相对于Ding投射和Ding内射模的Tate-Vogel上同调

郝永兴, 杨晓燕

(西北师范大学 数学与统计学院， 甘肃 兰州 730070)

1 预备知识

定义1.1[11]设D是Abel范畴,A、B是D中对象作成的类.

1) 称对子(A,B)为余挠对,如果A=⊥1B,B=A⊥1,其中,

2) 称余挠对(A,B)是完全的,如果对任意的C∈D存在D中的正合序列

0→B→A→C→0

和0→C→B′→A′→0,其中A,A′∈A和B,B′∈B.

定义1.2[10]1) 称R-模的一个序列

2) 设X和Y是R-复形.度为n的同态φ:X→Y是一族R-模同态(φi)i∈Z,其中φi:Xi→Yi+n.记|φ|=n.定义HomR(X,Y)为Z-模复形,其第n个层次为

其微分∂定义为∂(φ)=:∂Yφ-(-1)|φ|φ∂X.

3) 称一个链映射φ:X→Y是拟同构,如果对所有的整数n,映射

Hn(φ):Hn(X)→Hn(Y)

是同构.记作X≃Y.

4) 称复形X是同调上(下)有界的,如果

supX<∞(infX>-∞),

其中

supX=sup{i∈Z|Hi(X)≠0},
infX=inf{i∈Z|Hi(X)≠0}.

定义1.3[6]设(A,B)是R-模范畴中的余挠对,X是R-复形.

1) 称X是A复形,如果X是正合的且对任意的整数n有Zn(X)∈A.

2) 称X是B复形,如果X是正合的且对任意的整数n有Zn(X)∈B.

3) 称X是dg-A复形,如果对任意的整数n有Xn∈A且当B是B复形时HomR(X,B)正合.

4) 称X是dg-B复形,如果对任意的整数n有Xn∈B且当A是A复形时HomR(A,X)正合.

定义1.4[9]设(A,B)是R-模范畴中完全遗传的余挠对,M和N是复形.

1) 定义M的A维数为:

2) 定义N的B维数为:

注1.5若M是一个R-模,则

A-dimM=A-pd(M)

和B-dimM=B-id(M),其中

A-pd(M)=inf{n|存在正合列
0→Xn→…→X1→X0→M→0,Xi∈A},
B-id(M)=inf{n|存在正合列
0→M→X0→X1→…→Xn→0,Xi∈B}.

定义1.6[10]设M是Abel范畴D中的对象.称态射φ:M→X是M的H-预包络,如果对任意的态射f:M→X′,存在一个态射g:X→X′使得gφ=f,其中X,X′∈H.称单态射φ:M→B是M的特殊的H-预包络,如果它是M的H-预包络且coker(φ)∈⊥1H,其中B∈H.

对偶地,有H-预覆盖和特殊的H-预覆盖的定义.

2 相对于Ding投射和Ding内射模的Tate-Vogel上同调

定义2.1[10]1) 设A=(A,B)是R-模范畴中完全遗传的余挠对且M是复形.

(a) 定义M的(A,B)-分解为复形的态射图

(b) 定义M的(B,A)-分解为复形的态射图

2) 设A=(A,B)是R-模范畴中完全遗传的余挠对,M和N是复形.

(a) 由(A,B)-分解,定义如下复形:

其中

(b) 由(B,A)-分解,定义如下复形:

HomR(RQM,RQN)/HomR(RQM,RQN),

其中

HomR(RQM,RQN)n=
{(φi)∈HomR(RQM,RQN)n|φi=0,∀i≪0}.

3) 设A=(A,B)是R-模范畴中完全遗传的余挠对,M和N是复形.

(a) 由(A,B)-分解,定义第n次Tate-Vogel上同调群为:

其中R(QRM,QRN)是定义2.1中的2) (a)定义的复形.

(b) 由(B,A)-分解,定义第n次Tate-Vogel上同调群为:

定义2.2[12]1) 称R-模M为Ding-投射模,如果存在投射R-模的正合序列

使得M≅im(P0→P0)且HomR(X,Q)是正合的,其中Q是平坦R-模.用DP表示Ding-投射模类.

2) 称R-模M为Ding-内射模,如果存在内射R-模的正合序列

使得M≅im(I0→I0)且HomR(E,Y)是正合的,其中E是FP-内射R-模.用DI表示Ding-内射模类.

对任意的R-模M,pdM(fdM,DpdM)代表模M的投射(平坦,Ding-投射)维数,idM(FP-idM,DidM)代表模M的内射(FP-内射,Ding-内射)维数.

引理2.3设M是一个R-模.若idM<∞,则fdM≤DpdM.

证明设M是一个R-模,idM<∞.由文献[13]的定理3.1知pdM≤DpdM,而fdM≤pdM,因此,fdM≤DpdM.

引理2.4设M是一个R-模.若pdM<∞,则FP-idM≤DidM.

证明设M是一个R-模,pdM<∞.由文献[13]的定理3.3知idM≤DidM,而

FP-idM≤idM,

因此,FP-idM≤DidM.

称环R是n-FC环,如果它是双边凝聚环且

FP-idRR=FP-idRR=n.

称环R是Ding-Chen环,如果存在n≥0使得它是n-FC环.

引理2.5设R是双边凝聚环.则以下条件等价：

1)R是n-FC环;

2) 每一个左(或右)R-模的内射分解的第n次上合冲是Ding-内射的;

3) 每一个左(或右)R-模的投射分解的第n次合冲是Ding-投射的.

证明1)⟹2) 设M是左R-模且D是M的内射分解的第n次上合冲.则

其中W∈⊥1DI.因为R是n-FC环,所以由文献[12]知(⊥1DI,DI)是完全的余挠对.从而D∈DI.

2)⟹1) 设E是FP-内射左R-模,N是左R-模且D是N的内射分解的第n次上合冲.则

1)⟹3) 由1)⟹2)对偶可得.

3)⟹1) 由2)⟹1)对偶可得.

设R是左凝聚环.由文献[14]知,(DP,DP⊥1)和(⊥1DI,DI)是完全遗传的余挠对.设M是R-模.由注1.5知

DP-dimM=DP-pd(M)=DpdM,
DI-dimM=DI-id(M)=DidM.

注意到R+=HomZ(R,Q/Z)和Mod(R)代表R-模范畴.

定理2.6设R是双边凝聚环,DP=(DP,DP⊥1),则以下条件等价:

1)R是Ding-Chen环;

3) 对所有的整数i和任意的复形Y,

DI=(⊥1DI,DI).

证明1)⟹2) 设M是同调上有界复形且满足supM=k,其中k为整数.取dg-投射复形P使得M≃P,则有R-模的正合序列

其中对任意的i≥k,Pi是投射模.由引理2.5知,存在一个整数n>k使得Cn(P)是Ding-投射模.故由文献[9]的定理3.3知DP-dimM<∞.由文献[10]的定理1.1(1)知2)成立.

2)⟹3) 由文献[10]的定理1.1(1)易得.

3)⟹4) 显然成立.

4)⟹1) 由文献[10]的定理1.1(1)知DpdR+<∞.因为R+是内射模,由引理2.3知

fdR+≤DpdR+<∞,

所以FP-idR=fdR+<∞.

1)⟹5) 设N是R-模,I是dg-内射复形且N≃I.则有R-模的正合序列

sup{DidN|N∈Mod(R)}<∞.

定理2.7设R是双边凝聚环,

DI=(⊥1DI,DI).

则以下条件等价:

1)R是Ding-Chen环;

3) 对所有的整数i和任意的复形X,

证明1)⟹2) 设N是同调下有界复形且满足infN=k,其中k为整数.取dg-内射复形I使得N≃I.则有R-模的正合序列

其中对任意的i≤k,Ii是内射模.由引理2.5知,存在一个整数n

2)⟹3) 由文献[10]的定理1.1(2)易得.

3)⟹4) 显然成立.

4)⟹1) 由文献[10]的定理1.1(2)知DidR<∞.因为R是投射模,由引理2.4知

FP-idR≤DidR<∞.

1)⟹5) 设M是R-模,P是dg-投射复形且满足M≃P,则有R-模的正合序列

sup{DpdM|M∈Mod(R)}<∞.

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