再论双曲线的一个优美性质的简证与推广
2018-04-14广西柳州高级中学吴佐慧
☉广西柳州高级中学 林 军 吴佐慧
☉湖北大学数学系 刘合国
文［1］中的作者提出如下定理：
定理：在双曲线所在平面内任取一点（该点不在双曲线和其渐近线上），过此点作两条渐近线的平行线，这两条线与双曲线相交于两点，与渐近线相交于两点，则双曲线上两点的连线平行于渐近线上两点的连线.
文［2］从有公共交点曲线系的角度给出该定理的一个简证，本文将从线性变换的角度给出定理的另一种简洁证明，并对定理进行推广.
性质1：线性变换把直线变成直线.
性质2：线性变换把平行直线变成平行直线.
性质3：线性变换保持共线三点的简单比值不变.
性质4：线性变换把共线的三点变成共线的三点，把不共线的三点变成不共线的三点.
性质5：线性变换把线段变成线段，并保持线段的分比不变.
性质6：线性变换按同一比值改变平面上所有（有面积的）图形的面积.
在文［4］中，线性变换把圆锥曲线的某些问题简化成圆或者平面几何的问题，利用其方程的简洁性或圆的一些几何性质，化繁为简、化难为易，充分体现了化归的力量.基于这样的思想，在处理双曲线的某些问题时，同样可以用线性变换把双曲线转换成等轴双曲线，使问题得到简化.
则通过线性变换可将双曲线变成等轴双曲线x′y′=1，其渐近线恰为两坐标轴.线段AB的斜率k变成线段A′B′的斜率k′，且k|AB|，面积
接下来我们给出文［1］定理的证明.证明：将双曲线用线性变换（*）变成等轴双曲线x′y′=1，原双曲线的渐近线变成两坐标轴（如图1），设点P（x0，y0） 是不在双曲线x′y′=1及渐近线上的任一点，过P分别作渐近线的平行线交双曲线于A、B两点，交渐近线于E、F两点，则AE（x，0），F（0，y），直线AB00
由于kEF=kAB，所以AB∥EF.由线性变换的性质2知，在原坐标系下此结论仍成立.
在以上的证明过程中，通过线性变换改变了双曲线方程的形式，使方程变得更为简洁，从而达到简化运算的目的.基于这样一种思路，我们可得到双曲线的另外一些有趣的性质.
图2
图3
证明：通过线性变换（*）将双曲线C变成等轴双曲线x′y′=1，原双曲线的渐近线变成两坐标轴，相应的点变成对应的点，如图3.设T′（x0，y0），则
又设线段A′B′，E′F′，P′Q′的中点分别为M′，N′，G′，
则各线段的中点与原点O连线的斜率别为
所以kOM′=kON′=kOG′=kOT′，故O，M′，N′，G′，T′五点共线，由线性变换的性质4（线性变换把共线的三点变成共线的三点）知命题成立.
注：（1）由上述证明过程我们可以得到如下结论：过不在双曲线及渐近线上的任一点P作两渐近线的平行线交双曲线于两点A，B，则直线OP总平分线段AB（O为坐标原点）.
（2）因为kA′B′+kOM′=-0，即是我们得到了文［5］的结论.
图4
（1）当A，B在双曲线的同一支上时，则|AB|=|EF|-|PQ|；
（2）当A，B在分别在双曲线的两支上时，则|AB|=|EF|+|PQ|.
证明：通过线性变换（*）将双曲线C变成等轴双曲线x′y′=1，原双曲线的渐近线变成两坐标轴，相应的点变成对应的点，如图5.设
图5
（1）若点A′，B′在双曲线的同一支上，不妨设A′，B′均在第一象限的同一支上，且0＜x2＜x1，
图6
图7
证明：通过线性变换（*）将双曲线C1，C2变成等轴双曲线C1′：x′y′=1和C2′：x′y′=-1，渐近线变成坐标轴，相应的点变成对应的点，如图8.设x1）.对图形6的情形，则C′（x1，0），
图8
由线性变换性质2知，AB∥CD∥EF.
所以|A′B′|+|E′F′|=2|C′D′|，由线性变换性质5知，
2|CD|=|AB|+|EF|.
同理可证图7的情形：2|CD|=|EF|-|AB|.
特别地，当A，B重合时，|EF|=2|CD|，即过双曲线上任一点作两渐近线的平行线被其共轭双曲线截得的线段长是被两渐近线截得线段长的2倍.
图9
图10
证明：通过线性变换（*）将双曲线C1，C2变成等轴双曲线C1′：x′y′=1和C2′：x′y′=-1，渐近线变成坐标轴，相应的点变成对应的点，如图10.设
证明：通过线性变换（*）将双曲线C1，C2变成等轴双曲线C1′：x′y′=1和C2′：x′y′=-1，相应的点变成对应的点，如图11.在C1上任取一点所以.由线性变换性质6知，
图11
参考文献：
1.赵忠华.双曲线一个优美性质的发现［J］.中学数学（上），2016（2）.
2.陈良骥.双曲线一个优美性质的简证与推广［J］.中学数学教学，2016（5）.
3.丘维声.解析几何［M］.北京大学出版社.
4.吴佐慧，林军，刘合国.仿射变换在高中数学中的应用［J］.数学通讯.2015（9）.
5.吕佐良.双曲线的一个定值性质及应用［J］.数学教学研究.1997（6）.J
