大学先修课程背景下美国AP微积分教材的编写特色与启示

王海青，汤志娜



大学先修课程背景下美国AP微积分教材的编写特色与启示

王海青1，2，汤志娜1

（1．广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006；2．惠州学院 数学与大数据学院，广东 惠州 516007）

中国大学先修课程计划是提升高中教育的整体水平和实现中、高等教育衔接的有效途径．而课程及其教材的开发是中国大学先修课程体系中的重要环节，它影响着课程的实施效果．摈弃不同的文化背景和价值理念，剖析美国AP微积分典范教材的编写特色和有益经验，有助于中国大学先修课程微积分教材的顺利开发．

大学先修计划；AP微积分教材；教材编写

大学先修课程是指在高中阶段开设的大学水平的课程．学生在课程结束后参加并通过全国统一组织的考试，便可在升入大学之前获得大学认可的学分．大学先修课程起源于20世纪50年代美国的教育质量改进运动，主要目的是帮助不同层次的学生如何充分利用高中最后两年（美国高中多为4年）和大学最初两年的时间，以缩短中学教育和大学教育的差距．1955年，美国大学理事会（College Board）正式推出大学先修计划（The Advanced Placement Program，简称美国AP计划），并且负责和主持大学先修课程的整个体系建设，包括课程设置、教材编写、教师培训及考试等．目前美国AP项目已经涉及22个领域、37门大学先修课程，AP成绩有四十多个国家近三千六百所大学承认其为入学考试标准．

1 中国大学先修计划提出的背景与目的

同样也是出于衔接基础教育与高等教育的需要，中国在2000年左右开始探索大学先修课程的开设．2013年1月，北京大学开始与全国部分中学合作试点开设“中国大学先修课程”．2013年5月，北京大学成立考试研究院并下设“中国大学先修课程中心”，于同年9月组织了首次考试并将考试成绩提供给985高校作为自主选拔录取的参考依据．自此，中国大学先修课程平稳有序地向前推进．

显然大学先修课程是选修课，只供学有余力的高中生修读，它不要求每个学生都必修，也不要求每所高中都要开设．大学先修课程的开设主要是为了促进高中不同层次学生的卓越发展、拓展当前高考制度下大学选拔人才的途径、提升高中与大学课程整体性的有效衔接[1]．同时也是教育国际化和教育主权战略的需要，是中国教育课程改革的一部分．近年来，中国出国留学人数持续走高且日趋低龄化，国外教育资源也越来越多地在中国办学．中国在校高中生每年参加美国AP考试的人数激增且成绩总体高于美国本土的高中生[2-3]．因此，教育的国际化现状对中国的大学造成巨大的冲击，同时教育主权问题也受到了挑战．而通过中国大学先修课程计划，可以逐步提高中国高等教育的影响力．

2 中国大学先修课程的教材开发

课程研制是教育过程的核心，分为课程规划、课程实施与课程评价3个阶段，其中课程规划包含了制定课程方案、研制课程标准、编制教学材料以及开发课程资源等[4]．课程规划与实施的落脚点都离不开教材.首批研发的微积分、线性代数、概率统计、文学写作、通用学术英语、物理力学、微观经济学、宏观经济学等8门精品课程已于2014年9月起在全国首批试点学校开始授课．而相应的教材讲义还在开发编制中．大学先修课程的定位、授课对象和价值体现增加了教材开发的难度．

课程研发虽然困难重重，但中国的大学先修课程也不能直接移植美国AP课程的体系．原因是中美两国的教育目的不同、基础教育与高等教育的课程体系不同、高中学生的基础不同，文化背景与价值观也不相同[5]．中国大学先修课程需要深思熟虑结合本土的实际进行教材开发，这也是至今为止还没有推出统一授课教材的重要原因之一．

中美教育的背景有巨大差异，但依然可以借鉴美国的成功经验为中国大学先修计划提供参考．有许多文献[1，6-11]在梳理美国AP课程的理念和价值的基础上为中国的大学先修计划提出了实施建议和途径．就大学数学先修课程而言，有少数的研究[12-15]涉及对中国大学数学先修课程（CAPM）的内容设置和美国AP微积分课程与教材内容体系的探讨．而AP微积分教材如何在确保内容难度相当的基础上有效组织教材体系与编写教学内容?关于此类思考的文献很少见到，这恰是目前中国大学先修课程微积分教材开发亟待解决的问题．

3 美国AP微积分教材的编写特色

美国AP课程数学类有微积分AB（Calculus AB）、微积分BC（Calculus BC）、统计学3个．微积分AB与BC都有各自的考试，区别在于内容有所不同．微积分AB内容大约占了大学一年的微积分课程内容的三分之二，微积分BC内容包括了大学一年的微积分课程内容的全部．微积分BC是微积分AB的延伸和扩展，不过对共同内容的理解深度和要求却是一致的[14]．

美国AP微积分教材独具一格的编写方式堪称是数学教材中的典范．下面以美国Saxon出版社2002年出版的由John H. Saxon Jr和Frank Y. H. Wang编写的AP微积分教材[16]为例，分析它的编写特点，为中国大学先修课程微积分教材的开发提供参考和借鉴．

3.1 遵循“螺旋式递进”的编写原则打破体系分散难点

绝大多数的数学教材内容编写都是按照一个单元或一个专题展开，模块清晰．AP微积分教材没有严格意义上的单元与模块，内容按课时编排．同一专题的内容没有呈现在连续的几个课时中，而是贯穿整本教材，难点分散，知识难度螺旋上升，这是Saxon出版社教材编写坚持的一贯原则．AP微积分教材（包含微积分BC课程的内容），全书共148课时，723页，前10个课时为预备知识．比如“导数”的内容共23个课时，分布在第19课时至第102课时之间；“积分运算”共21课时被分散在第32课时至第148课时之中．

“螺旋式递进”的编写方式使得每一专题的内容伴随学生整个学习过程，反复出现、逐渐强化、不断巩固，最终形成对知识的完整理解和把握．这符合高中学生的学习特点、思维层次和螺旋上升的认知心理规律．需要说明的是，这与国内基础教育课程改革中对数学教材内容的“螺旋式”处理有所不同．比如，国内有关“三视图”的教学内容，编者根据不同的教学目标和内容难度分别将其设置在小学、初中和高中3个阶段．而AP微积分教材只是将同一个专题的内容有序分散在教学时长不超过一年半的同一本教材中．

3.2 引入“rule of 4”知识的呈现方式直观化和多样化

所谓rule of 4（简称4规则）是指：每个概念都用图形、文字、数值、代数的方式呈现．Rule of 4在很大程度上降低了微积分形式推理的难度，为给优秀高中生提前进入到大学课程的学习创造了条件．微积分AB和BC课程主要是“为了发展学生们对微积分概念的理解以及为学生提供微积分方法以及应用这些方法的经验”[14]．因此，教材通过“rule of 4”引导学生用多种方式描述和理解概念、规则和方法，使之对所学的概念和技能有更深刻的领悟并有助于建立学习的自信心．

以第19课时“导数”概念的引出为例．教材首先通过具体的一次函数、二次函数的解析式及其图象复习“斜率”和“切线”的概念．接着考虑对于一般的曲线如何确定在某一点处切线的斜率？教材用了4幅图和数学符号来描述曲线在某一点处的切线可以看作是经过这点的割线的极限情形，于是切线的斜率等于割线斜率在切点处的极限．在此基础上引出导数的概念和代数形式表述，同时也说明了“导数”的几何意义．然后用了6个例题从多个角度深化学生对概念的理解．最后教材还专门利用图形计算器中的导数功能对其中两个例题进行数值代入验证结果，使学生在直观体验中对概念获得更丰富的认识，有助于理解记忆．

3.3 注重“先做后说”的教学原则

教材对许多规则、公式和定理的处理往往是先讲方法、运用方法，最后才讲方法后面的原理或证明，即所谓的“先实践操作后说理”．教材的编写者认为先掌握方法技能再推导证明过程有助于学生对知识本身的理解．但教材并不是直接给出方法让学生生搬硬套，也没有忽视形式的推理证明．在展示某一方法之前常常会通过具体的例子说明方法的适当性，学生对该方法有了一定的直观认识后再运用其解决问题．在获得技能的过程中促进了学生对方法的理解，也有助于掌握后面的形式推理过程．

以教材第25课时导数的运算法则

为例说明这一原则．教材先通过具体的特例来说明两个一次函数的和或差对应的斜率等于各自斜率的和或差．由此结合导数的几何意义直观归纳出运算法则(*)，接着运用(*)去解决3道例题．最后才利用导数的定义对法则(*)进行了严格的形式证明．

3.4 计算机技术融入教材重视图形计算器的使用与指导

“掌握用计算机技术帮助解题、实验、解释结果、验证结论”[14]是AP微积分课程的课程目标之一，这在教材内容上得到了充分体现．如前面提到的第19课时“导数”概念的内容，就借助图形计算器的数值代入、图象功能来验证形式推理的结果．AP微积分课程内容非常重视函数与图象的结合，特别是对函数图象的变化趋势的讨论．结合微积分的知识和图形计算器的强大功能，教材用了9个课时（第9、12、14、21、28、41、30、33、36课时）的篇幅探讨函数表达式及其图象．图形计算器可以帮助学生更好地理解函数表达式及其性质，降低形式推理论证的难度．

但AP微积分课程并非对计算器的使用不作限制．在利用技术之前，要求学生必须学会没有计算器的时候如何解决问题，而不能用计算器代替技能学习或者问题解决．这点与考试要求是同步的，AP微积分课程的考试分为可用计算器作答的Part A和不能使用计算器作答的Part B两部分题目[15]，可谓是兼收并蓄．

3.5 贯彻“递增式发展”原理展开新知例题解答详尽

递增式发展（incremental development）原理是指新知识的理解依赖于对旧知的把握，随着时间的推移不断构建知识结构．所以教材在每个主题展开前会先复习相关的概念、公式或者定理，这有助于学生理解新旧知识间的联系，促进对新知的学习．

新知的掌握依赖于例题的讲解和巩固．不管是概念还是公式、定理的应用，教材对每一个例题都给予详细的解答，并尽量结合图象或图示帮助学生思考和直观理解．这样编写例题有助于学生自学，降低理解的难度．解决相应的习题时初学者可以把例题作为一个参照，模仿解题的格式、步骤，学会分析题目．

3.6 强调“不间断的练习与回顾”课后习题精心设计

不间断的练习与回顾（continual practice and review）原则是指在整个学年通过习题反复训练学生获得技能方法，目的是强化学生的基础为接下来更复杂的学习做准备．从第11课时开始，许多精心设计的包含旧知的题目就在后面138个课时的练习中不断出现，确保学生能在25周或更长的时间里进行常规练习并促进记忆．这样学生在后续知识的学习中就有独特的优势，不至于忘记之前的概念、规则和方法而要常常回头复习．另外，课后习题也与教材内容的编排方式紧密结合、两相辉映，是教材不可分割的重要部分．“螺旋式递进”的编写方式打破了模块的体系，为了教学的顺利开展，课后习题需考虑周全、兼顾前后，在巩固旧知与新知的同时也为后续的学习做好铺垫．

4 启示

虽然AP微积分教材也有自身的缺点，如对计算和定理的形式推理要求较低，“螺旋式递进”的编写方式也有争议．但AP微积分教材内容与课程的指导思想、课程目标保持一致，及其独特的编写形式也为中国大学先修课程微积分教材的开发和教学的实施提供了有益经验．

4.1 AP微积分课程严格规范的研制过程保障其健康发展

大学承认AP课程学生的成绩是AP课程得以发展的重要因素．大学之所以认为AP微积分成绩“等同”于在大学里选修相同课程的学生的成绩，是因为高中选修AP微积分的学生学习的课程内容与难度跟大学的学生相当．更重要的是，这种“等同”的认识是通过AP课程严格规范的制订过程得以确定的[8]：

（1）大学教师参与制订AP课程每个学科的课程概述和考试准则；

（2）大学教师负责AP课程标准的设立和学生成绩的评估；

（3）AP课程和考试将根据至少二百多所大学对课程调查分析的结果和委员会中一些专业成员对课程大纲所提意见不断加以更新；

（4）大学曾把在校学生参加AP的成绩和AP课程学生成绩进行过比较研究，证实了AP课程设定的3级以上考试标准相当于大学课程标准．

4.2 AP微积分教材的编者具有坚实的微积分教学经验确保课程内容与课程目标的同步性

AP微积分课程提出了要让学生达到9个具体课程目标[8]．如：掌握用“rule of 4”来描述函数，并要理解这些表示方法之间的关系；能从“变化率”及局部线性近似两方面理解导数的含义，能用导数解决一系列问题；能从黎曼和的极限及变量变化的净累加两个方面来理解定积分的意义，并能用积分解决一系列问题等．课程目标具体明确，便于教师的实施和操作．

前面的教材分析体现了课程内容与课程目标的同步性．能够做到这一点的关键是大学教师负责AP微积分课程标准的制定并主导教材的编写，包括哈佛等名校的教授参与．他们具有坚实的微积分教学经验，对微积分这门学科的产生背景、内容发展和应用都有清晰的认识和独到的见解．他们参与AP微积分教材的编写能有效组织教材体系和内容，保证课程内容和课程目标相一致，为优秀高中生的成长创造了条件．

4.3 教材对“严谨性原则”的恰当把握有助于学生对知识的理解

历史表明，微积分产生于自然科学的现实需要，微积分的基础是逐渐严谨化的过程．对于新学者特别是高中阶段的学生难于理解抽象形式的定义、定理和证明，它们涉及复杂的数学符号系统和逻辑．因此，教材通过引入图形计算器、“rule of 4”及“先做后说”等方式方法组织教学，在很大程度上降低了形式推理要求，但也保持了适度的形式推理过程．

4.4 教材遵从记忆和认知的规律以学生为中心促进有效学习

教材的主要使用者是教师和学生，他们对教材的体验不可忽视．而微积分内容的特点、高中学生的年龄特征与思维层次都对教材的编写提出了高要求．既不能直接将大学的微积分教材直接搬进中学课堂，也不能只强调直观形象而完全忽视对形式化的要求．在保证课程内容与难度“等同”大学微积分的情况下，如何促进学生的学习？

教材在编写过程中充分遵循了记忆和认知的规律．比如，重复出现是学生将知识从短时记忆转向长时记忆存贮所必需的过程．所以教材采取“不间断的练习与回顾”原则处理课后习题，使学生能在后续学习中不断巩固之前的知识．另外，按照认知心理学的观点，学生对知识的获得是一个螺旋上升、不断建构的认知过程，新知识的理解依赖于对旧知的把握．为此，教材打破体系，采用螺旋式递进的方式编写．同时也遵循递增式发展原理，在每个主题展开前先复习相关的概念、公式或者定理．

[1] 罗祖兵，陈方．高中开设大学先修课程的困境与对策[J]．课程·教材·教法，2014，34（9）：97-102．

[2] 教育部考试中心．中外考试合作处2012年度报告[R]．中华人民共和国教育部考试中心，2013-01-03．

[3] 伍仞．中国AP考生数全球第二成绩高于美考生但有“短板”[N]．广州日报，2012-12-14（A10）．

[4] 黄甫全．现代课程与教学论学程（下册）[M]．北京：人民教育出版社，2006：361-363．

[5] 秦春华．如何定位中国大学先修课程[N]．光明日报，2014-12-2（013）．

[6] 杨明全．普通高中开设大学先修课程：理念、价值及实践路径[J]．课程·教材·教法，2014，34（9）：91-96．

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[10] 李杨映雪．中美比较视角下的中国大学先修课程及其特色[J]．数学教育学报，2017，26（3）：10-14．

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[12] 王尚志，胡凤娟．大学数学先修课与优秀高中学生的发展[J]．数学教育学报，2017，26（3）：5-9，14．

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[16]  JOHN H, SAXON J, FRANK Y H W. Calculus [M]. Wilmington: Saxon Publishers, 2002: 1-721．

Characteristics and Inspiration of AP Calculus Textbook under Chinese Advanced Placement Course

WANG Hai-qing1, 2, TANG Zhi-na1

(1. School of Mathematics & Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;2.School of Mathematics & Big Data, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China)

Chinese advanced placement course was defined as an effective way to improve overall level of high school education, and to join together secondary education and higher education. Thedevelopment of course and textbook was an important link of advanced placement course system, which would influence the curriculum implementation effect. It would be help to develop Chinese advanced placement course that we analyzed characteristics and beneficial experience of the American AP calculus textbook in the case of abandoning different cultural background and value concept.

advanced placement course; AP calculus textbook; textbook compilation

[责任编校：周学智]

2017–10–23

广东省教育科学研究课题——基于课程群理念的数学学科教育课程重构与教学方式研究（2014GXJK144）；2016年广东省本科高校高等教育教学改革课题——卓越人才培养模式下职前数学教师整体教学观的形成研究

王海青（1978—），女，广东河源人，副教授，广州大学博士生，主要从事数学史与数学课堂教学研究．

G40-059.3

A

1004–9894（2018）02–0074–04

王海青，汤志娜．大学先修课程背景下美国AP微积分教材的编写特色与启示[J]．数学教育学报，2018，27（2）：74-77．