Gorenstein FCn-投射模

张文汇，高华云

(西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)

0 引言

文中提到的环均指有单位元的结合环，模均指酉模．20世纪90年代，Enochs等[1-2]引入了Gorenstein投射模(Gorenstein内射模， Gorenstein平坦模)及模的Gorenstein投射维数(Gorenstein内射维数， Gorenstein平坦维数)，这是Gorenstein同调理论的核心．近年来，Gorenstein同调代数的研究已经取得了很多重要成果，研究范围也从模范畴扩充到Abel范畴(例如模的复形范畴)以及非Abel范畴(例如三角范畴， E-三角范畴等)．2012年，Gao等[3]引入了Gorenstein FP-内射模．称左R-模M是Gorenstein FP-内射模，如果存在FP-内射左R-模的正合列

E: …→E1→E0→E0→E1→…,

P: …→P1→P0→P0→P1→…,

使得M≅Ker(P0→P1)，并且对任意内射维数有限的有限余表示右R-模Q，序列HomR(P,Q)正合.受以上文献的启发，本文引入FCn-投射模和Gorenstein FCn-投射模，并讨论这两类模的同调性质．

以下除非特别说明，模均指左R-模．我们用id(M)表示R-模M的内射维数，P(R)表示所有投射R-模构成的类，N表示自然数集，Z表示整数集．文中没有介绍的符号和术语请参考文献[6]．

设n是一非负整数．称R-模M是有限n-余表示模[7]，如果存在R-模的正合列

0→M→E0→…→En-1→En,

其中Ei(i=0,1,2,…,n)是有限余生成内射模；称上述正合序列为模M的有限n-余表示．记FCn为有限n-余表示模类．特别地，FC0是有限余生成模类，FC1是有限余表示模类．称环R是左n-余凝聚环[7]，如果任意有限n-余表示左R模是有限(n+1)-余表示的．特别地，左0-余凝聚环就是余Notherian环[8]；左1-余凝聚环就是余凝聚环．称R-模类X是投射可解类[9]，如果P(R)⊆X，并且在任意短正合序列0→A→B→C→0中，若C∈X，则A∈X当且仅当B∈X．

1 FCn-投射模

作为FC-投射模的推广，我们引入FCn-投射模，并在左n-余凝聚环上讨论这类模的同调性质．以下总假定n是正整数．

特别地，FC1-投射模就是FC-投射模．

注1由定义1可知，投射模和FC-投射模都是FCn-投射模；FCn-投射模关于扩张、直和及直和项都封闭．

引理1设R是左n-余凝聚环，则以下结论成立：

(2)在R-模的任意短正合序列

0→A→B→C→0

0→G→E0→…→En-1→En→…,

(2)对任意有限n-余表示模G，由长正合列引理可知存在正合列

推论1设R是左n-余凝聚环，则FCn-投射模类是投射可解类．

2 Gorenstein FCn-投射模

定义2称R-模M是Gorenstein FCn-投射模，如果存在FCn-投射模的正合列

P:…→P-2→P-1→P0→P1→…,

使得M≅Ker(P0→P1)，并且对任意内射维数有限的有限n-余表示模G，序列HomR(P,G)正合．

注2( i )由对称性，若M是Gorenstein FCn-投射模，则序列P中各同态的像、核和余核都是Gorenstein FCn-投射模；

( ii )投射模、FC-投射模、FCn-投射模都是Gorenstein FCn-投射模；

例1任意Gorenstein投射模是Gorenstein FCn-投射模．

证明若M是Gorenstein投射模，则存在投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

并且M≅Ker(P0→P1)．因此只需证对任意内射维数有限的有限n-余表示模G，序列HomR(P,G)正合，但这由模G的内射维数有限可得．故M是Gorenstein FCn-投射模． 】

命题1设R是左n-余凝聚环，M是R-模，则M是Gorenstein FCn-投射模当且仅当以下条件成立：

(1)存在FCn-投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

使得M≅Ker(P0→P1)；

证明必要性.设M是Gorenstein FCn-投射模，则存在R-模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

定理1设R是左n-余凝聚环，M是R-模，则M是Gorenstein FCn-投射模当且仅当存在FCn-投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

使得M≅Ker(P0→P1).

证明只需证明充分性．由定义2只需证明对任意内射维数有限的有限n-余表示模G，序列HomR(P,G)正合．设id(G)=m<∞，我们对m进行数学归纳．

当m=0时，结论自然成立．

现设m≥1，由R是左n-余凝聚环知G∈FC∞，故存在正合列0→G→N→L→0，其中N是有限余生成内射模，L是有限n-余表示模并且id(L)≤m-1．在复形的短正合列

中，序列HomR(P,N)正合，且由归纳假设知序列HomR(P,L)正合，所以由文献[10]定理6.3知，序列HomR(P,G)正合，故M是Gorenstein FCn-投射模． 】

推论2设R是左n-余凝聚环，M是R-模，则以下结论等价：

(1)M是Gorenstein FCn-投射模；

(2)存在FCn-投射模的正合列

P: …→P-2→P-1→P0→P1→…,

(3)存在R-模的正合0→M→P→K→0，其中P是FCn-投射模，K是Gorenstein FCn-投射模；

(4)存在R-模的正合列

0→M→P0→P1→…,

其Pj(j∈N)是FCn-投射模．

证明(1)⇒(2),(1)⇒(3)⇒(4)易见．

(4)⇒(1).设…→P-2→P-1→M→0是M的投射分解，与(4)中正合列首尾相接可得正合列…→P-2→P-1→P0→P1→…，其中Pj(j∈Z)是FCn-投射模，且M≅Ker(P0→P1)．由定理1可知M是Gorenstein FCn-投射模． 】

命题2设R是左n-余凝聚环，0→M→N→L→0是R-模的正合列，则以下结论成立：

(1)若N是FCn-投射模，L是Gorenstein FCn-投射模，则M是Gorenstein FCn-投射模；

(2)若L是FCn-投射模，M是Gorenstein FCn-投射模，则N是Gorenstein FCn-投射模．

证明(1)由推论2可得．

(2)由M是Gorenstein FCn-投射模知,存在正合列0→M→P→K→0，其中P是FCn-投射模，K是Gorenstein FCn-投射模．考虑推出图

其中P，L是FCn-投射模，故Q是FCn-投射模．利用中间列由(1)可知，N是Gorenstein FCn-投射模． 】

定义3称环R是左GFCnP-闭环，如果Gorenstein FCn-投射左R-模类关于扩张封闭．

定理2设R是左n-余凝聚环，则R是左GFCnP-闭环当且仅当Gorenstein FCn-投射模类是投射可解类．

证明充分性易见．

必要性.设R是左GFCnP-闭环，只需证明在R-模的任意正合列0→M→N→L→0中，若N,L是Gorenstein FCn-投射模，则M是Gorenstein FCn-投射模．

因为N是Gorenstein FCn-投射模，所以存在R-模的正合列0→N→F→Q→0，其中F是FCn-投射模，Q是Gorenstein FCn-投射模．考虑推出图

因为L和Q都是Gorenstein FCn-投射模且R是左GFCnP-闭环，所以E是Gorenstein FCn-投射模．对中间行应用推论2可知,M是Gorenstein FCn-投射模． 】

由定理2和文献[2]命题1.4易得如下推论．

推论3设R是左n-余凝聚的左GFCnP-闭环，则Gorenstein FCn-投射模类关于直和项封闭．

以下讨论FCn-投射模、Gorenstein FCn-投射模和其他模类间的关系．

定理3设R是左n-余凝聚环，且任意有限n-余表示R-模的内射维数有限，则以下结论等价：

(1)任意R-模是Gorenstein FCn-投射模；

(2)任意内射R-模是FCn-投射模；

(3)任意Gorenstein内射R-模是Gorenstein FCn-投射模；

(4)任意内射R模是Gorenstein FCn-投射模；

(5)任意有限生成R-模是Gorenstein FCn-投射模；

(6)任意循环R-模是Gorenstein FCn-投射模；

(7)任意有限n-余表示R-模是内射模；

(8)任意R-模是FCn-投射模．

证明(1)⇒(3)⇒(4),(8)⇒(1)⇒(5)⇒(6)易见．

(4)⇒(2).任取内射模E，由(4)知E是Gorenstein FCn-投射模，故存在可裂的短正合列

0→E→P→L→0，

其中P是FCn-投射模，L是Gorenstein FCn-投射模．因为FCn-投射模类关于直和项封闭，所以E是FCn-投射模.

(2)⇒(1).对任意R-模M，设其投射分解和内射分解分别为

首尾相接可得正合列

P: …→P1→P0→E0→E1→…,

其中Pj(j∈N)是投射模，Ei(i∈N)是内射模，且M≅Im(P0→E0)．由条件(2)知，Ei(i∈N)是FCn-投射模，故序列P是FCn-投射模的正合列．由定理1即知M是Gorenstein FCn-投射模．

3 Gorenstein FCn-投射维数

定义4定义R-模M的Gorenstein FCn-投射维数GFCn-pd(RM)为：GFCn-pd(RM)=inf{m∈N|存在正合列0→Qm→Qm-1→…→Q0→M→0，其中Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模}．若上述集合为空，则规定GFCn-pd(RM)=∞．

注意到，投射模是Gorenstein FCn-投射模，于是由注记2(iii)和推论3易得如下结论．

引理2设R是左n-余凝聚的左GFCnP-闭环，M是R-模，考虑R-模的正合列

其中Qi，Pi(i=0,1,2,…,m-1)是Gorenstein FCn-投射模，则K是Gorenstein FCn-投射模当且仅当K′是Gorenstein FCn-投射模．

定理4设m是一非负整数，R是左n-余凝聚的左GFCn-P闭环，则以下结论等价：

(1)GFCn-pd(RM)≤m;

(2)存在R-模的正合列

0→Qm→Qm-1→…→Q0→M→0,

其中Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模；

(3)在R-模的任意正合列

0→K→Qm-1→…→Q0→M→0

中，若Qi(i=0,1,2,…,m-1)是Gorenstein FCn-投射模，则K是Gorenstein FCn-投射模．

证明(1)⇒(2).设GFCn-pd(RM)=t≤m，则存在R-模的正合列

0→Qt→Qt-1→…→Q0→M→0,

其中Qi(i=0,1,2,…,t)是Gorenstein FCn-投射模．由于Qt是Gorenstein FCn-投射模，故存在正合列

0→Km→Pm-1→…→Pt→Qt→0,

其中Pm-1,…,Pt是FCn-投射模．因为Gorenstein FCn-投射模类是投射可解类，故Km是Gorenstein FCn-投射模，将上述两序列首尾相接即可得所需正合列．

(2)⇒(3),(3)⇒(1)由引理2及定义5即得． 】

命题3设R是左n-余凝聚环，在R-模的任意正合列0→N→Q→M→0中，若Q是Gorenstein FCn-投射模，则GFCn-pd(RM)≤GFCn-pd(RN)+1．进而，当R是GFCnP-闭环时，等号成立．

证明当GFCn-pd(RN)=∞时，结论自然成立．现设GFCn-pd(RN)=m<∞，则存在R-模的正合列0→Qm→…→Q0→N→0，其中Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模．因此有正合列

0→Qm→…→Q0→Q→M→0,

其中Q，Qi(i=0,1,2,…,m)是Gorenstein FCn-投射模．故

GFCn-pd(RM)≤m+1=GFCn-pd(RN)+1.

进一步，若R是GFCn-P-闭环，要使等号成立只需证明GFCn-pd(RN)≤GFCn-pd(RM)-1．当GFCn-pd(RM)=∞时，结论自然成立．现设GFCn-pd(RM)=m<∞，且

0→K→Pm-2→…→P0→N→0

是模N的部分FCn-投射分解．将此正合列与已知短正合列首尾相接可得正合列

0→K→Pm-2→…→P0→Q→N→0,

其中Q,Pi(i=0,1,2,…,m-2)是Gorenstein FCn-投射模．由定理4可知K是Gorenstein FCn-投射模,因此GFCn-pd(RN)≤m-1． 】