微专题在新时期复习课数学思维训练中的应用

徐俊峰

[摘 要] 微专题能够结合学情进行问题的专门性手段设计与推进，微专题因自身所具备的时效性、针对性、灵活性以及细致性在新时期复习课的数学思维训练中成了必不可少的有效手段. 教师应在微专题的理论指引下精心设计课堂教学的形式并有效整合教学内容为思维训练的实施与实现保驾护航.

[关键词] 高中数学；微专题；优势；思维训练

■概述

1. 微专题

围绕一到两个紧密相关的知识或者思想方法而进行专门性的研究我们一般称之为“微专题”. 相对来说，微专题更具针对性，它能够结合学情进行问题的专门性手段设计与推进，时效性、针对性、灵活性以及细致性等显著特征集于微专题一身. 比如，教师在结合微专题进行数形结合大专题下直线与圆问题的相关设计时，应该将问题的条理性、问题结构的简洁与深度一一考虑进来，使得问题得到专门性的、有深度的研讨. 著名特级教师李金姣教授对于微专题就有“切口小，但能在尺寸之内做文章”这样的高度评价.

2. 数学思维与训练

数学思维是人的大脑与数学对象在数量关系、空间形式以及结构关系等方面的相互作用，它是一种理性的内在活动，这种内在理性活动一般会按照思维规律对数学内容建立认识，相对于静态的数学知识来说，思维活动则是动态的呈现.

数学思维活动的学习是数学学习的核心这一点是毋庸置疑的，培养良好的思维品质也因此成为数学学习的一个尤为重要的任务. 思维训练是比数学知识与解题技能的获得更为重要的环节，学生在科学合理的思维训练中能够使自身的分析与综合、抽象与概括、具体化与系统化等思维操作逐步得到针对性的有效锻炼，逻辑、形象以及直觉等各思维能力均能在此锻炼中得到培养与提高.

现代教学论的观点一直认定数学思维的教学才是数学教学的本质. 新课改中对于过程教学的强调也正因此而提出的. 实现思维训练的主阵地当然是课堂教学，因此，教师必须精心设计课堂教学的形式并有效整合教学内容为思维训练的实施与实现保驾护航. 微专题因其自身所具备的优势在课堂教学中显得更加不可替代.

■微专题在新时期复习课中使用的优势分析

从中学生思维发展来看，利用微专题进行思维训练也是极为合适的. 在大的知识框架之下对所学细节进行巩固与深化正是微专题的优势. 大的知识框架下对知识细节进行处理与分解并灵活运用与转化是学生学习的内在需求.

1. 定位精准

微专题所关注的问题相对集中，且其研究过程中所用的语言、符号、图像以及方法会不断重复地被使用，知识准确度高，方法运用上更熟练. 例如，很多学生谈及数形结合就会想到画图，不过，即使在解题中明确告诉学生此题可用数形结合的方法解决，学生也不一定能画出符合题意或者解题需要的图形. 事实上，即使问题已经被局限于解析几何的范畴内，学生有效作图的情况很多时候也不理想. 但是，微专题却能将研究的范围缩小得更为精简和准确. 例如，笔者曾在高三学生中开设过“数形结合中的直线与圆”这一微专题，将直线与圆问题的作图共性作为专门性的问题进行了探究，使学生在探究中清醒而深刻地认识到了作图的共同策略——作圆心到直线的距离.

案例1：已知一直线l，经过点P（-3，0）与单位圆O.

（1）分别求l与圆相交、相切与相离时的斜率取值范围.

（2）若l与O相切于A点，该直线方程与线段PA的长如何？

（3）若l与O相交于A，B两点，△OAB的面积最大为多少？

（4）若l与O相交于A，B两点，且满足■=■+■，点C也在该圆上，l斜率怎样？

（5）若l上最少存在一点，使得以该点为圆心、■为半径的圆与O有公共点，l的斜率最大值为多少？

（6）若圆O上有3个到l的距离为■的点，l的斜率取值范围如何？若这样的点有0，1，2，3，4个，各自对应的斜率取值范围怎样？

（7）若l的斜率是4，圆方程改成x2+y2=r2，则圆上有3个到l的距离为■的点，r的取值范围如何？若这样的点有0，1，2，3，4个，各自对应的r取值范围怎样？

学生的思维经过这种准确定位的训练从怎样解题有效地转变成了怎样将解题与点线距离相关联，在解决接下来的两道难题时也相对更加游刃有余.

（1）已知圆C：x2+y2-（6-2m）x-4my+5m2-6m=0，直线l经过点P（1，0），对任意实数m，l被圆所截弦长是定值，求直线l的方程.

（2）已知圆O：x2+y2=4，点M（1，■），AC，BD是过点M的圆的弦，这两条弦互相垂直，则AC+BD的最大值是多少？

准确在思维训练中意味着高效，学生对方法的概括与抽象也因此能够更快地实现.

2. 展示细节

微专题很多时候是教师在教学过程中临时追加的，一般发生在学生出现群体性的问题之后，所以，很多时候微专题解决的只是问题中的某一个步骤，因此，专注于这个步骤的处理时相对就会更加详尽. 例如，高三数学中有函数的“能成立”与“恒成立”这一常见题型，学生在分析题意时往往会出现表述方式上的一些不足，问题的后续解决正因为这些不足往往会面临失败，有时候还会出现错误观念被强化的现象. 这类綜合性的题目往往需要多个知识技能共同参与解决，教师在常规题的题意分析之后往往会继续后续问题的分析与解决，不过，很多学生在分析题意这一环节往往就会产生一些问题，题意分析中的一点思维训练对于这些学生来说是远远不够的，仍然有一部分学生还是不能真正理解题意的最终意图，更别提问题是否能够产生正迁移了. 笔者针对学生实际水平进行了“任意还是存在，最大还是最小”的微专题开发与探究，大量类似的问题被一一罗列了出来.

案例2：（1）恒成立：a>f（x）恒成立？圯a>f（x）max，a

能成立：a>f（x）能成立？圯a>f（x）min，a

（2）不等式f（x）>g（x）在区间D上恒成立？圯_______.

（3）设函数f（x），x∈D1，g（x），x∈D2.

①？坌x1∈D1，？坌x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____；

②？埚x1∈D1，？坌x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____；

③？埚x1∈D1，？埚x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____；

④？坌x1∈D1，？埚x2∈D2， f（x1）>g（x2）？圯f（x）____>g（x）____.

变式：已知函数f（x）=lnx+a（x2-x）.

（1）若对于x∈[1，2]，函数f（x）图像上的任何一点处的切线的倾斜角都不大于■，实数a的取值范围如何？

（2）若f（x）存在单调递减区间，实数a的取值范围如何？

（3）若f（x）在其定义域内单调递减，实数a的取值范围如何？

（4）若？埚x∈[1，e]，使得f（x）<-2成立，实数a的取值范围如何？

（5）若f（x）的图像与x轴有交点，实数a的取值范围如何？

（6）若f（x）的图像总在x轴下方，实数a的取值范围如何？

（7）若直线y=b2与f（x）的图像有交点，实数a的取值范围如何？

（8）设a>0，g（x）=-（a2-a+1）ex+2，若f（x）的图像总在g（x）下方，实数a的取值范围如何？

（9）设a>0，g（x）=-（a2-a+1）ex+2，是否对于任意x2∈[-2，2]，都存在x1∈[-2，2]，使得g（x2）

（10）设a>0，g（x）=-（a2-a+1）ex+2，若对于f（x）上任意一点M，在g（x）上总能找到一点N，使得线段MN与x轴平行，实数a的取值范围如何？

我们从这一系列的变式不难看出怎样正确分析出题意正是这个微专题的目标定位，过程中问题的等价转化是关键，运算上则相对要求较低. 细节上的精致探究正是这个微专题中所专注的思维训练之处，越是精致，方法上的掌控也就越发全面.

3. 思维深度开发

微专题的研究一般紧紧围绕一个目标进行，因此，时间与精力全都投入在了这唯一的目标上. 而且，教师引领学生围绕目标所进行的挖掘可以由教师进行调节，因此，各个层面的学生都得到了教师的分层照顾，因材施教真正得以体现.

案例3：不等式最值问题中换元和配凑的应用.

●一元变量

（1）x>2，x+■的最小值为______.

●二元变量

（1）已知正数x，y满足x+2y=2，则■的最小值为_____.

（2）已知正数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为_____.

（3）已知正数x，y满足x+y=2，则■+■的最小值为_____.

（4）已知实数x，y满足x>y>0，x+y≤2，则■+■的最小值为_____.

（5）已知实数x，y满足x>y>0，則x2+■的最小值为_____.

●三元变量

（1）已知正数x，y，z满足x-2y+3z=0，则■的最小值为_____.

（2）已知正数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当■取得最大值时，■+■-■的最大值为_____.

不同思维与能力水平的学生可以结合自身的情况在上述练习中依次感受和体验如何换元与配凑. 题目的深化使得学生的思维也随之逐步深化，思维能力在掌控性的练习中不断提高.

4. 师生交往真实而活跃

人类大脑所拥有的思维当然不可能是一次性的，在思维训练过程中呈现螺旋式上升的思维活动也要不断地经历批判与改造的洗礼. 微专题中所要解决的问题一般只是思维训练中一个微小的环节，会的学生或许可以围绕这一环节尽情抒发自己的想法与体验，不会的学生也会因为问题的微小而能够具体表达出自己的困惑，对于自己的错误也能相对轻松地重新认识，在大而多的问题面前索性一无所知、无从下手的混沌与模糊也不至于产生. 正确与错误在短时间内得到了辨析与探究，真理在辨析与探究中也就越发显得清明，师生之间的交流越发显得活跃有氛围，学生的数学思维品质在微专题的思维训练中也得到了不断的锻炼与优化.