的齐次线性方程组有非零解。

这样从方程组的知识到的向量组知识构成一个有效过渡。对于矩阵而言，矩阵可逆的相关结论可作为联系向量组，方程组，矩阵之间的重要纽带。

例如 ，矩阵可逆矩阵满秩;

矩阵行列式不为零;

行（列）向量组线性无关;

以该矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组有唯一零解;

特征值均不为零;

任一可逆矩阵一定可以分解为一系列初等矩阵的乘积，即意味着可逆矩阵矩阵与任意矩阵相乘就是对该矩阵进行一系列初等变换。在这样反复的把前面的知识点贯穿于新知识点的引入中，不但能使学生在初学概念时去除陌生感，也能同时巩固了对于前面知识点的理解。至于相似矩阵和二次型的学习，更是将这方程组、矩阵、向量组的知识点交互在一起的效果得到集中体现。

4. 体验数学之美

线性代数课程中尽管概念抽象，证明繁多，让很多学生感觉头疼，但如果选取一些典型证明，将证明思路详细分析给学生，让学生不仅在证明中学到如何应用理论，从而避免了枯燥记忆的努力，同时也去除了定理太多，以至于无所适从的茫然，也让学生可以从中学习到代数思考的方式，这点也是与高等数学不同之处。让他们在其中体会到逻辑之美，数学之美，或许能激发学生对于抽象数学的热忱。例如：定理3.7 矩阵的秩等于其列向量组的秩[1]，该定理的证明值得好好讲解。学生能够从其中仔细体会到行列式、方程组、向量组知识点互相转换的思考模式;再如线性空间的定义，可从一些简单的线性空间得介绍中体会到抽象数学之美;讲到线性空间的基底和坐标时候，线性空间中向量之间的线性运算可以借助于其一一对应的坐标的线性运算来实现，这样就可以一般线性空间与我们熟知的 维向量空间之间的同构，借此可以了解到不同线性空间的结构。进一步，在不同的基底下可以得到不同的坐标系，可以适当介绍仿射坐标系，并与熟知的空间直角坐标系作类比，顺带引出施密特标准化，并介绍其应用价值，并进一步引出一种特殊而重要的线性变化--正交变化，其在实际应用中可起到旋转坐标系的作用，解决了非标准二次曲面化标准型问题。

五、结束语

线性代数课程很紧凑，内容却很丰富，最能体现出代数学思想的就是线性空间部分，然而因为课时原因，线性空间教学部分被大大压缩，如何能够调整知识点，把线性空间的思想融入到课程当中去，也是一个重要课题。在探讨不同教学模式的同时，对于知识点的分配和讲解串联，也需要教师们加强内功修养，让学生能够更好地学习线性代数。

参考文献：

[1] 李小平 关于《线性代数》教学改革的一些思考[J] 大学数学vol.27，NO.3，2011（6）

[2] 殷洪友，肖光世，张娟，袁泉，朱晓星 线性代数[M] 高等教育出版社，2012

项目来源：南京航空航天大学本科教学改革与建设项目“线性代数中的若干问题研究”基金编号S003-081