中学数学中构造法解题的思维模式及教育价值

何忆捷，熊 斌



中学数学中构造法解题的思维模式及教育价值

何忆捷1，2，熊 斌1，2

（1．华东师范大学 数学科学学院，上海 200241；2．上海市核心数学与实践重点实验室，上海 200241）

在中学数学范围内，构造法是一种较为常见、富有特点的解题方法，其非常规性与创造性的思维特点受到一定的认同．构造法解题的4类思维模式包括：考虑特殊情形、联想与关联、命题转换和间接构造．在中学数学教育中融入构造法解题，具备一定的基础．将构造法解题渗透于教学实践中，有拓宽思维、培养创造力的特殊意义和教育价值．

构造法；解题；思维模式

在数学上，构造法是指按固定的方式经有限个步骤能够实现的，用来定义概念或证明命题的方法[1]．构造法由来已久．在中国古代，以秦汉时期《九章算术》与魏晋时期《刘徽注》为代表的中国传统数学，在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中，建立了以构造性与机械化为特色的算法体系[2]．19世纪末，数学基础的直觉学派提出构造性数学，并将构造法推向极致．直觉主义先驱克罗尼克主张没有能行性就不得承认它的存在性，布劳威尔更贯彻和发展了“存在必须被构造”的观点[1]．直觉主义者对于要确立其存在的那个对象要求一个构造性定义，“这个构造性定义必须由有限个步骤可以确定到任何需要的精确度”[3]．

在中学数学范围内，构造法是一种较为常见、富有特点的解题方法．一般认为，构造法解题大致可归结为“构造法作为辅助手段”及“存在性命题的构造证明”这两方面[4]．例如，构造函数证明不等式，构造解析几何模型求参数的范围等，属于前一方面，这时构造是一种使问题得以转化的辅助手段，并不是解决问题的目的；而直接列举出满足条件的数学对象或反例，导致结论的肯定与否定，则属于后一方面．需要指出的是，在一些问题中，要求给出满足条件的所有数学对象，或是满足条件的某种最优结果，隐含地需要对一部分情况予以证明，对另一部分情况予以否定，这些问题也常常涉及到实例或反例的构造．

这里在中学数学范围内探讨构造法解题的思维特点、思维模式及教育价值．

1 构造法解题的思维特点

许多国内数学教育者论述了构造法解题的思维特点．王延文（1993）认为，构造法解题的实质是根据数学问题的条件或结论的特征，用条件中的元素为“原件”，用已知数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并得到解决，其思维方式上常常表现出简洁、明快、精巧等特点，常使数学解题突破常规，另辟蹊径[5]．邵光华（2009）认为，构造法不同于常规的一步步寻求必要条件直至推导出结论的逻辑思维方法，属于非常规思维，没有完全固定的模式可以套用，具有鲜明的创造性；反例构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动[1]．周春荔（2012）认为，构造是思维中综合过程的一种最高级的表现形式和结果[6]．

尽管国外的数学教育研究几乎不涉及“构造法”这一术语，但亦有支持上述观点的论述．例如，Chamberlin与Moon（2005）认为，构造模型可引发创造行为和更高层次的思考，尤其是在综合的水平上，其中，模型是指由元素、元素间的关系、描述元素相互作用的操作、以及适用于这些关系与操作的模式或规则所构成的系统[7]．Mednick（1962）将创造性思维过程定义为“由关联元素形成新的组合，这些组合符合特定要求，或在某种意义上是有用的”，并认为新组合中的元素之间关系越远，代表形成新组合的思维过程或解答越有创造性[8]．实际上，这些来自不同角度的论述与构造法解题有许多一致的成分．

总体而言，构造法解题的非常规性与创造性的思维特点，受到一定的认同．

2 构造法解题的若干思维模式

在20世纪中期，美籍匈牙利数学家波利亚的论著《怎样解题》《数学与猜想》《数学的发现》构成了数学解题领域的奠基性工作[9-12]，其中，《数学的发现》对双轨迹模式、笛卡尔模式、叠加模式、递归模式作了详细的讨论[12]，这些可以视为数学解题的典型有用的思维模式．

在构造法解题这一具体领域，余红兵、严镇军（2001）所著《构造法解题》作为一本专门向中学生介绍构造法解题的小册子，通过分析具体的问题，谈到了一些解决构造问题的思考线索，例如，“观察分析问题中的数量关系，并据此构造适当的辅助图形”；“从问题中某些简单、特殊的情况着手……由此常可能诱导出所需的构造”；“在证明符合要求的事物有无穷个时，舍多求少的想法尤能派上用场”；“可以先检查一些简单和容易试验的特例，也许，试验的结果已提供了反例，或者能够提供构造反例的某些线索；也可能所审查的特例和命题一致，这多少使人有理由相信命题是真实的，我们可以试着去证明它”[4]．与关于数学解题的一般性的讨论相比，这里的叙述更凸显“构造”的形态．

许多学者侧重于构造法的某一方面探讨思维策略．例如，关于辅助模型的构造，有“确定目标，想象模型，初步构造，修正加工”的思考步骤[6]；关于反例的构造，有极端特例构造法、逼近构造法、直观构造法、尝试构造法[1]．冯跃峰（2008）以组合构造为主题，全面细致地讨论了构造法的15种思考策略——从“容易求值”的角度着手、从等号成立的条件着手、研究特例、研究最坏情形、逐增构造、递归构造、局部扩充、局部调整构造、对称构造、周期构造、分组构造、等价构造、充分条件、必要条件、待定参数[13]．这些策略在整体结构上显得较为松散，但从功能上看，有的侧重于尝试（如研究特例、研究最坏情形），有的侧重于命题转换（如等价构造、充分条件），也有的是实现构造的手法（如递归构造、局部调整构造），这可以启发人们对这些策略进行分类，每一类中的策略功能相近，各有具体表现形式．

在已有文献的基础上，结合对大量具体问题求解过程（包括学生实际解题时的心理过程）的分析检验，提出构造法解题思维模式的框架如下：

（1）考虑特殊情形（例如：构造并研究简单情形、极端情形、特殊形态等；增加约束以便搜索所需构造）．

（2）联想与关联（例如：从数量或图形结构特征展开联想，引入相关数学对象、模型或结论；构造辅助线、辅助量等过渡元素，逐步建立所考虑的对象之间的关联）．

（3）命题转换．

①考虑等价问题（例如：借助函数、解析几何、组合等模型将原问题等价转化为直观或容易处理的新问题；将问题或其一部分，归结为已考虑过的问题）．

② 考虑必要条件（例如：假定所需对象已被构造出，研究它的性质，试图从这些性质的某种组合出发，去寻找一个可行的构造）．

③考虑充分条件（例如：提出一个使题设条件成立的充分条件，用该条件替代原条件后，考虑如何进行构造）．

（4）间接构造．

① 从弱解得到解（例如：构造一类弱解，于其中筛选出解；构造一个弱解，再通过有限步调整，使原先未满足的条件亦得到满足）．这里，“解”指满足所需条件的数学对象，“弱解”则指仅满足其中部分条件的数学对象．

② 从局部到整体（例如：按某种程序逐步确定所需对象；分成多个局部作构造，再进行合成）．

3 构造法解题思维模式的一个说明性例子

这样，第（2）小题已经解决，当然对第（1）小题，尚需展开更远的“联想”与“关联”，或改从其他角度入手．

防错控制系统通过对装配结果的检测可以有效地减少各个工作站的错装率，提高Rh，从而提高整个系统的可靠度。

则有

从而得到解

它既保持了偶函数的性质，也已不再是常值函数了．第（2）小题亦可类似处理．

以上是问题1的一些代表性的求解思路，体现了构造法解题的若干思维模式．运用这些思维模式的其它表现形式，或是综合地运用多种思维模式来求解问题1，都是可能的．对于更多其他的构造问题，这些思维模式还可以有更丰富的表现形式和组合方式．

4 构造法解题的教育价值

在中学数学教育中融入构造法解题，具备一定的基础．

其一，大量的概念辨析及命题真伪的判断与论证，本身就需要借助实例与反例的构造．实例与反例的使用，对加深数学理解，提高解题能力均有益处，特别是反例的构造，有助于培养逆向思维以及创造性思维，有助于提高发现和纠正数学中的错误和漏洞的能力[14-15]．

其二，一些难以用常规的代数方法处理的问题，通过构造函数、构造解析几何模型等方式进行转化，使问题得到简化或直观化，这实际上是构造法作为辅助手段应用于解题的体现．

其三，构造法解题就其内涵而言，与中学数学教学与考试评价中已受广泛关注的“数学开放题”颇有相似之处．数学开放题通常是指已知、解决过程和所达目标中，有至少一项具有开放性的题目[16]．高质量的数学开放题，可以做到紧密联系数学双基，又可以为思维方式和过程提供更多空间[17-18]．有不少数学开放题，是要求解题者给出某种数学对象或作出某种设计，这也正是构造法解题所关注的一个重要方面．

事实上，通过留心关注、适当改编，可以积累丰富的构造法解题的素材．

用构造法解题，常以简短的篇幅给出严格的构造证明，或借助辅助对象的构造，使问题变得简明直观，这也许是构造法给人以简洁明快感的原因．但不能因此忽略解题者在实现构造前所经历的复杂思维过程．构造法解题的非常规性与创造性，使得常常需要非逻辑思维的参与，才能取得关键的进展．著名数学家庞加莱曾说：“逻辑不能告诉我们，为什么这些思路可以构成通往目的地的一条通道，出发不久就会碰到岔路口，逻辑无法作出正确的选择．”[19]波利亚认为，论证推理与合情推理是数学活动中相辅相成的两个方面．数学家创造性工作的成果是论证推理，即证明，但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的[10]．运用构造法解题时，学生常常不能机械地模仿、被动地思考，而要经历探究、发现与创造的过程．对于问题1，有的学生可能经历30分钟甚至更久才将其解出，事后却发现答案很简单．实际上，这个简单的答案并不是在解题一开始就浮现的，而是解题者通过多角度的探索，在对问题有相当熟悉的情况下发现的一种有意义的信息或信息组合．《普通高中数学课程标准（实验）》指出，高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识[20]．构造法解题与这一课程理念是相符的．对能力可及的学生而言，这种思维训练的价值是毋庸置疑的．

同样，也不能忽略一个构造问题的各种解法所蕴含的多重价值．例如，问题1对构造法解题的思维模式的体现比较丰富，如果仔细地分析讲解，当可使学生充分领略多种思考的角度．因此，哪怕是已被学生正确解答的问题，在一定情况下仍具有良好的拓宽思维的功效，值得充分利用．

综上，将构造法解题渗透于教学实践中，有特殊的意义和教育价值．以下是一些具体的建议．

5 构造法解题的教学建议

首先，在对构造法解题的基本特点和适用范围有良好把握的基础上，可以多注意积累有关素材，根据需要改编或创作一些问题．不妨将问题1与下述两个问题进行对比：

其次，可以为学生提供更多与构造相关的数学任务，有意识地为他们创造一些这方面的训练机会．例如，在要求学生理解概念、判断命题，或解决具体问题时，提供他们举实例和反例的训练；可以向学生提出一些解法高度开放的探究或设计任务；对于仍学有余力的优秀学生，则可以让他们接触一些离散数学题材的构造问题，因为离散数学领域有大量能体现构造法思维模式且饶有趣味的非常规问题，是对中学常规教学的有益补充．事实上，波利亚（2006）指出，数学教育应当使学生尽可能地熟悉数学活动的所有方面，应当尽可能为学生从事独立的创造性工作提供机会[12]．当然也应注意到，宽松的环境是孕育创造性思维的一大外部因素，故应当为学生留出一定的思考空间，不应施加太多的压力，比如题海战术．从某种意义上说，许多数学问题是特殊的，甚至是独一无二的，解决这样的问题不能仅靠机械的记忆和模仿，而是需要融会贯通和迁移，因此关键不在于训练强度，而是训练的质量．

此外，应当把握好构造法渗透于教学的尺度．第一，需要把握好高层次思维与基本知识技能之间的平衡，对前者的重视不代表对后者的忽视，相反，后者是学生长远发展的必要基础．第二，不应过分夸大构造法对解决数学问题的作用，实际上，存在性问题的构造证明与经典证明皆有重要意义，后者决不应受到忽视．第三，在鼓励学生运用构造法的同时，也要支持他们形成适合自己的解题风格，而不是强加干预．

总之，关注并挖掘构造法解题的素材，并合理地渗透于平时的教学活动中，对于学生（尤其是数学上有较大潜力的学生）的发展而言，有其独到的价值．这些潜在的价值何以去实现，有待进一步研究和实践．

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Thinking Patterns and Educational Value of Problem Solving by Constructive Method in High School Mathematics

HE Yi-jie1, 2, XIONG Bin1, 2

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice, Shanghai 200241, China)

Constructive method was a commonly used method, with its distinctive feature, in high school mathematical problem solving. The unconventionality and creativeness of thinking in applying constructive method was generally recognized. This paper put forward 4 kinds of thinking patterns in utilizing constructive method, including consideration of special cases, association and connection, propositional transformation, and indirect construction, which were illustrated by a further example. It had a certain basis to integrate the problem solving by constructive method into high school mathematics education. The instructional practice would be of educational significance in expanding students’ thinking and forstering their creativity.

constructive method; problem solving; thinking patterns

[责任编校：周学智]

2017–12–29

上海市核心数学与实践重点实验室数学实践课题——高中数学资优生培养的行动研究（18dz2271000）

何忆捷（1985—），男，上海人，讲师，博士，主要从事数学方法论与数学竞赛及数学资优教育研究．

G632

A

1004–9894（2018）02–0050–04

何忆捷，熊斌．中学数学中构造法解题的思维模式及教育价值[J]．数学教育学报，2018，27（2）：50-53．