数学教科书例题的分类及其教学建议

陆明明



数学教科书例题的分类及其教学建议

陆明明1，2

（1．南京市玄武区教研室，江苏 南京 210016；2．南京市高中数学渠东剑名师工作室，江苏 南京 210016）

数学教科书中的例题具有基础性、典型性、层次性、发展性和系统性，可分为Q型和P型两类．Q型例题是直接利用规则并按照一定程序去完成解答的例题，其功能是使学生形成自动化技能；教学分为3个阶段：形成产生式、产生式自动化和形成产生式系统．P型例题是通过建立数学模型完成解答的例题，其功能是获得策略性知识，形成执行复杂认知操作的产生式系统；教学可以从“弄清问题、分析问题、回顾反思、变式学习”4个阶段进行．

例题分类；例题教学；产生式；变式

如何提高数学教学效率是人们一直关注的重要课题．王光明教授指出：“数学教学效率的高低不取决于教师打算教给学生什么，而取决于学生实际获得了什么．”[1]可见，提高学生的学习效率是数学教学的关键．而学生学习效率的提高主要是通过教师有效的教，激发学生的内驱力，促进学生意义学习．例题是学生学习活动的重要内容，如何有效的教例题，尝试作一些探讨．

例题是数学教科书的重要组成部分．李善良博士指出：“教材中的素材要坚持4个字：精、典、新、思．……尤其是数学教材中的例题、练习、习题，必须考虑学生学习心理规律，根据数学运用的不同层次：辨认识别、变式练习、解决简单问题、解决复杂问题等，选配比较典型的题目，内部自成系统，相互联系，学生经过这些基本的训练足可以掌握相关知识与技能，并且这些习题的量是最小的．”[2]可见，数学教科书中的例题是编者精心选配的，具有基础性、典型性、层次性、发展性和系统性．

数学概念、原理和思想方法都比较抽象，例题就成了学生理解概念、原理，领悟数学思想方法的具体途径，例题教学也就成为数学教学的基本形式[3]．文[4]从宏观层面提出数学教科书中的例题具有示范引领、揭示方法、介绍新知、巩固新知、思维训练和文化育人等6个功能，具有普适性．例题教学中，有效的教的方式取决于教科书例题的功能定位．如何准确定位教科书例题的功能，需要对教科书例题进行分类．即根据教科书例题的分类，明确不同类型教科书例题的功能，据此确定有效的教的方式．

1 教科书例题及其分类

1.1 从例题的语义上理解

关于“例”．现代汉语词典解释如下：“【名词】①从前有过，后来可以仿效或可作为依据或标准的事物．②用作依据的标准或规则．③例子．④调查或统计时指合于某种条件的事例．【动词】比照；比类．【形容词】按条例规定进行的．【副词】按规定．”古汉语词典解释如下：“①类别．②规则，条例．③照例．”

由以上解释不难看出，例题应该具备4点基本属性．首先，是一个标准，具有基础性，强化“近利”（即基本知识和基本技能），融入“远虑”（即基本思想和基本活动经验）．其次，是一个比类，具有代表性，代表一类问题．再其次，是一个例子，具有典型性，代表中的代表．最后，是一个照例，不仅具有示范性（模仿的榜样），而且具有规范性（准确运用数学语言表达）．

1.2 教科书例题的构成要素

例题，现代汉语词典解释如下：“为说明某一定理、定律或原理而举出来用作例子的问题或题目．有时附有具体的解释．”不难看出，例题的本质是问题（包括题目）．教科书是教与学双边活动的最重要媒体[2]，不仅是教师实施创造性教学的重要材料，也是学生学习活动的重要线索．所以，教科书例题不仅包括对问题的陈述，还包括完整的、规范的解答；对于一些综合性例题，还应给出必要的分析过程．综上，教科书例题应具备两个基本要素：问题和解；必要时，附分析过程．

1.3 教科书例题的分类

喻平教授提出了4种数学解题教学模式：“认知建构模式、自动化技能形成模式、模型建构模式和问题开放模式．认知建构模式是指通过系列变式问题的解决，促使学生建立良好的认知结构．自动化技能形成模式是指通过解决直接利用规则并按一定程序去完成解答的问题，促进学生获得自动化程序性知识．模型建构模式是指通过建立数学模型解决问题，促使学生获得策略性知识，提高分析问题和解决问题的能力．问题开放模式是指通过开放性问题的解决，促使学生巩固陈述性知识，发展策略性知识．”[5]不难看出，自动化技能形成模式和模型构建模式中所解决的问题是由本源的数学知识演化而来，而认知建构模式和问题开放模式中所解决的问题是由基本问题变化而来．即由本源的数学知识演化出基本问题，基本问题通过变式、组合可以再生丰富多样的问题．综上，基本问题可以分为两类：一类是直接利用规则并按照一定的程序能完成解答的问题；一类是通过建立数学模型完成解答的问题．

依据上述对基本问题的分类标准，教科书例题可分为两类：一类是直接利用规则并按照一定的程序去完成解答的例题，称之为问题解答（Question）型例题，简称Q型例题；一类是通过建立数学模型完成解答的例题，称之为问题解决（Problem）型例题，简称P型例题．

参考已有的研究成果[6-11]，两类例题从时间序列看，Q型例题一般是学生刚刚习得新知后需要解决的例题，先于P型例题出现；从知识点数量看，Q型例题是单一知识点的直接陈述，P型例题是一定背景下多种知识融合的综合性试题；从要求水平看，Q型例题：模仿、简单运用，P型例题：综合运用、探究；从难度看，P型例题的难度高于Q型例题．因此，从5个维度：背景、数学认知、运算、推理和知识综合分别给出Q型、P型例题的内涵特征，见表1．

表1 Q型和P型例题的内涵特征

1.4 两类例题的功能

Q型例题是直接利用规则并按照一定的程序去完成解答的例题，其功能是把刚刚习得的陈述性知识转换为程序性知识，即以产生式表征，并发展为自动化的技能．

P型例题是通过建立数学模型完成解答的例题，其核心功能是获得问题解决的策略性知识，包括弄清问题的基本策略和解决问题的基本方法，形成执行复杂认知操作的产生式系统．同时，在求解过程中，促使学生多途径地理解知识，丰富知识节点处的联系性（这种联系性是方法产生的源泉），进而发展思维品质．

2 例题学习的相关理论基础

2.1 产生式迁移理论

产生式最早由Post提出，逐步发展成为一种以操作为中心的知识表征法，被描述为“条件—动作”对．如果行为产生的条件得到满足，那么执行相应的动作，简称C—A规则[12]．产生式也是表征程序性知识的最小单位．之后，Newell和Simon把产生式描述为人类解决问题中的信息加工过程的形式化语言，其基本假设是：人类解决问题的知识可以表示为一系列产生式规则，人或计算机只要能获得这些产生式规则，就能解决相应的问题[12]．随后，Anderson针对认知技能的迁移提出产生式迁移理论，其基本思想是：先后两项技能学习产生迁移的原因是两项技能之间产生式的重叠，重叠越多，迁移量越大[5]．信息加工心理学用产生式和产生式系统表征人的技能，技能间的迁移由共有的产生式数量决定[5]．综上，产生式是一种规则，可以用形式化语言表征；知识可以以产生式表征，一旦获得这些产生式就可以解决相应问题；形成一定数量且重叠的产生式越多是迁移学习的基础．

如果准备执行一项复杂的认知操作，但对其中部分技能尚未把握或未达到自动化的程度，那么要顺利地完成整个操作显然是不可能的[5]．比如，不具备有理数运算技能，就不能解方程．因此，形成正确的产生式是执行复杂认知操作的基础，产生式的自动化程度是顺利完成复杂认知操作的基础．同时，在执行复杂的认知操作过程中，促使各种产生式联结与组合，形成一组产生式，这组产生式包含在当前复杂认知操作中如何行动以达到目标，便形成了一个产生式系统．

2.2 变式理论

问题变式的两类结构：水平变式和垂直变式．水平变式是指学生能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，不带来认知负荷的变化．垂直变式是指学生不能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，带来认知负荷的变化．按问题结构的变化分成不同的层次（垂直变式），在同一结构层次中，可以分成问题表面形式特征不同的变化（水平变式）[13]．变式可分为等价变式和不等价变式．等价变式指变式前后的问题本质是相同的，即变化只发生在表面的形式部分[5]．

参考上述研究成果，例题变式是指围绕核心轴（数学知识的本质结构）不变，变更例题表面的形式特征或结构特征．因此，例题变式分为3个层次．第一层次，平行变式：表面形式重复，学生认知负荷不变．第二层次，垂直变式：表面结构变化，学生认知负荷增加．第三层次，螺旋变式：围绕核心轴，平行变式和垂直变式不断复合，学生认知负荷加重．3个层次的变式是层层递进的过程，平行变式是基础，垂直变式是必然发展，二者互相依存，互相补充．螺旋变式是最高层，突出对数学结构的意义建构．

3 Q型例题的教学建议

从学习迁移的视角看，Q型例题的教学需要经历3个阶段．第一阶段，形成产生式．直接利用规则，按照一定的程序，慢慢地将陈述性知识指导下的一系列操作转化为渐渐失去陈述性意识特征的一系列操作，形成以产生式表征的程序性知识．第二阶段，产生式自动化．通过平行变式和垂直变式，共有的产生式得到很好的协调和精练，协调将导致意识控制特征的逐步消失，直至达到自动化水平．第三阶段，形成产生式系统．通过螺旋变式，促使各种产生式联结与组合，形成一组产生式，构建新的产生式规则，形成一个产生式系统．下面结合案例1具体说明．

案例1：已知角的终边经过点(2,-3)，求的正弦、余弦、正切值[14]．

3.1 形成产生式

联系三角函数的定义，从定义的陈述性表征形式中联结到关键字词（坐标、距离和比值），执行系列操作：写出点的横坐标和纵坐标、计算距离、计算比值．当3个动作都被成功地执行后，相互间的联系将会得到加强，各个动作的联系也会更多地依靠前后动作的匹配，进而形成无意识的动作技能，即形成了以产生式表征的程序性知识．此时，陈述性意识特征将逐渐淡化．

另一方面，教师规范板书Q型例题的解答过程，其意义在于：①可视化“动作”的一步步分解演示，有利于形成正确的产生式；②规范表达的示范，是学生模仿的榜样；③为P型例题的规范表达奠定基础．解答过程规范表达的基本要求：①要有开始和结束的标记．如：解或证明，给出结论．②推理过程具有逻辑性和严谨性，不仅符合学生学习的认知序，也要顺应数学发展的逻辑序．③书写过程具有简约性．形式上按照三段论书写（大前提常常省略不写），尽量运用数学符号语言表征；格式上参照古诗词，尽量使用短句子表述，标点符号准确使用．

3.2 产生式自动化

平行变式：改变点坐标（静态的），比如(-3, 4)，(0， 5)，等等．此时，变式问题表面形式重复，认知负荷基本保持不变．通过对表面形式特征的重复，经验得到不断重复．重复的意义在于始终保持了概念本质关系特征（角终边上一点的坐标确定，三角函数值随之确定）不变，至于“点坐标的改变”会慢慢淡化，核心是突出了不变特征．第二次的经历丰富并加深了第一次经历的各个方面，产生式得到重复．

垂直变式：让点运动（动态的），比如“已知角的终边落在直线＝3上，求的正弦、余弦、正切值”[14]．变式问题表面结构发生变化，融入策略性知识，学生认知负荷随之增加．其表面形式变化：角的终边落在确定直线上，点“消失”了！形式变化背后蕴含深层特征：恰恰不是点消失，而是任意多个共线点，只要选取其中一个点作为代表；另一方面，正是由于点任意多，需要分类求解，渗透策略性知识．

通过两次变式，学生逐步摆脱陈述性知识的提示的依赖，一旦技能具有程序化的特征时，学生就不再需要停顿下来考虑下一步做什么，相反，对下一个执行动作的有意识的搜索将被自动的匹配过程所取代，即产生式达到自动化水平．

3.3 形成产生式系统

图1 Q型例题的教学结构

4 P型例题的教学建议

P型例题具有科学的或生活的背景知识，通过数学模型的建构，意在揭示数学知识的发生过程，即对问题产生的探究．同时，通过问题解决，促进学生形成基于该数学模型的一个产生式系统．再通过例题变式，促使产生式系统得到进一步协调和发展．参考波利亚的怎样解题表和有关研究成果[15-19]，P型例题的教学需要经历4个阶段：①弄清问题；②分析问题；③回顾反思；④变式学习．下面结合案例2具体说明．

案例2[14]：如图2，一半径为3 m的水轮，水轮圆心距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点0）开始计算时间．

（1）将点距离水面高度(m)表示为时间(s)的函数；

（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？

4.1 弄清问题

对例题的信息进行理解，将外部信息转化为内部信息，能用多种方式表征问题的初始状态和目标状态，形成问题空间．教学中，可以分3个步骤：第一步，读一读．读题形式多样：默读、朗读、领读、齐读，等等，必要时可以多读几遍，正如“书读百遍其义自见”；要给学生一定的读题时间和空间，初次读题之前尽量不要启发、暗示和干扰．第二步，说一说．读到了什么？想到了什么？关键信息是什么？等等，引起学生思考、联想．在学生初步理解题意时，要给学生一定的交流对话的时间和空间．特别地，生生对话是基于学生话语体系的思维碰撞，互相启发，必要时师生对话，启发点拨．第三步，写一写．关键信息的不同表征，如文字语言描述、画图标数据的图形语言表征、引入变量的数学符号表征，必要时算一算．

图2 水轮运动

4.2 分析问题

分析例题的数量结构和情境结构，对外部模式进行识别，同时将外部信息与内部已有模式作比较，即模式识别过程．接着，调动与外部信息相匹配的模式，即模式的迁移．分析外部信息，识别出圆周上一点的运动，联想到圆周运动是最简单的周期运动，而三角函数是刻画周期运动的基本模型．于是，匹配到三角函数模型．再根据三角函数的解析定义，自然需要引入平面直角坐标系．至于如何建立平面直角坐标系，学生是有经验的，教学中再根据学生生成的不同坐标系进行比较、分析并加以选择．最后，教师板书，规范表达（同上）．

4.3 回顾反思

回顾解题过程，检验解题过程的合理性和结果的准确性．波利亚的叙述是“检查每一步，你能清晰地看到每一步的正确性吗？你能证明每一步的正确性吗？”事实上，有了详细、明确的解题计划，解题的过程就是按计划落实，而落实的关键是保证正确．

反思解题过程，提炼解题步骤，总结解题方法，追求一题多解，发现知识能力存在的缺陷．

4.4 变式学习

第一层次：平行变式．正如苏教版教材必修4第一章章首语所说：周期现象一般与周期运动有关，一个简单又基本的例子便是“圆周上一点的运动”．

例如[14]：如图3，摩天轮的半径为40 m，点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处．

（1）试确定在时刻(min)时点距离地面的高度；

（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过70 m？

图3 摩天轮运动

无论水轮运动，还是摩天轮运动，都在重复同一个运动：圆周上一点的运动．重复的意义在于：学生通过对表面形式特征的重复，加深并保持了深层关系特征（圆周运动是简单且朴素的周期运动，而三角函数是刻画周期运动的基本数学模型）．

另一方面，在问题解决过程中，基于周期模型的产生式系统中各种自动化的产生式得到重复，如：坐标系的选择与建立，目标函数的建立，实际问题的数学表征过程（如：在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过70 m→在一个周期内使得函数值大于70时自变量的取值范围→()＞70），不等式的求解等．重复的意义在于：各种产生式的自动化程度得到加强，促使基于周期模型的产生式系统得到精深加工．

第二层次：垂直变式．从周期背景视角，例如[14]：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深．

时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m 0:005.0 9:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:005.0

（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，该船何时能进入港口？

（3）若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3 m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

从水轮运动→摩天轮运动→潮汐运动，变式问题表面形式特征发生变化，圆周运动“不见”了！取而代之的是一张充满数据的表格，学生认知负荷随之增加．这些表面变化背后不变的深层关系特征是：随着时间的变化都有唯一的水深与之对应，具备函数关系；且自变量每增加12小时函数值（水深）不变，具有周期特征．再从表格中数据的离散性、有限性到选择周期函数模型（三角函数）拟合数据．这就需要学生辨认当前新的情境中问题的类属而对原有知识结构进行准确的激活，多种知识介入．

对于问题（2）、（3），厘清“吃水深度、安全间隙和吃水深度以每小时0.3 m的速度减少”的内涵，逐步数学化，实现数学符号表征；同时，能运用函数观念统领方程、不等式．正是由于函数具备多种表现形式（解析式、列表和图象），从而为多途径以及寻求最佳途径解决问题提供可能．另一方面，重叠的产生式系统得到强化，同时新问题的解决促使产生式条件的改造，能解决范围更大的问题或更有效地解决问题．

第三层次：螺旋变式．从问题解决视角，例如[14]：烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的，现在要用矩形铁片做成一个直角烟筒弯头（如图4，单位：cm），不考虑焊接处需要，选用的矩形铁片至少应该满足怎样的尺寸？请你设计出一个最合理的裁剪方案．（在矩形铁片上画出的裁剪线应是什么图形？）

图4 烟筒焊接示意图

学生面对复杂的问题情境，运用分析的方法，抽丝剥茧，逐步分解．首先，从平面图形（矩形）到立体图形（直角烟筒），在图形的运动变化过程中析取变中不变的位置关系和数量关系．其次，结合数据考虑到对称性，只需研究一个立体图形（“圆柱形”），再将立体图形转化为平面图形（截面圆），引入变量（角），进而寻求圆周上一点运动变化过程中的不变关系，得到三角函数模型．

事实上，螺旋变式以内隐的数学结构为核心，平行变式与垂直变式不断复合，如图5．这个变式问题的解决是一项复杂的认知操作过程，将螺旋变式问题不断分解为平行变式和垂直变式问题，通过迁移一定数量共有的、重叠的产生式实现问题解决．同时，在问题解决过程中，学生发现蕴含其中的深层特征（三角函数概念的结构性理解和证明性理解），并能将本源的理解通过应用获得新的理解．因此，问题解决的过程就是一种学习过程，一种创新过程，促进学生建立概念的创新性理解．如图6是P型例题的教学结构图．

图5 案例2的螺旋变式结构图

图6 P型例题的教学结构图

[1] 王光明．数学教学效率论（理论篇）[M]．天津：新蕾出版社，2006：1-2．

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Classification and Teaching Suggestions of Examples of Mathematics Textbooks

LU Ming-ming1, 2

(1. Xuanwu Teaching Research Office, Jiangsu Nanjing 210016, China;2. Nanjing High School Mathematics QU Dong-jian Masters Studio, Jiangsu Nanjing 210016, China)

The examples in mathematics textbooksof basic, typical, gradation, developmental, and systemic, and could be divided Q-type and P-type. The Q-type was an example of direct use of the rules and a certain procedure to complete the solution, and the function of the Q-type was to make students form the automation of skills, and the teaching of Q-type was divided into three stages: the formed production, automated production and the formed production system.The P-type example was an example of solving the problem by establishing a mathematical model, and the function of the P-type example was to acquire the strategic knowledge of problem solving, form a production system that performs complex cognitive operations; The teaching of P-type example could fall into four stages: understanding the problems, analyzing the problems, retrospective reflection and varying the learning.

example classification; example teaching; production; variations

[责任编校：周学智]

2017–12–07

江苏省基础教育课程教学改革重大研究项目——高中数学文化教育研究（2015jssjys-14）

陆明明（1980—），男，江苏宿迁人，中学高级教师，主要从事数学教育研究．

G633

A

1004–9894（2018）02–0054–05

陆明明．数学教科书例题的分类及其教学建议[J]．数学教育学报，2018，27（2）：54-58．