高中数学新教材一个探究试验的商榷

樊彦朝 熊志权

⦿ 广东省珠海市第一中学 ⦿ 广东省珠海市教育研究院

1 问题提出

普通高中教科书人教A版数学选择性必修三(下文简称教科书[1])第56页的探究内容:

试验1从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验,变量X表示三个元件中的次品数;

教科书[1]中进行了提示和解答:

对于试验1,如果用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”,用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则样本空间

Ω1={000,001,010,011,100,101,110,111}.

笔者认为,试验1有以下4点可待商榷.

2 商榷点

2.1 商榷点1:至少含3个以上

试验1指出100个电子元件中“至少含3个以上次品”.“至少含3个以上”这是一个成分赘余的语句.“至少含3个”指的是“不小于3个”,“3个以上”指的是“多于3个”.“至少含3个以上次品”是一个有语病的句子,这在教材中是不应该出现的.

2.2 商榷点2:随机抽取3个

试验1中的表述“随机抽取3个”,一般是指一次性从总体中抽取3个样本.这三个样本不分先后顺序.教科书[1]中指出实验1的样本空间是Ω1={000,001,010,011,100,101,110,111}.如果我们认为此样本空间是正确的,那么样本空间中的样本点001,010,100代表的都是两个合格品,一个次品的情形,而且抽到次品时顺序分了先后,而合格品又没有考虑顺序.样本空间中的样本点011,101,110代表的都是两个次品,一个合格品的情形,而且抽到合格品时顺序分了先后,而次品又没有考虑顺序.这样的样本空间自身逻辑上是有矛盾的.

2.3 商榷点3:次品数

试验1指出100个电子元件中“至少含3个以上次品”.笔者认为,教材编者的意思是强调次品个数不少,至少含有3个.即使将“至少含3个以上次品”换成“至少含有3个次品”,试验1也是不明确的,对应的样本空间也是不确定的.如果次品数是99个或100个,那么一次性随机抽取三个电子元件(一把抓3个),都不会出现三个合格品的情形.

2.4 商榷点4:样本空间

样本空间是高中教材新引入的概念,但是这个概念在概率统计中是比较成熟的.在普通高中教科书人教A版数学必修二中样本空间是这样定义的:

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间(samplespace).

对于试验1,教科书[1]中提供的样本空间是不符合“样本空间”定义的.

3 改进意见

基于样本空间的概念,试验1的样本空间应该是什么呢?

随机试验的常用案例是抽取小球.通常有两种:一种是不同的小球,描述成大小相同的小球,用颜色进行区分,比如电子元件等;另一种是“完全相同”的小球,比如名额等.一般情况下,大小相同的小球本质上还是不同的小球,只是抽取的可能性相等.试验1中的电子元件可以看做是不同的小球.

为了充分理解样本空间,我们改进试验,并给出改进后试验的样本空间.

改进试验1:从100个电子元件(含80个合格品,20个次品)中有放回随机抽取3次,每次抽取一个元件进行检验.用C1,C2,C3,……,C99,C100表示这100个电子元件,则此试验的样本空间

Ω1.1={(Ci,Cj,Ck)|1≤i≤100,1≤j≤100,1≤k≤100,i,j,k都是整数}.

改进试验2:从100个电子元件(含80个合格品,20个次品)中不放回随机抽取3次,每次抽取一个元件进行检验.用C1,C2,C3,……,C99,C100表示这100个电子元件,则此试验的样本空间

Ω1.2={(Ci,Cj,Ck)|1≤i≤100,1≤j≤100,1≤k≤100,i,j,k互不相等,都是整数}

改进试验3:从5个电子元件(含2个合格品,3个次品)中一次性随机抽取3个元件进行检验.用A1,A2表示合格品,B1,B2,B3表示次品,则此试验的样本空间

Ω1.3={(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,B3),(A1,B1,B2),(A1,B1,B3),(A1,B2,B3),(A2,B1,B2),(A2,B1,B3),(A2,B2,B3),(B1,B2,B3)}.

这三个改进试验学生容易理解,都可以用于本章节的进一步学习与探究.

那么,什么样的试验的样本空间会是教材中给出的样式Ω1={000,001,010,011,100,101,110,111}呢?我们提出了以下3个改进试验.

改进试验4:抛掷一枚硬币3次,考察硬币出现正反面的结果.用1表示出现正面,用0表示出现反面,则此试验的样本空间

Ω1.4={000,001,010,011,100,101,110,111}.

改进试验5:从100个名额(80个A类名额和20个B类名额)中有放回随机抽取3个名额,每次抽取1个,用1表示A类名额,用0表示B类名额,则此试验的样本空间

Ω1.5={000,001,010,011,100,101,110,111}.

改进试验6:从100个名额(80个A类名额和20个B类名额)中不放回随机抽取3个名额,每次抽取1个,用1表示A类名额,用0表示B类名额,则此试验的样本空间

Ω1.6={000,001,010,011,100,101,110,111}.

4 结论

4.1 语言表达的严谨性

无论是思维的过程,还是表达的过程,都是语言承载思想.思想是思维的结果,体现了语言产生、发展与表达的内心活动[2].“至少”隐含着“以上”,“以上”也有“至少”之意.“至少”“以上”二者表示的是同一个意思,只能选用其一.“至少含3个以上”是病句,语病属于成分赘余.语言是思维的外壳,表达一定要规范严谨.

4.2 抽样方式的明确性

“随机抽取”就是随机抽样,是一种等可能抽取样本的方法,分为简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等抽样方法.简单随机抽样分“放回随机抽样”和“不放回随机抽样”.放回随机抽取3个(样本)通常是指有放回抽取3次,每次抽取1个(样本);不放回随机抽取3个(样本)通常是指不放回抽取3次,每次抽取1个(样本).“随机抽取3个(样本)”还有一种理解,就是一次性抽取3个(样本)即一把抓3个,这也是常规的理解.随机试验的抽样方式要非常明确.试验1中的表述“随机抽取3个”是一种含糊的表述,导致了随机试验的不确定,从而导致样本空间的不确定性.

4.3 样本空间的确定性