边界条件依赖谱参数的非连续Sturm—Liouville算子的谱问题

闫丽 魏广生

摘 要：为了丰富Sturm-Liouville（S-L）微分算子的谱理论，研究了闭区间[0，1]上边界条件依赖谱参数的非连续S-L问题。首先利用该问题在直和空间上的等价刻画，给出了非连续S-L问题特征值与连续S-L问题特征值间的交替关系，即在非连续S-L问题的特征值的每个开子区间内都恰有连续S-L问题的一个特征值，进而由连续S-L问题的振荡理论推出非连续S-L问题的振荡理论。然后通过Prüfer变换和Hergloz函数的转换，建立了边界条件依赖谱参数的非连续S-L问题与边界条件为常值的非连续S-L问题的转换，得出转换后的特征值与转换前（除去有限个）的特征值相等。最后通过构造边界条件为常值的非连续S-L问题的特征函数求得其特征值的渐近式，从而得到了边界条件依赖谱参数的非连续S-L问题的特征值的渐近表达式。新的研究方法可推广到对间断点条件依赖谱参数的S-L问题研究。

关键词：算子代数；Sturm-Liouville微分算子；非连续条件；参数边界条件

中图分类号：O175.1 MSC（2010）主题分类：47A75 文献标志码：A

文章编号：1008-1542（2018）04-0321-10doi：10.7535/hbkd.2018yx04005

Abstract：In order to enrich the spectral theory of Sturm-Liouvillel （S-L） differential operators， the discontinuous S-L problem with boundary conditions dependent on spectral parameters on closed interval ＼[0，1＼] is studied. Firstly， by using the equivalent characterization of the problem in the direct sum space， the alternating relation between the eigenvalues of the discontinuous S-L problem and the eigenvalues of the continuous S-L problem is given. That is， there is exactly one eigenvalue of the continuous S-L problem in every open subinterval of the eigenvalues of the discontinuous S-L problem， and then the oscillation theory of the discontinuous S-L problem is derived from the oscillation theory of the continuous S-L problem. Through the transformations of Prüfer and Hergloz function， the transformation between the discontinuous S-L problem with boundary conditions dependent spectral parameters and discontinuous S-L problem with constant boundary conditions is established. The obtained converted eigenvalues are equal to those （excluding the finite eigenvalues） before the conversion. Finally， the asymptotic expressions of eigenvalues of discontinuous S-L problems with boundary conditions dependent on spectral parameters are obtained by constructing the eigenfunctions of discontinuous S-L problems with constant boundary conditions. The new research method can be extended to the study of the S-L problem with boundary conditions dependent spectral parameters.

Keywords：operator algebras； Sturm-Liouville differential operator； discontinuity conditions； eigenparameter-dependent boundary condition

Sturm-Liouville（簡称S-L）微分算子理论在研究许多数学物理问题中有重要的作用，其特征值问题长期以来受到物理学界和数学学界的关注。其中，非连续S-L问题基于许多物理背景和实际应用问题，例如：中间有结点的弦振动问题[1-4]、衍射问题[5-7]、质量转移问题[8-10]以及薄的叠层板块的热传导问题[11-13]；再比如地球物理中，地壳底部横波的反射[14-16]也会导致相应的S-L问题不连续，会产生一个跨越界面的条件，这个条件一般称之为“界面条件”或“转移条件”，即特征函数及其导数产生间断点。

3 结 论

基于文献＼[1＼]中的结论，针对非连续且边界条件含谱参数的S-L问题（1）—问题（5）的特征值给出了精细估计， 首先利用Hergloz函数的转换，建立了边界条件含谱参数的S-L问题与常值边界条件S-L问题的转换。然后通过直和空间的等价刻画， 证明了非连续S-L问题的特征值与连续S-L问题的特征值间的交替关系，并建立了该问题的振荡理论。最后得到了特征值的渐近表达式。研究结果为该问题的逆问题提供了理论依据。

參考文献/References：

[1] BENEDEK A I， PANZONE R. On Sturm-Liouville problems with the square root of the eigenvalue parameter conditions contained in the boundary conditions[J]. Notas Algebra Analysis， 1981， 10： 1-62.

[2] BINDING P A， HRYNIV R， LANGER H，et al. Elliptic eigenvalue problems with eigenparameter dependent boundary conditions[J]. J Differential Equations， 2001， 174： 30-54.

[3] DIJKSMA A. Eigenfunction expansions for a class of J-selfadjoint ordinary differential operators with boundary conditions containing the eigenvalue parameter[J]. Proc Roy Soc Edinburgh Sect A， 1980， 86： 1-27.

[4] EBERHARD W， FREILING G， SCHNEIDER A. Eigenfunction expansion for a regular fourth order eigenvalue problem with eigenvalue parameter in the boundary condition[J]. Int J Math Math Sci， 1992， 15： 809-811.

[5] FULTON C T. Singular eigenvalue problems with eigenvalue-parameter contained in the boundary conditions[J]. Proc Roy Soc Edinburgh Sect A， 1980， A 87： 1-34.

[6] HINTON D B， SHAW J K. Differential operators with spectral parameter incompletely in the boundary conditions[J]. Funkcial Ekvac， 1990， 33： 363-385.

[7] RUSSAKOVSKII E M. The matrix Sturm-Liouville problem with spectral parameter in the boundary conditions[J]. Algebraic and operator aspects， Trans Moscow Math Soc， 1996， 57： 159-184.

[8] HINTON D B. Eigenfunction expansions for a singular eigenvalue problem with eigenparameter in the boundary conditions[J]. SIAM J Math Anal， 1981， 12： 572-584.

[9] KOZHEVNIKOV A， YAKUBOV S. On operators generated by elliptic boundary problems with a spectral parameter in boundary conditions[J]. Integral Equations Operator Theory， 1995， 23： 205-231.

[10]RUSSAKOVSKII E M. Operator treatment of boundary problems with spectral parameters entering via ploynomials in the boundary conditions[J]. Funct Anal Appl， 1975， 9： 358-359.

[11]SHKALIKOV A A. Boundary problems for ordinary differential equations with parameter in the boundary conditions[J]. J Soviet Math， 1986， 33： 1311-1342.

[12]TRETTER C. On lambda-nonlinear boundary eigenvalue problems[J]. Mathematics Research Akademie， 1993， 71：1208-1216.

[13]ZAYED E M E， IBRAHIM S F. An expansion theorem for an eigenvalue problem on an arbitrary conditions[J]. Acta Math Sin （Engl Ser）， 1995， 11： 399-407.

[14]WEI G， XU H K. Inverse spectral problem with partial information given on the potential and norming constants [J]. Trans Amer Math Soc， 2012， 364： 3265-3288.

[15]PIVOVARCHIK V N. An inverse Sturm-Liouville problem by three spectra[J]. Integral Equ Oper Theory， 1999， 34： 234-243.

[16]GESZTESY F， SIMON B. Inverse spectral analysis with partial information on the potential. II. The case of discrete sprctrum [J]. Trans Amer Math Soc， 2000， 35： 2765-2787.

[17]江卫华，郭彦平，王斌.二阶微分方程组边值问题2个正解的存在性[J].河北科技大学学报，2006，27（1）：15-17.

JIANG Weihua， GUO Yanping， WANG Bin. Existence of two positive solutions to boundary value problems of second order systems[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology， 2006，27（1）：15-17.

[18]郭彦平，苗素荣，禹长龙.无穷区间上二阶三点差分方程边值问题正解的存在性[J].河北科技大学学报，2016，37（6）：556-561.

GUO Yanping， MIAO Surong， YU Changlong. Existence of positive solutions to boundary value problem of second-order three-point difference equations on infinite intervals[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology， 2016，37（6）：556-561.

[19]WEI G， XU H K. Inverse spectral problem for a string equation with partial information [J]. Inverse Problems， 2010， 26： 115004.

[20]GESZTESY F， SIMON B. On the determination of a potential from three spectra[J]. Amer Math Soc Transl， 1997， 2： 18-26.

[21]GESZTESY F， SIMON B. Inverse spectral analysis with partial information on the potential， Ⅰ. The case of an a.c. component in the sprctrum[J]. Helv Phys Acta， 1997， 70： 66-71.

[22] BINDING P A， BROWNE P J， WATSON B A. The Sturm-Liouville problem with the discontinuity conditions at an interior point and boundary conditions depending on the eigenparameter[J]. Proc Edinb Math Soc， 2002， 45： 631-645.

[23] 傅守忠， 王忠， 魏廣生. Sturm-Liouville问题及其逆问题[M]. 北京： 科学出版社， 2015.