不定积分凑微分法的问题类型

胡旭东

摘 要：凑微分法是积分运算的基石，也是积分运算的难点。如果能够对凑微分法做分类讨论，那么就可以使初学者抓住一根过河的绳子，这有利于他们迅速掌握凑微分法，为积分运算的学习打下一个坚实的基础。

关键词：不定积分 凑微分法

不定积分的运算方法包括直接积分法、凑微分法、第二类换元法、分部积分法，以及有理函数积分法等一些特定的积分运算方法。在所有的运算方法中，凑微分法是积分运算的基石，也是积分运算的难点。如果能够对凑微分法做分类讨论，那么就可以使初学者抓住一根过河的绳子，这有利于他们迅速掌握凑微分法，为积分运算的学习打下一个坚实的基础。下面对这个问题展开讨论：

一、凑微分法的本质

设具有原函数，即，，若，且可微，则由复合函数微分法有

，再由不定积分的定义有

.

定理1 设函数具有原函数，可导，则

由此可见，将凑成一个新的微分形式，再经过换元，可以将积分简化为更易求解的积分形式，该积分方法就称为凑微分法.

二、凑微分法的关键步驟

上述积分运算关键在于将凑成一个新的微分形式，再经过如是换元

，将积分简化为更易求解的积分形式。

这既是计算的关键，又是计算的难点，初学者往往就在这个步骤上出问题。通过实际教学发现，对此步骤进行分类研究是有利于初学者掌握凑微分法的。

三、凑微分法的主要分类

1、被积函数是复合函数，则直接利用凑微分

例1 求不定积分.

分析 利用凑微分法，将微分，令，则积分变为基本积分形式.

解

2、被积函数形如，且可以凑微分。其中

例2 计算不定积分.

分析 利用凑微分法，将微分，令，则积分变为基本积分形式.

解 .

3、被积函数不属于上述类型，即不能凑微分或能凑微分但是不能换元的情况

这种情况可以分为两种状态。一种是通过代数变形后可转化为类型1或类型2的；另一种是凑微分后用分部积分法求解。

（1）通过代数变形后可转化为类型1或类型2的

例3 计算下列不定积分：

（1） （2）

分析 （1）利用配方的代数变形，被积函数转化为类型1

解

分析 （2）利用分式分拆为部分分式后，被积函数转化为类型1

解 由于 ，所以

.

（2）凑微分后用分部积分法求解

例3 求不定积分 .

分析 利用凑微分，可以有，但是不能够把被积表达式做成的形式，故凑微分后可以利用分部积分公式

解 令，

.

综上所述，在分类的情况下，凑微分法有了一个相对完备的描述。只要在教学中坚持分类教学，就可以突破凑微分法的教学难点，使学生能都较好地掌握凑微分法。