一次同课异构的经历——以幂函数为例

☉上海市仙霞高级中学 郑海萍

近期参与了一次《幂函数》同课异构活动，笔者全程参与了本次备课、磨课和研讨活动，对幂函数教学有了新的认识，也产生了新的困惑.就具体的教学设计而言，情境引入构建概念、寻找研究方法、幂函数性质探究几个节点是不容忽视的，或者说，处理好这几个节点（片断）的教学，将成为本节课教学的关键.通过分析教材意图，把握学情，思考育人价值，尝试给出本课教学设计路线图.基于此，选择上述几个重要环节，回顾同课异构的课堂教学过程（片断），分析对比，对教学设计和实施进行反思.通过同行的指点、磨课，笔者对教材知识的理解有了更多的认识，将这些记录下来与读者分享.

一、如何设计情境——情境引入，建构概念

（一）W老师的引入

师：数学源于生活，应用于生活.接下来，我们一起来看下生活中的一些实例.

（1）回收旧报纸每公斤1元，某班每年卖旧报纸x公斤，所得价钱y是关于x的函数；

（2）正方形的边长为x，面积为y，这里的y是关于x的函数；

（3）正方体的边长为x，正方体的体积为y，这里的y是关于x的函数；

（4）一个正方形场地的面积为x，这个正方形的边长为y，这里的y是关于x的函数；

（5）某人x秒内骑车行驶了1千米，他骑车的平均速度为y，这里的y是关于x的函数.

师：我们发现这样的函数在生活中大量存在，所以很有研究的必要性.

问题1：以上这些函数你熟悉吗？它们是指数函数吗？

生1：有些熟悉，不是指数函数.

问题2：这些函数结构上有什么共同特征？

生2：指数都是常数，底数都是变量.

问题3：这些函数的统一结构是什么？

生3：都是xα的形式.

（二）L老师的引入

Q1：对数是怎么定义的？

生1：ab=N⇔logaN=b.

Q2：上述恒等式中，涉及了三个量：a，b，N，如果以其中的一个量为常量，另外两个量分别为自变量x和应变量y，你可以得到哪些式子？

生2：（1）xb=y，yb=x；

（2）xy=N，yx=N；

（3）ax=y，ay=x.

师：观察上述3组式子，（3）式是我们已经学过的指对数函数，（1）式呢？

Q3：你学过类似的函数吗？你能再举一些吗？它们有什么共同特征？

生3：y=x，y=x2，y=x-1.

（教师引导补充：y=，y=x3，以下同W老师的处理）

创设问题情境的目的是为了数学，数学活动的核心价值是为了思考.两位老师分别从现实生活情境和数学内部提出问题，引入幂函数的概念，两位老师的引入各有特色.现实生活情境与数学内部情境，二者都是学生数学学习的现实，自然地，也都是创设问题情境的来源.从课堂效果来看，W老师从学生相关的生活经验，创设问题情境，自然、亲切地引出学习内容，这样引入注意知识的系统与联系，强调学生生活经验的作用，从而明确“研究什么”和“怎样研究”，学习的自觉性得到提高.W老师本意是想从代数式ab=N出发，三个量：a，b，N，如果以其中的一个量为常量，另外两个量分别为自变量x和因变量y，分别得到不同的函数，数学内部辨析，进而得到本节课想研究的问题，但是老师设置问题的指向不明确，比如说，学生对问题1就颇为困惑，一开始就陷入了僵局，受前面指、对数函数学习的深刻印象，学生比较容易往对数函数方向回答，在教师的引导下，好不容易回答了对数式的定义.这样的引入学生对于“要学什么”“为什么要学”“如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然.

数学问题的提出并不容易，而问题又最好由学生提出，就更加困难了.创设适当的问题情境是课堂教学的重要一环，也是一个难题.数学问题情境类型多种多样，比如，“以旧引新”情境，“数学问题”情境，“实际生活”情境，“趣闻史话”情境等.问题情境的目的是让学生通过情境发现和提出问题，笔者认为情境要直观明了，简单易懂，源于生活，贴近学生，利于揭示数学本质.本节课的情境引入笔者认为W老师的处理方式更胜一筹.

二、如何研究问题——研究过程问题的设置

（一）W老师

Q1：遇到一类新函数，接下来我们要研究？（稍作停顿）

生1：性质.（板书）

生2：图像.（板书）

Q2：结合已有经验，你觉得我们该按怎么样来研究幂函数？

生：先作图，再研究性质.

……

（二）L老师

师：新的函数概念搞清楚了，接下来我们要做点什么？

生：画图.

师：你是怎么想到的？

生：因为前面学习指对数函数，也是这样的.

师：怎么画图？

生：列表—描点—连线.

……

不同处理方式的比较思考.

章建跃博士说：“数学具有抽象性或一般性特点，这使得数学更注重研究问题的一般方法.”在数学课堂教学中，应该让学生经历研究问题的一般过程，即形成问题，构建概念，寻找方法，提出假设，验证猜想，语言表述的过程.这个教学环节笔者认为是提高学生学习能力的着力点，遇到新问题探究学习所需要的研究方法，遇到新问题怎么想具有方法层面的意义，让学生发现与提出问题，分析与解决问题，特别是“遇到新问题怎么想”，具有很好的数学育人的作用.显然，此处两位老师各有千秋.

三、如何探索性质——学从无到有的探究

（一）W老师

师：实际上我们用到了“数形结合”的方法（.板书）但是实际生活中存在着大量的幂函数，是不是都要画出来？

生：取特殊的研究.

师：很好，也就是“从特殊到一般”，具体取哪些特殊值？

生：取互为相反数的，互为倒数的.

师：取特殊的就要找有代表性的，为了方便点，可以取一些简单点儿的，比如，a=1，a=-1；a=2，a=，为了有比较，我们不妨再取个a=3来研究.

师：取完这些特殊函数后，接下去我们做什么？

生：画图.

师：为了更高效地画图，我们在画图之前是不是要做一些准备工作？

生：先求定义域.

师：出示例1：求下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性（必修1P88例1）.

……

师：准备工作做完，我们准备开始画图，怎么画？

生：列表—描点—连线.

师：是不是每一个都要这么画？有没有必要？

生：其中有熟悉的函数：y=x，y=x2，y=x-1可以直接画，重点画另外两个函数.

（投影学生做的图，学生阐述画图过程）

师：在（0，1）内的图形，你们分得清谁在上面谁在下面吗？怎么说明？

生：取（0，1）内的特殊值比较.

师：很好，图形只是一个粗略的直观，要严格说明的话还是得靠“数”来证明.

（二）L老师

师：怎么取？取的时候有什么困难？

生：对α取特殊值.

师：取哪些？（教师引导学生回答）

师：怎么样来画这几个有代表性的函数图像呢？（思考一下）这5个里面有我们比较熟悉的函数呢？

生：α=1，2，-1.（学生在同一坐标系中画图像，教师投影并追问学生画图过程）

师：另外两个怎么画呢？在画之前，我们需不需要来研究一下它有什么性质？我们需要做点什么？

生：定义域、奇偶性、单调性.

师：知道了这些性质后，能不能大概估计一下图像的分布？

生：在（0，+∞）上单调递增，应该是一个曲线，增的幅度要小一点.

师：我们了解了图像的大致分布，再动手画的话，是不是要得心应手好多.

（学生分组分别画图）

探索问题是思考的源泉、探究的载体，解决问题是思考的动力.数学教学过程，应当以启发式教学思想为指导的问题引导学习的过程，设置恰当的问题引导教学显得尤其重要.设置问题应该立足于学生的最近发展区，促进其数学学习活动，深化其数学思考.学生已经学习了指数、对数等具体的函数，对建立数学对象的一般过程与方法即研究过程也有一定的经验.幂函数是第三个具体函数，教学设计时我们立足于数学知识发展的逻辑线索，为学生构建“前后一致，逻辑连贯”的数学学习过程.这里W老师设计更为巧妙一些.笔者设想启发学生提出问题、探索性质，寻找研究策略.得到幂函数概念后，提出问题1：接下来要干什么呢？问题2：面对一个陌生函数，对它了解多少，要做什么呢？研究它的性质；问题3：怎么研究呢？借鉴以前研究经验，可能要通过研究它的图像来研究性质；问题4：怎么研究图像呢？……

研究上述三方面的对比，笔者认为数学教学若能始终坚持探究教学，教学生学“提出”问题，学“建构”概念，学“寻找”思路，学“研究”问题的一般方法，让学生经历从不知到知，不懂到懂，不会到会，不明白到明白的过程，学生用自己的“所有”去探索“所无”，通过学知识来学思考，学创新，学创造，我们的课堂教学才是超越数学知识技能，完成立德树人的根本任务.

参考文献：

1.吴成海.高中数学创新教育应着力于创新思维培养［J］.新课程（中），2011（7）.

2.周湖平，李阳华.从指数函数设计看数学教学［J］.中学教研（数学），2014（11）.

3.王珂.从一个教材问题思考课堂教学的深度［J］.数学教学研究，2015（9）.J