食堂拥挤问题的方案及模型

食堂拥挤问题的方案及模型

张萌果

（河南师范大学 河南 新乡 453000）

摘 要：本文针对我校每到中午放学时，食堂进门特别拥挤的问题，首先进行了实地考察，调查了我校食堂门口中午来往人流数随时间的变化，以及食堂打饭的窗口数和打饭效率，然后对造成门口拥挤的因素以及各个因素之间的关系进行了分析，最后针对了各个问题进行了建模型求解。

针对问题

我们实地调查了中午学校餐厅门口的拥挤情况，建立了中午放学期间餐厅门口处每分钟来往人数随时间变化的序列模型，并对发生拥挤时每分钟的来流人数进行了分析。

我们假设门口的宽度正好可以容下n个人并排行走，当同一时间门口来往人数大于等于这个限定的时候，门口就会发生拥挤。当打饭窗口都全部一刻不停地工作期间，单位时间内能让多少人打完饭是固定值，打完饭的人又有一定比例的人选择从对着教学区的门离开，这部分人与进门的人的总数与n进行对比，就可得出增加门的宽度对进门拥挤是否有改善的相关信息。

安置隔离栏后，人被隔成了单一人流，人流基本符合泊松分布，根据数据分析，对其建立了M＼M＼1模型，概括了学生排队的人数，并且经由模型推算了发生拥挤的时候的条件，即每人进入餐厅的时间大于所需等待的时间，对学生进入餐厅的时间和等待所需的时间进行了数据概括，以及对比，把实际的问题公式化，从而最终得出拥挤的时候满足的条件，进而清楚这个措施的有效程度。

关键词：食堂门口；拥挤；排队论

一、问题的重述

为了节约同学们的时间，避免同学们因拥挤而造成的心情烦躁，学校食堂必须进行改善。一种合理、简化的策略就是：在不耽误同学们正常饮食的前提下，尽量改善食堂的拥挤程度。

在理想情况下运用理想模型计算食堂门口可容纳的人流量，而实际情况中常常在没达到这个人流量食堂门口就开始拥挤。运用理想模型计算出将门口扩建一半后食堂門口可容纳的人流量，再结合实际情况进行理性分析。第二个方案需结合食堂内部情况，考虑学生进出门问题结合各方面数据通过建立数学模型最后得出改善后可容纳的人流量。注意结合实际情况。

二、模型的分析与建立

（一）问题分析及模型选取

根据实地调查中午学校餐厅门口拥挤情况，原本通畅的餐厅随着午饭高峰期而变得拥挤。对于该横断面，通行能力受到严重限制。分析造成拥挤的原因：学校课表安排不合理，下课时段过于集中，导致就餐过于集中，造成餐厅拥挤，排长队。由于进入餐厅与离开餐厅的人走的是同一个门，此时的理论通行能力下降，实际的通行能力也因此下降，出入困难，易于导致餐厅的拥挤。

为了正确估算中午放学期间，食堂门口发生拥挤时每分钟的来流人数，为餐厅正确疏导人流提供理论依据，需要建立中午放学期间餐厅门口所处横断面每分钟来往人数随时间变化的序列模型，并分析发生拥挤时每分钟的来流人数。

以下是收集的数据及简单处理

（二）模型建立及求解

设y为每分钟进入人数，x为每分钟出门人数，假设理想条件下每分钟有a次进出，餐厅门最多可以n个人同时进出。当发生拥挤时：

经实地考察，学校餐厅门口每分钟达 80 人，会发生拥挤。

（三）问题分析及模型选取

当门口扩大50%之后，对食堂门口拥挤的情况是否有所改善。

门口的宽度限定了能同时进出的人的数量，经调查，一个人平均通过门口区域所花时间大概为10s，每分钟可以认为有6次共同进出，设门口能同时容下n个人同时通过。

所有打饭窗口同时工作的时候工作的时候，每分钟能让m个人打完饭，其中m/a的人会选择从对着教学区的门离开，记y=m/a。

（四）模型建立及求解

记每分钟有x个人从门口进入，则当6n≤x+y时，即6n+y≤x时，会发生拥挤。

当门口扩宽50%后，n变为1.5n，条件变为9n+y≤x时，会发生拥挤。

对比可知，发生拥挤所需要的每分钟通过人数增加了3n，故可得知，这一措施对缓解食堂门口拥挤有一定作用。

（五）问题分析及模型选取

把食堂对着教学区的门口装置上隔离栏，由于对着教学区的餐厅门口距离教学区最近，大多数同学选择正对教学区的门进入餐厅，人流量较大，易发生拥挤。安装隔离栏，把进入餐厅的学生与离开餐厅的学生隔离开，把人隔成单一人流，起到强制排队的作用，能有效的降低拥挤。人流基本符合泊松分布，根据数据分析，对其建立M＼M＼1模型，分析安装隔离栏后，食堂门口发生拥挤时每分钟的来流人数。

准确的分析和评价餐厅门口发生拥挤的情况，为餐厅的改进提出合理建立。用建立模型的方法，为餐厅的管理者提供有力决策。

我们假设下课期间学生到食堂就餐的时刻是随机的，且从正对教学区的餐厅门进入餐厅的学生人数占总人数的比率是一定的，用N（t）表示[0，t）时间内到达该排队系统的人数，用V（n）表示第n位学生真正进入餐厅所需要的时间，则有随机变量{V（n），N=1，2，3，...}

根据排队论相关知识，t时刻到达对着教学区门口排队系统的人数为k的概率为：

P（N（t）=k）= ，k=1，2.....其中λ>0

第n位学生所需的等待进入餐厅时间不超过t的概率服从负指数分布：

其中>0.

第n位学生所需的等待进入餐厅时间不超过t的概率服从负指数分布：

其中μ>0