中学数学部分概率内容的问题与建议

罗荔龄，曹广福



中学数学部分概率内容的问题与建议

罗荔龄，曹广福

（广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006）

针对中学概率论中部分重要概念以及教学中常见的问题展开讨论，从历史发展的角度出发指出，教材最好先系统介绍概率论，在此基础上再介绍统计．应该明确基本事件与随机事件之间的关系，随机变量概念的定义适宜严格化，特别是不适合将随机变量与函数做类比，前者是随机现象的量化表示，是一个数学化过程，后者是不同确定性事件量化后的数量关系，两者不属于同一个范畴，随机变量的合适类比对象是确定性变量．同时指出，随机思想、随机方法是概率教学价值的两个重要方面．此外，对教材中出现的一些疏忽提出了一些建设性意见，并指出有必要将分布函数引入中学课堂．

随机事件；样本空间；随机变量；分布函数

1 引言

客观世界充满着随机性，老天爷阴晴不定，说变脸就变脸，土地老爷又何尝能够捉摸，很难说哪天不高兴了一跺脚，某地就发生地震了．宏观世界如此，微观世界也是如此，粒子的运动就充满着不确定性，空气中的悬浮微粒就在不停地做着无规则运动，这就是著名的布朗运动．虽然概率生于赌场，但随着理论的不断完善，这一理论在自然科学、社会科学中发挥着越来越重要的作用．无论是工程理论中的噪声问题还是经济、金融理论中的风险问题都与该理论有关（参见文[1]）．

世界上中学阶段教授概率的国家不只有中国，美国、英国、日本等国家在高中阶段也开设概率课程．中学阶段是否有必要学习概率？这似乎是个有争议的话题，也许这里该讨论的不是开不开设概率的问题，而是怎么开设？开设到何种程度？教材通常将概率与统计交叉融合在一起，例如某版教材高中版在数学选修1-2、选修2-3以及必修3中都以交叉的方式介绍了概率与统计，必修3先介绍统计再介绍概率，选修2-3则反其道而行之．这与大学阶段的概率与统计教学很不相同．大学阶段通常是先系统地学习概率论，再学习统计学（参见文[2]），这么安排是有道理的，事实上，虽然概率与统计密不可分，但概率的诞生早于统计学，两者的思想方法也大相径庭，前者偏重于推理，后者侧重于归纳．概率是统计的基础，主要根据给定的数据观测、研究其性质，判断事件发生的可能性．而统计学则是通过搜集、整理、分析统计资料，认识客观现象的数量规律，根据观测的数据，思考其数据生成过程，预测、分类、聚类、估计等都是统计的主要形式，强调对于数据生成过程的研究，它具有客观、准确和可检验的特点．如果说中学概率教材有什么值得进一步改进的地方，其中之一或许将概率与统计分开更合适一点．中学教材并未对随机变量作严格的数学定义，只是给了一个直观描述．例如某版教材选修2-3是这样定义的：“如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．”这个定义没有把随机变量的本质特征揭示出来，而且很不严格，可能与教材没有在概率部分明确定义样本空间有关．随机变量的本质特征是什么？首先，随机变量是样本空间到实数域的一个映射，换句话说，给定一个样本点，就对应一个实数，但随机变量取什么值是不确定的，因为随机试验的结果是不确定的．其次，随机变量一旦确定下来，可以用它来表示随机事件．上述定义既没有强调随机变量的不确定性，也忽略了随机变量可以表示随机事件的重要特征．虽然对于中学生不一定非得给予随机变量严格的数学定义不可，但最好把随机变量的重要特征说清楚，否则，学生很可能对随机变量的引入莫名所以．这里针对中学概率论教学中常见的一些问题进行了深入的分析，试图找出一种行之有效的教学方案．

2 概率论的教育价值

概率论作为一门特殊的数学分支，其教育价值主要体现在两个方面．

（1）随机思想．学生习惯了确定性数学方法，对随机试验、随机事件等概念都很陌生，而随机思想对于认识随机现象、理解随机事件是非常重要的．虽然古典概型、几何概型都基于等可能性假设，但这种假设的基础实际上也是统计经验，可见随机思想的核心是认识随机现象背后的统计规律．通过大量观察发现规律性的结论对于习惯了确定性数学思维的学生是一个难点，而随机思想正是通过对大量偶然现象的观察与分析从而发现隐藏在其中的必然结果（概率），进而把握随机现象．

掌握随机思想的重要手段是随机试验，然而，大量重复试验在教学过程中是很难实现的，而概率恰恰是大量重复试验过程中随机事件出现频率的极限，这是教学中的一个难以解决的悖论．随着计算机技术的发展，随机模拟成为一个有效手段，例如著名的蒙特卡罗方法就是用来模拟随机试验的重要方法．不过对于目前的中学教师而言，把随机模拟引进课堂可能不太现实．不妨简单向学生介绍一下，利用计算机可以模拟随机试验，一些数学软件如Mathlab就可以做这些事．另一个办法是结合学生的生活经验，例如不会有学生怀疑投掷硬币时出现正反面的可能性不同，在此基础上说明，如果进行大量投掷，正面朝上的频率会越来越接近1/2，即正面朝上的概率为1/2．虽然中学阶段不可能向学生介绍大数定理，但通过这类简单问题的阐述应该容易让学生理解频率与概率之间的不同．

（2）随机方法．中学教材涉及的概率中的概念并不少，不仅介绍了随机试验、随机事件、古典概型、几何概型，甚至对随机变量、二项分布、均值、方差、正态分布等都有介绍，但貌似缺少一点系统性与严谨性，让人感觉有些凌乱．

直观不等于不要严谨，例如某版教材是这样介绍随机事件的：“对于某个现象，如果能让其条件实现一次，那么就是进行了一次试验，而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．”这里的事件指的是什么事件？基本事件还是随机事件？接着，教材以开始时的几个例子说明什么叫必然事件，什么叫不可能事件，什么叫随机事件．教材写道：“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．”在古典概型一节又回过头来定义什么叫基本事件，即“在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件”．这个说法有失严谨，什么叫基本结果？与“每一个可能的结果”有什么不同？随机事件与基本事件之间是什么关系？教材一概不提，这样很容易让学生如雾里看花般弄不清概念的内涵．事实上，基本事件是一个相对概念，正如掷一枚质地均匀的骰子，如果把奇数用白色涂上，偶数用黑色涂上，每次投掷骰子有两个可能的结果：“白色”或“黑色”，这与“奇数”或“偶数”本质上没有差别．

处理随机现象的一般方法是什么？教材并未给予总结，众所周知，“感知、归纳、抽象、巩固、运用”是课堂教学的几个基本环节，作为一个与其它数学分支有着完全不同思维方法的重要内容，至少应该帮助学生梳理一下处理问题的基本方法．概念的定义也应该是严格的．那么概率的基本处理方法是什么？教师在一些实例的基础上不妨帮助学生总结一下．有几个基本概念是需要梳理清楚的：随机现象、随机试验、随机试验所有可能的结果（样本空间）、基本事件（样本点）、随机事件（样本空间的子集）、频率、概率、随机变量、分布函数．尽管教材中没有介绍分布函数，但既然提到了随机变量，而且也介绍了一些特殊的概率分布，完全可以没有难度地引入分布函数的概念．在此基础上说明处理随机现象的一般方法：（1）明确随机现象或随机试验（随机假设）；（2）确定问题的目标（要解决什么问题？即需要计算何种随机事件的概率？）；（3）根据目标确定样本空间（同样的随机试验可能导致不同的样本空间，所以问题的目标很关键）；（4）计算随机事件的概率．如果按照这样的处理方法，教材其实不必过分强调古典概型与几何概型，只需要强调等可能性是针对什么试验作出的假设就可以了，学生不仅不会对教辅材料中的随机射线问题产生疑惑，甚至对于贝特朗问题的不同解答也能理解．总而言之，等可能性假设不过是一种特殊的随机假设，只需根据随机假设与问题的目标确定样本空间与概率分布（分布函数）就可以了，这是处理概率问题的一般方法．

3 教材中值得商榷的一些问题

通过对某个版本教材的分析，感觉概率与统计的编写存在许多有待改进的问题．从编写体例看，教材中例子很多，但缺少严格的数学定义，虽然中学阶段对概率的要求不高，尤其是随机变量只做直观解释，但直观不等于不要严谨，尤其是不能出现令人无法理解的概念．例如某教材是这样引入随机事件的．

3.1 随机事件及其概率

3.1.1 随机现象

观察下列现象：

（1）在标准大气压下把水加热到100℃，沸腾；

（2）导体通电，发热；

（3）同性电荷，互相吸引；

（4）实心铁块丢人水中，铁块浮起；

（5）买一张福利彩票，中奖；

（6）掷一枚硬币，正面向上．

这些现象各有什么特点？

（1）、（2）两种现象必然发生，（3）、（4）两种现象不可能发生，（5）、（6）两种现象可能发生，也可能不发生．

在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就叫随机现象．在自然界和人类社会的生产与生活中，存在着大量的确定性现象和随机现象．

对于某个现象，如果能让其条件实现一次，那么就是进行了一次试验．而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．

可以看到，如果把（1）、（2）的条件各实现一次，那么一定出现“沸腾”与“发热”的结果，“沸腾”与“发热”都是一个事件．这种在一定的条件下，必然会发生的事件叫做必然事件．

当（3）、（4）的条件各实现一次时，“吸引”与“浮起”也都是一个事件，但这两个事件都是不可能发生的．在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件．

当（5）、（6）的条件各实现一次时，“中奖”及“正面向上”也都是一个事件，但这2个事件可能发生，也可能不发生．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．

必然事件域不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是随机现象．

以后用，，等大写英文字母表示随机事件，简称为事件．

…………

3.1.2 随机事件的概率

前面已经学习过用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在0~1之间的一个数，将这个事件记为，用()表示事件发生的概率．对于任意两个随机事件，()必须满足如下基本要求：0≤()≤1．

怎样确定一个事件发生的概率呢？

奥地利遗传学家孟德尔用豌豆进行杂交试验……

3.2 古典概型

有红心1、2、3和黑桃4、5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取1张，抽到的牌为红心的概率有多大？

若进行大量重复试验，“用抽到红心”这一事件的频率估计概率，工作量较大且不够准确．

有更好地解决办法吗？

如果把“抽到红心”记为事件，那么“抽到红心”相当于“抽到红心1”“抽到红心2”“抽到红心3”这3中情况，而“抽到黑桃”相当于“抽到黑桃4”“抽到黑桃5”这2种情况，因为是任意抽取的，所以可以认为出现这5种情况的可能性都相等．

当出现抽到红心1、2、3这3种情形之一时，事件B就发生了，于是()=3/5．

在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．如在上面的问题中，“抽到红心1”即为一个基本事件．若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．

上面的问题具有以下两个特点：

（1）所有的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件的发生都是等可能的．

将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．

…………

先来分析一下上述基本内容．教材首先定义了随机事件：“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．”在第二节又定义基本事件：“在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．”什么叫基本结果？基本事件与随机事件之间是什么关系？教材一概没有解释．在定义古典概型时，教材利用统计意义下的概率来说明频率与概率的关系：“若进行大量重复试验，‘用抽到红心’这一事件的频率估计概率，工作量较大且不够准确．”这句话实际是具体否定了这一做法，进而转向等可能性事件，得到古典概型的定义．把概率的历史来了个乾坤颠倒．如此处理的合理性是什么不得而知，至少这是对历史的不尊重．众所周知，统计意义下的概率来自贝努利，它的产生在古典概型之后，这个定义本身就存在逻辑循环的问题，现在再来一个乾坤颠倒，即使是学过概率的人恐怕也被绕晕了．如果中学教材不介绍互斥事件，按上述方法处理也还可以理解（互斥是基本事件的重要特征之一），可接着又在第四节介绍了互斥事件．这让人无法通过教材理清逻辑关系．几何概型的定义也显得有些粗糙：

设是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等），每个基本事件可以视为从区域内随机地取一点，区域内的每一点被取到的机会都一样；随机事件的发生可以视为恰好取到区域内的某个指定区域中的点．这时，事件发生的概率与的测度（长度、面积、体积等）成正比，与的形状和位置无关．把满足这样调价的概率模型称为几何概型．

这个定义应该来自数学辞海，什么叫区域？数学辞海是有定义的，但教材并没有定义，正如在定义古典概型时没有定义什么叫基本结果一样．其次，将概率说成区域的“测度”之比在这里是否合适？也许在这里将“测度”换成“度量”更合适一些．几何概型是古典概型的一种扩充，与古典概型的本质差别在于几何概型的样本空间是无限的，因此就不能用样本点的数量作为度量了．至于怎么度量无限的样本空间则需要专门的理论，这就是公理化概率论中提到的测度．不管学生对概念的理解是否有难度，作为标准化教材，概念的定义应该是严格的，宁可在概念之后向学生作出适当解释：由于涉及空间的度量问题，我们目前能做的仅限于部分几何概型．

中学教材涉及的概率中的概念很多，在理科选修2-3中随机变量、概率分布、独立性、超几何分布、二项分布、均值与方差、正态分布等无所不包，但依旧是例子加直观描述．在人们的理解中，从感知性的例子到抽象化或符号化的数学概念与定理应该形成一个逻辑严谨的完整知识体系，数学概念的内涵与外延应该是清晰明确的，遗憾的是，从某版教材中似乎没有能看到这一点．

教材为了讲超几何分布与二项分布，花了相当的篇幅介绍排列组合，达45页之多，超几何分布、二项分布则总共不过占据了6页的篇幅，显得有些头重脚轻．当然，排列组合本身也是重要的内容，作为一个独立的知识点讲授倒也无妨，但已超出这里谈及的主题．

在条件概率部分，教材设计了一个思考题还是很好的：

思考：若事件与事件互斥，则(|)等于多少？

这个问题可以有效地帮助学生理解互斥事件与后续介绍的独立事件之间的本质不同．

但教材也有一个疏忽，首先给出了条件概率的一个描述性定义：

一般地，对于两个时间和，在已知事件发生的条件下事件发生的概率，称为事件发生的条件下事件的条件概率，记为(|)．

在通过一个具体的例子说明了条件概率与概率的关系之后便指出：

一般地，若()>0，则事件发生的条件下发生的条件概率是：(|)=()/()．

这个等式是定义还是定理？教材没有明确说明，但从上下文（前面已经给出了条件概率的描述性定义）显然给读者一种暗示：这是个定理．很遗憾，这是条件概率的数学化定义而非定理，虽然很多概率论教材也是通过若干具体问题说明条件概率满足上面的等式，但似乎没有一个概率论教材把它作为一个定理或命题．

既然教材花了大量篇幅介绍排列组合，那么贝努力试验（二项式分布）的分析就不再是一件困难的事情，但教材又用了一个类似杨辉三角的图给予分析，这对学生理解二项式分布能带来什么帮助？它真的显得更直观吗？直接用组合（教材的第二种方法）分析方法不够吗？教材在排列组合一章已经介绍了二项式定理并给出了类似杨辉三角的二项式系数规律，这里完全没必要重复这一做法．

选修2-3中还有一个值得商榷的问题：教材介绍了随机变量与概率分布的概念，却没有介绍分布函数，然而，在后面的很多地方又使用了诸如(≤-1.49)、(0.57<≤2.3)之类的符号．如果学生能理解这些符号，就应该能理解分布函数，教材屡屡使用了分布函数却偏偏讳莫如深，羞羞答答不好意思挑明一个概率中堪称最重要的概念．分布函数是随机事件与确定性数学方法之间的纽带，虽然古典概型可以不涉及分布函数，但只要涉及无穷的样本空间，就无法避开分布函数，即使是离散的情形也需要搞清楚分布列是什么．

4 随机变量的严格化定义

大学教材对随机变量的定义是公理化的，这个概念对于中学生或许有些抽象，但作为教师应该有所了解．

定义1：假设(Ω,,)是概率空间，是定义在Ω上的实值函数，即对任意∈Ω，()∈R，如果对任意∈R，{∈Ω|()<}∈，换言之，{|()<}是随机事件，则称是一个随机变量．

随机变量的本质是将某种随机现象量化，即赋予每个随机结果（样本点）一个实数值，然后将随机事件通过该随机变量的取值范围来确定，从而可以采用数学手段进行处理．实际教学过程中，可以将上述定义中的3个要素具体化一些，例如，可以将定义修改成：

定义2：假设Ω是某个随机试验的样本空间（基本事件全体），是随机事件全体（Ω的子集，不一定是全部的子集），是Ω到实数域R的映射，即对任意样本点∈Ω，()∈R，如果对任意∈R，{∈Ω|()<}都是随机事件，即{∈Ω|()<}∈，则称是一个随机变量．

需要说明的是，教材将随机变量与函数做类比是不合适的，虽然他们都是映射，但从随机变量的本质看，两者不属于同一范畴．事实上，随机变量是样本空间（基本事件）的“量化”，但由于基本事件（样本点）具有不确定性，所以随机变量的取值也是不确定的，然而随机变量是将随机试验数学化的一个过程，或者说是对随机试验的符号化表达，是一个抽象过程．函数则是已经抽象之后的数学模型，也就是说，已经将现实中两个确定性的事件进行了数学化，通过两个事件之间的内在关系确定数学化后的两个量之间的内在关系，如果两个事件是变化着的，那么对应的量也是变化的，称之为变量，两个变量之间建立了某种关系之后，就称它们有函数关系，其中一个变量称为自变量，另一个变量称为因变量．从随机变量与函数可以看出，随机变量是从现实到符号的数学化过程，函数则是经过了对现实的数学化之后两个不同量之间的因果关系，也就是说利用数量之间的因果关系刻画现实的因果关系．随机变量与函数做类比仅仅抽取了两者的表象特征——“映射”，而“映射”是一个非常宽泛的概念，用“映射”做类比涵盖的可类比的东西很多，这种类比没有任何实际意义．如果以“映射”作为类比的特征，不仅随机变量可以与函数做类比，概率也可以与函数做类比，因为概率是随机事件到[0, 1]区间的映射，这种类比有意义吗？与概率有关的真正函数是分布函数，它是R到[0, 1]的映射．

两个对象之间的比较应该遵循一定的原则，即两者之间具有某种共同的本质特征，这种特征的内涵应该具有某种特殊性，否则概念的外延会变得很大，从而使得类比没有价值．提取对象的何种特征则需要视问题的目标而定．例如一个动物学家可能以“哺乳”作为特征进行动物分类，在这种分类标准下，人、狗、猫、猪等都属于一类．但他也可能以“语言”为特征进行分类，显然，人与其它动物不能归为一类，因为动物之间虽然也能传递信息，但没有与人一样的书面语言，口语也不发达．所以类比的标准非常重要．就随机变量而言，如果一定要将它与某个数学概念做类比，该提取何种特征才是合适的？这就要看随机变量从何而来，为了解决什么问题，这样才有可能找到合适的类比对象．如前所说，随机变量是现实与数学之间的一座桥梁，是随机现象的量化表达，这是随机变量的本质特征，与之做类比的数学概念自然也应该具有这种特征．一个可以与之类比的数学概念就是“变量”，因为变量也是一种映射，它是现实到某个数集的映射，其本质是将现实中的确定性事件数量化，从而通过不同量之间的内在关系（函数）反映现实中不同事件之间的内在关系，这样的例子比比皆是．只不过在函数论中掩盖了变量的本质特征，尤其是自变量的本质特征，一般的微积分教材不像引入随机变量一样引入变量，而是直接假定自变量在某个实数域内变化．

在定义了随机变量概念后，不妨回过头来用随机变量描述有限的概率空间，这样可以强化学生对随机变量的理解．假设Ω是具有个点的样本空间，是Ω的子集全体（它有多少元素？），记Ω={1,2,…,a}，令(a)=，则对任意∈R，{a∈Ω|(a)<}显然是Ω的子集，就是有限概率空间上的随机变量．

如何用随机变量描述古典概型？假设古典概型的样本空间为Ω={1,2,…,a}，可以定义随机变量为：(a)=，=1, 2,…,．

显然，

在贝特朗问题中，随机变量显然是弦长，按照3种不同的理解，第一种解答的样本空间是圆内任意弦的中点，第二种解答的样本空间是与一条固定直径垂直的弦之中点，第三种解答的样本空间是弦与圆过弦一个端点的切线的夹角．在第一与第三种情形，随机变量都是多对一的映射，在第二种情形，随机变量是一对一的映射．只要随机变量出现多对一的情形，就有可能导致度量方法的不同，歧义就无法避免．因此，在样本空间没有明确定义的情况下，避免出现歧义的有效方法也是合理的方法是根据目标确定合适的样本空间，使得随机变量是从样本空间到实数域的一对一映射，只要随机性不发生变化，目标（随机事件）不发生变化，尽管样本空间可能不同，但不同的样本空间可以做一对一的相互转换，所以不会产生歧义．贝特朗问题的第二种解答中，既可以取样本点为与一条固定直径垂直的弦，也可以取样本点为弦长，虽然得到的是不同的样本空间，而且两种不同的样本空间导出了两个不同类型的概率问题，前者是几何概型，后者是非几何概型，但答案是一样的．

5 要不要分布函数

中学教材介绍随机变量但不介绍分布函数多少有点令人费解，不介绍分布函数缘何要介绍随机变量？因为随机变量与分布函数是两个不可分割的概念，正是因为有了随机变量，使得随机事件可以用随机变量来表示，从而可以方便地表示随机事件的概率分布，即分布函数，换句话说，随机变量与分布函数是一个有机的整体．相对于教材很多后续的概念，分布函数并不显得更难理解，而且教材中很多概率问题的计算实际上暗含了分布函数的概念，一层窗户纸为什么不直接捅破呢？例如教材在介绍分布列时使用了诸如(2<<5)的表达式，为什么不稍微纯粹一点，把分布函数的概念引出来？与教材很多内容的风格类似，“生活化”的“杂质”把概率的“数学味”冲淡了很多，如此处理真的可以降低学生对概率理解的难度吗？恐怕未必．反而是五花八门的“生活化”例子有些让人眼花缭乱，把本质的东西给淹没了．有了随机变量的“数学化”定义，分布函数的定义也就水到渠成了．

定义3：假设随机试验的样本空间为Ω，是定义在Ω上的随机变量，称()={<}={∈Ω|()<}，∈R为的分布函数．

不同的随机变量对应的分布函数用不同的字母表示，或者在分布函数左下角用对应的随机变量标注以示区别，例如，随机变量的分布函数记为F()，随机变量的分布函数记为F()．

在上述定义中，中学生对于符号{∈Ω|()<}的理解可能会有些困难，困难之处在于{∈Ω|()<}为什么代表一个随机事件，但对于{<}应该没有任何理解上的困难．

对于中学生而言，了解什么叫分布函数就可以了，至于分布函数的性质可以根据实际情况决定是否有所涉猎，但作为教师，应该清楚分布函数的基本性质：

（1）对任意1<2，都有(1)<(2)（单调性）；

根据概率的性质可知（1）是显而易见的，但（2）与（3）的证明需要一点单调集合与测度的上下连续性等知识，虽然对于任何读过大学数学专业的本科毕业生来说应该不是一件陌生的事，但考虑到时过境迁，学生时代的很多知识由于疏于使用可能早已忘却，这也是情有可原的．至于分布函数的进一步性质，例如什么样的非负单调递增函数是某个随机变量的分布函数以及分布函数的结构就不是一般中学教师能够搞明白的了，需要一点有界变差函数的专门知识才能搞清楚，中学教师可以作为一种兴趣决定是否进一步在此方面钻研下去．

[1] 苏淳．概率论[M]．北京：科学出版社，2010：39-42．

[2] 盛骤，谢式千．概率论与数理统计及其应用[M]．北京：高等教育出版社，2004：114．

Teaching Discussion on Some Concepts in Probability Theory for Middle School

LUO Li-ling, CAO Guang-fu

(Faculty of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

This paper discussed some important concepts in the probability theory of middle school and the common problems in teaching. From the perspective of historical development, the article pointed out that the textbook should first systematically introduce the theory of probability, and on the basis of this, the statistics was introduced. The relationship between basic events and random events should be clarified, and the definition of the concept of the random variables should be strict. Especially, it was not suitable for the analogy between random variables and functions. The former was a quantitative representation of random phenomena, it was a mathematical process, the latter was the quantitative relationship after the quantification of different deterministic events. The two concepts were not in the same category, and the appropriate analogy of random variables was the deterministic variable. Meanwhile, it was pointed out that random thought and stochastic method were two important aspects of probability teaching value. In addition, some constructive suggestions for some carelessness in teaching materials were put forward, and it is pointed out that it was necessary to introduce distribution function into middle school classroom.

random event; sample space; random variables; distribution function

[责任编校：周学智]

2018–04–14

国家“万人计划”领军人才、广东省“特支计划”、广州市教育名家工作室联合资助

罗荔龄（1979—），女，广西临桂人，博士生，主要从事数学教育研究．

G632

A

1004–9894（2018）02–0065–05

罗荔龄，曹广福．中学数学部分概率内容的问题与建议[J]．数学教育学报，2018，27（2）：65-69．