一类具非线性阻尼项的Schrödinger方程的达布变换

李 倩, 舒 级, 杨 袁, 王云肖, 汪春江

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

众所周知,非线性偏微分方程是用来描述非线性科学问题的重要模型,而演化方程的孤子解的多样性反应出物理世界各种形式的时空结构,因此求解非线性偏微分方程具有非常重要的理论和应用价值.非线性演化方程在某些特殊情况下才能得到其显示表达式.这些年来,科学家们发现了许多求解非线性偏微分方程的方法,如Painleve分析法[1]、tanh函数法[2]、齐次平衡法[3]、Hirota方法[4]、不变子空间法[5]、Wronskin技巧[6]、达布变换方法[7-12]、贝克隆变换法[13]和反散射方法[14]等.

研究发现,怪波现象可以用非线性Schrödinger方程的解来描述,并且这一性质已被非线性光纤中的怪波实验证实[15-16].怪波最初是描述海洋上出现的一种奇怪的水波,以其出现的突然性和异常的波高得名.这里的突然性是指,它出现时无任何征兆,而后又很快地消失.历史上,有记载的怪波事件已有很多,比如它对在海洋航行的各类船只、海上油井等的致命性破坏.因为经历过怪波灾难的人们很少能有机会生还,长期以来,大家都以为是海怪造成了这些灾难,直到1995年初,人们在北海直接探测到了被称为“新年波”的怪波,才使得大家相信这是一种海洋现象而不是所谓的海怪所为[17].由于玻色凝聚体的动力学方程类似于非线性光纤中的动力学方程,可以通过研究玻色体系中的怪波动力学来获取对怪波的一般性认识[18-19].研究表明,Schrödinger方程具有很多非线性波解,包括亮暗孤子解、呼吸子解以及有理形式解,它们可以用来描述诸多丰富的物理现象,比如玻色凝聚体中的孤子性质和非线性光纤、波导管等中的孤子传输可以用它的孤子解来描述[20-21].

本文研究具有阻尼项的Gross-Pitaevskii方程

iqt+qxx+2|q|2q-

(αx-β2x2)q+iβ|q|2q=0,

(1)

其中,α、β是常数,q(t,x)是复值波函数.借鉴文献[22-24]的方法,应用达布变换研究方程(1)的孤子解.

1 Gross-Pitaevskii方程的Lax对和达布变换

将构造方程(1)的Lax对和达布变换.由于方程(1)是可积的,可以用AKNS方法构造其Lax对

φx=Mφ, φt=Nφ,

(2)

其中

这里*表示复共轭,λ是复值谱参数,

A=-2iλ2+2iλβx+i|Q|2-

B=2λQ+iQx-2βxQ,

D=2iλ2-2iλβx-i|Q|2+

下面考虑上述谱问题的一个规范变换

φ[1]=Tφ,

(3)

将线性问题(2)转化为

(4)

并且M、N与M[1]、N[1]具有相同的形式,除了将M、N中的Q、Q*换成M[1]、N[1]中的Q[1]、Q[1]*.将(4)式代入(3)式中,知道T满足

M[1]T=Tx+TM,

(5)

N[1]T=Tt+TN,

(6)

其中T是λ的多项式形式变换,即

其中a1、b1、c1、d1、a、b、c、d是关于x和t的实函数.由(5)和(6)式知

对比上式λk(k=0,1,2)的系数,得到:

当k=2时,

b1=c1=0.

(7)

当k=1时,

a1x=d1x=0,

ax=Q[1]c+Q*b,

bx=Q[1]d+Qa,

-2ib+Q[1]d1-Qa1=0,

2ic+Q[1]*a1-Q*d1=0.

(8)

当k=0时,

cx=-Q[1]*a+Q*d,

dx=-Q[1]*b+Qc.

(9)

由(8)式的第一式知a1、d1是常数,不失一般性,取a1=d1=1,因此方程(3)的达布变换可以写成下列形式[25]

φ[1]=Tφ=(λI-S)φ,

(10)

其中,λ是复的谱参数,I是2×2的单位矩阵,S是非奇异矩阵.

将M、M[1]和T代入(5)式,比较谱参数λ的系数可得

其中

经过一次达布变换[26],新的特征函数与原来的特征函数有如下关系:

Q[1]=Q-2is12,

-Q[1]*=-Q*+2is21,

(11)

且满足限制条件

(12)

为了得到矩阵S的表达式,可以通过Lax对的解来定义矩阵

S=HΛH-1,

(13)

而

又由(13)式可知

其中Δ=|f1|2+|f2|2,这时可以验证矩阵S满足限制条件(12)式.

由(11)和(12)式可以得到方程的一次达布变换

(14)

(15)

其中

最后,方程的n次达布变换的行列式为

(16)

其中

2 方程的孤子解

(17)

(18)

(19)

(20)

可以解得

(21)

(22)

其中

Q[1]=

显然得到方程的解为

q[1]=

当α=1、β=1、n=1和c=-0.5i时,孤子解q[1]如图1.

图 1 孤子解

讨论一类具非线性阻尼项的GP方程的达布变换和孤子解,该方程在玻色-爱因斯坦凝聚中有重要意义.首先通过AKNS方法构造Lax对并推导出达布变换公式,再应用此公式求得方程在零种子解情形下的孤子解.下一步,将从方程的非零种子解出发进行求解,根据线性偏微分方程的叠加原理,将特征函数线性叠加组成新的特征函数,从而得到方程的呼吸子解,并对此呼吸子解进行泰勒级数展开,最后得到怪波解.

[1] 陈美同. Painleve方法构造非线性偏微分方程的精确解[D]. 锦州:渤海大学,2015.

[2] 罗琳,徐国进. 对tanh函数法的推广及其在非线性方程中的应用[J]. 湖北工程学院学报,2004,24(3):58-62.

[3] WANG M, ZHOU Y, LI Z. Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in Mathematical Physics[J]. Physics Letters,1996,A216(1/5):67-75.

[4] ANKIEWICZ A, SOTO-CRESPO J M, AKHMEDIEV N. Rogue waves and rational solutions of the Hirota equation[J]. Physical Review Statistical Nonlinear and Soft Matter Physics,2010,E81(4):387-395.

[5] WU J P. A new wronskian condition for a (3+1)-dimensional nonlinear evolution equation[J]. Chinese Physics Letters,2011,28(5):50501-50503(3).

[5] 姜丙利,柳银萍. 不变子空间方法及一个非线性演化方程的精确解[J]. 浙江师范大学学报(自然科学版),2013,36(2):155-160.

[7] 谷超豪,胡和生,周子翔. 孤立子理论中的达布变换及其几何应用[M]. 2版. 上海:上海科学技术出版社,2005.

[8] GUO B, LING L, LIU Q P. Nonlinear schrodinger equation:generalized darboux transformation and rogue wave solutions[J]. Physical Review Statistical Nonlinear and Soft Matter Physics,2012,E85(2):317-344.

[9] 张金顺,李华夏. 2+1维Levi孤子方程的Darboux变换[J]. 郑州大学学报(理学版),2001,23(3):13-17.

[10] ZAKHAROV V E, SHABAT A B. A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem. I[J]. Functional Analysis and Its Applications,1974,8(3):226-235.

[11] ABLOWITZ M J, KAUP D J, NEWELL A C, et al. Nonlinear-evolution equations of physical significance[J]. Physical Review Letters,1973,31(2):125-127.

[12] MATVEEV V B, SALLE M A. Darboux transformations and solitons[J]. J Neurochemistry,1991,42(6):1667-1676.

[13] 李翊神. 规范变换,贝克隆变换与非线性叠加公式[J]. 数学进展,1989,5(3):356-372.

[14] 広田良吾,红艳. 孤子理论中的直接方法[M]. 北京:清华大学出版社,2008.

[15] PERKINS S. Dashing rogues:freak ocean waves pose threat to ships, deep-sea oil platforms[J]. Science News,2006,170(21):328-329.

[16] KIBLER B, FATOME J, FINOT C, et al. The Peregrine soliton in nonlinear fibre optics[J]. Nature Physics,2010,6(10):790-795.

[17] HAVER S. A possible freak wave event measured at the Draupner Jacket january 1 1995[J]. Actes De Colloques-IFREMER,2004,56(2):24-35.

[18] DENSCHLAG J, SIMSARIAN J E, FEDER D L, et al. Generating solitons by phase engineering of a Bose-Einstein condensate[J]. Science,2000,287(5450):97-101.

[19] SEAMAN B T, CARR L D, HOLLAND M J. Effect of a potential step or impurity on the Bose-Einstein condensate mean field[J]. Physical Review,2004,A71(3):309-315.

[20] LOSSEVA T V, POPEL S I, GOLUB A P, et al. Weakly dissipative dust-ion-acoustic solitons in complex plasmas and the effect of electromagnetic radiation[J]. Physics of Plasmas,2012,19(1):133-144.

[21] 郭柏灵. 孤立子[M]. 北京:科学出版社,1987.

[22] 李德孝. 一个非线性方程的延拓结构[J]. 青海师范大学学报(自科版),2012,28(3):16-18.

[23] 秦振云. 高阶矩阵谱问题非线性化与孤立子方程的拟周期解[D]. 上海:复旦大学,2006.

[24] 田守富. 非线性微分方程的若干解析解方法与可积系统[D]. 大连:大连理工大学,2012.

[25] 陶勇胜. Hirota型方程的孤立子解和怪波解[D]. 宁波:宁波大学,2012.

[26] 郭玉翠. 非线性偏微分方程引论[M]. 北京:清华大学出版社,2008.

[27] 孙业朋. 可积系统与非等谱孤子方程的求解[D]. 上海:上海大学,2006.