条件概率解题“五法”

☉南京大学附属中学 陈建红

在很多的实际问题中，都存在条件概率的问题.要求条件概率，必须先了解条件概率的定义与相关的计算公式，将问题转化为条件概率问题，分清谁是条件，谁是结论，掌握对应的性质，然后根据实际问题，结合相关的方法来求解条件概率问题.本文通过总结归纳，就求解简单条件概率问题的五种基本解题方法加以实例分析.

一、定义法

根据条件概率的定义，也就是条件概率的计算公式，先求P（A）（P（A）>0）和P（AB），再由定义P（B|A）=，即可求解P（B|A）.

例1 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P（B|A）等于（ ）.

分析：先分别利用古典概型计算P（A）与P（AB）的值，再利用条件概率的定义来计算相应概率P（B|A）的值.

点评：要解决条件概率问题，要具体分清事件A、B及其条件的构成，要理清相关的定义与对应的计算公式，结合对应的概率的计算公式加以分析与处理.解决条件概率问题时，关键是抓住条件概率的定义，把问题加以转化再分析与处理.

二、古典概型的基本事件法

当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）其是条件概率的定义在古典概型条件下的特殊模型.

例2 如图1，△ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆子落在△DEF内”，则P（N|M）=（ ）.

图1

图2

分析：通过作出相应的辅助线，把条件转化为全等小三角形个数问题，利用条件概率的基本事件法来分析与处理.

解：如图2作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC包含9个小三角形，满足事件MN的有6个小三角形，所以P（N|M）=

点评：题目涉及三角形的区域问题，通过辅助线的引入，转化为全等小三角形个数问题，把区域问题转化为计数问题，利用基本事件数来解决相应的条件概率问题，方法巧妙.

三、几何概型的几何度量法

当几何度量适合有限性和等可能性时，可借助几何概型概率公式，先求区域A的几何度量（长度、面积、体积等）μ（A），再在区域A发生的条件下求区域B的几何度量μ（AB），得P（B|A）其是条件概率的定义在几何概型条件下的特殊模型.

例3 如图3，正方形EFGH内接于圆心为O的单位圆，将一颗豆子随机地扔到该圆内（假设都可以扔到圆内），用事件A表示“豆子落在正方形EFGH内”，事件B表示“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，试求P（B|A）.

分析：结合题目条件加以分析，分别确定圆、正方形、扇形OHE、直角三角形OEH的面积，进而确定μ（A）与μ（AB）的值，利用几何概型的几何度量法来求解P（B|A）.

图3

点评：通过几何概型的几何度量法来求解条件概率，关键是结合题目条件，根据几何度量分别确定μ（A）与μ（AB）的值，进而就可以简单快捷来处理此类涉及几何概型的条件概率问题.

四、缩减样本空间法

在事件A发生的前提之下，进而确定事件B的缩减样本空间ΩA=Ω∩A，并在ΩA中计算事件B发生的概率，从而得到条件概率P（B|A）.其是条件概率与实际操作过程中产生的有效的等价转化方式.

例4 甲、乙两人从1，2，3，…，10中各任取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为________.

分析：利用条件概率的定义求解比较复杂，而直接结合题目条件，只考虑满足甲取到的数是5的倍数的对应的基本事件问题，达到缩减样本空间来分析与处理.

解：由于已知甲取到的数是5的倍数，通过缩减样本空间法，那么所有的取数的基本事件是：（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（10，1），（10，2），（10，3），（10，4），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共有18种，而满足甲数大于乙数的有13种，所以所求的概率为

点评：在解决一些条件概率P（B|A）时，可把A看作新的基本事件空间来计算B发生的概率，也就是说把B发生的样本空间缩小为A所包含的基本事件.这样通过缩减样本空间法，直接利用列举法罗列对应的事件来求解条件概率显得更为简单快捷.

五、性质法

由条件概率和对立事件的定义，可得条件概率的性质：P（B|A）=1-P（B|A），利用该性质可以解决一些相关的条件概率问题.其是针对一些复杂的条件概率的求解而采用的逆向思维所产生的特殊模型.

例5 某保险公司经过大量的数据预测，男性活到60岁的概率为0.78，而活到70岁的概率为0.26，那么现年60岁的男性活不到70岁的概率为________.

分析：根据题目条件，分别确定对应的概率，利用条件概率先来解决现年60岁的男性能活到70岁的概率，再利用性质法来处理.

解：记T为男性的寿命数，由题知P（T≥60）=0.78，P（T≥70）=0.26，那么P（T≥70|T≥60，所以P（T<70|T≥60）=1-P（T≥70|T≥

点评：解决本题时，直接求解有点没有头绪，由于“现年60岁的男性活不到70岁”无法直接来解决，而通过条件概率的性质法，从对立面去分析，即利用对立事件的概率来转化，巧妙有效.

条件概率的求解与应用已经成为近几年新课标高考的新热点之一，而且有难度不断加深的趋势.同时条件概率的题目背景与设置方式不断改变，题目也由选择题、填空题逐步变化在解答题中与相关知识加以综合、交互呈现，显得越来越重要.而通过以上条件概率解题“五法”，可以有效掌握条件概率的实质，抓住类型，利用最有效可行的方法来解决问题，实现解题目标.

参考文献：

1.覃淋.四版本高中数学教材“统计与概率”内容比较研究［J］.教育实践与研究（B），2017（12）：

2.李亚婷.高中概率论中“几何概型”学习状况研究［D］.河南大学，2016.

3.龚兵.解概率问题的“隐形”错误［J］.中学生数理化（高一使用），2016（03）：

4.何耀焕.统计与概率的教材研究［D］.华中师范大学，2015.F