基于学生思维发展的高中数学教学策略分析

☉江苏省如东高级中学 丁彦之

在学生解决数学问题的过程中起基础性作用的是知识，而起关键性作用的应该是学生的思维，如何锤炼学生的数学思维提高解决数学问题的能力呢？笔者就该话题结合具体的教学案例进行分析，希望有助于数学课堂教学实践.

一、注重通性通法，夯实后求巧

解决问题时通常会采用的并具有普遍意义的方法我们将其称之为通法，这种以基础知识为依据、基本方法为技能的解法思想与一般的思维规律是吻合的.巧法则是双基与题目条件的灵活运用与巧妙使用，关键在于一个“巧”字.教师在通法、巧法的运用处理上，首先应认识到很多关键巧法并不属于学生学习的主要内容，而且还有相当一部分的巧法是数学能力一般的学生不易掌握的，再加上，“巧”字隐藏的含义很多时候代表的是影响面与运用面都比较狭窄的意思，因此，教师应该认清“巧法”在数学解题中的地位与价值，并做到立足通法的同时兼顾巧法.

数形结合法在解无理不等式的某些问题时往往会显得非常简便，部分教师因为这个原因常常会特别重视这一方法的传授，学生对作图解题感到新奇并产生兴趣的同时往往又会对基本的运算生出一丝厌烦，去根号这一最基本的方法往往也就被忽视了.比如，当的图像不易作时，学生往往会在解形如等式的过程中感觉数形结合法的无效，平时又不注重应有的基本运算训练，各种解题错误随即产生.因此，教师应首先加强对基本思想方法的启迪与训练，并促成学生对基本思想方法的熟练掌握，然后引导学生从这些常规的方法训练过渡到特殊解题技巧的运用，并因此促成学生思维的深化.

很多学生对此题求解时往往是分类后再进行演算，事实上，数形结合这一数学思想不仅能够大大减少运算量，还能将数学思想对解题的指导作用体现得更加淋漓尽致.

图1

图3

图2

图4

无论是通法，或者是巧法，都应该渗透数学思想方法，因为数学思想方法对解题影响巨大，教师将数学知识作为载体进行数学思想方法的渗透教学能够帮助学生更好地领会数学思想方法的应用，并提升自己的解题能力.

二、呈现一题多解，引导学生的思维选择与发展

学生在解题中的探索思路真正暴露出来才能为教师后续教学所用，教师了解学生的信息反馈之后应将其作为自己后续教学的依据并尽量沿着学生思维轨道对其进行引导，面对学生与教师思维之间的巨大差异时更加要因势利导，着眼于学生的“想”并帮其分析思维为何会受阻，使学生学会分析方法优劣的同时获得正确的解题思路.

学生主要思路如下：

思路4：在思路3的基础上利用sin210°+cos210°=1实施1的代换（受阻）.

全班大概只有三分之一的学生完成了解题，事实上，对于学生展现出的这么多解题思路，教师如果能够及时帮助学生对解题受阻的原因进行探寻，学生必然会在自己的解题思路中走得更远，学生在各种思路的梳理与比较中也对三角公式的运用产生了更多的体会.

三、师生对话，引导学生感受思维“变奏”的过程

我们的教学不能仅仅关注学生的学习结果，还应该监控学生思维发展的过程，学生解决问题的思维动态与发展这是我们从学生书面作业中很难发现的，为此我们的教学要有师生对话，这是暴露学生思维并引导学生走向正确、巧妙之路的不二法门.

例3 如图5，已知直线x+2y-4=0与抛物线x2=4y相交于点A和B，O为坐标原点，请在抛物线x2=4y的弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大.

师：请大家表述一下你们的解题思路.

生1：设抛物线x2=4y在弧AOB上的切线方程为x+2y+m=0，它与x2=4y联立方程组，消去x，由Δ=0可求得m的值，切点坐标由此可得，即点P的坐标求得.

图5

生2：设切点P（x0，y0），则切线的斜率，点P的坐标即可求得.

师：生1给出的解法是通性通法，生2给出的解法则表现出了较强的技巧性.

在学生已经掌握了多种方法解题后，我们还可以通过情境的变化，再进一步与学生对话，促进其科学思维得以沉淀.

例3的变式：如图6，已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于点A和B，O为坐标原点，请在抛物线x2=4y的弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大.

给足学生时间进行独立解题，教师巡视后投影其中三种解法：

生3：通法（略）.

师：生4和生5在解题中都运用了导数求解的方法，但结果却不相同，究竟谁是对的呢？

图6

生6：生5对的，求解时必须先求得y关于x的函数表达式才能对此题正确求解.

师：很好.不过，生5虽然正确求解了，但我们在解题时还应该注意格式的规范性.利用导数对此类问题求解时一般应遵循选段、改写及求导这三个步骤.“选段”的意思为在所研究的曲线上选取其中一段并使之成为某一函数的图像；“改写”的意思则为写出之前所选取图像对应的y关于x的函数表达式；“求导”则是利用求导公式进行求解.

学生在直线与二次函数型抛物线相切的问题上表现得训练有素，通法与技法的运用都体现出了他们在处理此类问题时的能力.但变式的设计却能让学生在思维的海洋中再掀波澜，不仅如此，一些学生对函数的导数这一概念的错误理解也及时得到了纠正.解题技法的操作因为“方程的曲线”与“函数的图像”之间的区别和联系得以辨析的同时更加程序化，学生往往会觉得耳目一新.

当然，培养学生的思维能力也并非一朝一夕之功，我们在平时的教学中应该有意识地渗透，不要一味地追赶进度，而应该给学生提供更多的时间、空间，将知识与思维有机地糅合到数学问题的解决中去.F