高等数学视角下中学数学教学研究——以人教版高中数学为例

☉辽宁省鞍山市第三中学 王 红

一、中学数学教学存在的问题

（一）中学数学与高等数学内容方面的不对称

在新一轮的课程改革中，有些大学高等数学的课程内容在中学数学中有所涉及，大大增加了中学数学教材内容.然而，两者对相同内容的讲授要求及深度都不相同，比如函数与导数，虽然高中数学中有函数及其性质相关的内容，但难度与广度都达不到高等数学相应内容的教学要求，函数求导就是例子.这就使得中学与大学在数学教学方面的脱节，中学数学教育并没有给学生的大学教育带来明显的便利.

（二）中学数学教学重技巧、轻基础

受高考的硬性要求影响，广大数学教师关注的是怎样快速提高学生的成绩，反而弱化了基础性内容的讲授.在教学过程中，教师往往会将时间和精力放在讲解解题技巧和方法上.

（三）中学数学的高难度削减了学生的学习兴趣

为了适应高考的难度，高中数学教师往往会将关注的重点放在难度较高或在考纲中比重较大的知识点上，课程讲解会偏向这部分内容.这样的教学方法对于数学基础较好的学生来说没有什么压力，但基础一般或较差的学生就会感到比较吃力，这部分同学可能花了更多的时间，但最终的学习效果还是不理想，使得他们产生了畏难、疲惫等消极情绪，久而久之，这些同学的自信心就会一点一点被磨灭，对数学的兴趣越来越弱.

二、高等数学视角下的中学数学教学策略

（一）立足例题，渗透方法

在高等数学教学思想的影响下，高中数学教学的一大要点就是提升解题方法的层次性，因此教师在讲解课本知识点时要利用好例题，在讲解例题时适当地融入高等数学的思想方法，拓宽学生的思路，引导学生多途径、多角度地解决问题.

案例1 设a，b∈R，满足（a-1）3+2013（a-1）=-1，（b-1）3+2013（b-1）=1，求a+b的值.

解：设f（x）=x3+1997x.

因为f（x）为奇函数，所以f（a-1）=-1，f（b-1）=1.

所以f（a-1）=-f（b-1）=f（1-b）.

因为f（x）在R上单调增，所以a-1=1-b.

所以a+b=2．

分析：在讲解过程中，教师引导学生观察题干，提示学生除了直接计算还可以构造函数进行解决，最终将这个问题转化为方程的根与函数的零点问题，实现高等数学思想方法在初等数学问题中的应用.在解决完这道题之后，教师还可以进行扩展，借助数形结合的思想方法，向学生讲解高次方程根的个数与对应函数单调性之间的关系；除此之外，教师还可以引导学生利用高等数学中的微分方法、高等代数中的代数基本定理来进行证明.

（二）依托教材，挖掘习题

现阶段，高考命题人不再一味强调学生的计算能力，考查的重点转向了学生的数学思想方法，求“巧”.在这样的背景下，高等数学的思维有时候能大大简化学生的思维量与计算量，使得学生能够又快又准地解决问题.当然，这并不是要求教师“超纲”，而是在学生的知识储备、能力水平可接受的范围之内进行拓展.因此，高中数学教师需要充分利用教材，辅导学生解决对思维要求比较高的习题，纠正学生“数学靠计算”的错误认知，引导学生养成多层面、多角度、全方位认识问题、解决问题的能力，提升学生的数学素养.

案例2 试证明：

分析：在解决这一例题时，只需要进行代数运算.教师在此基础上可以进行知识点的延伸，结合函数的概念及性质组织教学活动.首先，教师可以引导学生绘制函数图像，借助图像解释题干中表达式的含义；与此同时，教师可以换个角度，引导学生进行逆向思维：如果函数（fx）对于其定义域内任意那么函数（fx）的图像具有怎样的特征？）时函数的图像又是什么样子的？从知识点角度来剖析，教师的目的就是要引导学生探究函数的凹凸性.在具体教学过程中，教师要注意不能过于生硬，不需要强调“函数凹凸性”这一准确概念，而是引导学生自行总结.

（三）结合现实，优化教材

高中数学教学并不是对数学知识的简单呈现，需要充分考虑具体的教学现状与教学规律.从教师的层面来说，一切教学行为都要基于课程标准，在此基础上可以结合学生的学习情况及个人经验来对教材中的数学知识进行调整与优化，适当地融入高等数学的思想方法，使得学生的高观点学习思维更为系统.

比如，导数（微分）原本是高等数学中数学分析的知识内容，现在多数版本的教材都将其列入中学数学的教学要求中，与传统的中学数学知识点相比，显然导数具备较强的抽象性.尽管如此，教师要引导学生准确地看待这一新增内容，借鉴导数内容的演变来开展数学教学活动，赋予其活力，挖掘生活中的导数模型.

三、数学方法例证

在求函数的极值、增减性等问题时，除了常规的图像法，高中数学教师还可以适当地引申，向学生介绍导数的相关概念，让学有余力的学生尝试采用这种“非常规”解法来处理函数问题；在几何问题中，向量能将图形中的数量关系定量表示，进而将几何问题转化为代数问题.

（一）微分（求导）

案例3 描述出二次函数y=20x2+40x+20的对应性质.

在常规的函数性质教学过程中，绘制函数图像是重要的内容.在完成这一教学内容的基础上，教师可以向学生介绍导数的概念，引导学生掌握简单函数的求导方法，进而解决函数的单调性、极值等问题.

在案例3中，常规的解法如表1所示.除此之外，老师可以在向学生介绍导数相关知识的基础上进行如下求解：

y′=40x+40=0.

解得x=-1.

所以x=-1为对称轴.当x=-1时，ymin=0.

表1

当x≤-1时，y′≤0，所以函数在（-∞，-1）上单调减；

当x＞-1时，y′＞0，所以函数在（-1，+∞）上单调增.

（二）向量

向量的思想方法在几何内容中应用得比较多，需要从题干信息中的相关几何条件出发，准确地选取基本向量，寻找数量关系，列出向量关系式，随后通过向量运算得出新的向量关系式，最终解决几何问题.

案例4 证明已知三点A、B、C共线.

思路1：存在唯一实数μ（μ≠0），满足A—→B=μA—→C⇒A—→B=μA—→C⇒A、B、C共线.

思路2：O为直线AB外一点，存在实数λ、μ且λ+μ=1，满足O—→C=λO—→A+μO—→B⇒C在直线AB上⇒A、B、C共线.

思路3：O为直线AB外一点，存在实数λ、μ、γ、（不全为0）且λ+μ+γ=0，满足λO—→A+μO—→B+γO—→C=0⇒C在直线AB上⇒A、B、C共线.

参考文献：

1.周瑞琼.试谈初等数学和高等数学的“矛盾”现象及其本质联系［J］.柳州师专学报，1995（6）.

2.陈志云.微积分在初等数学中的应用［J］.高等函授学报（自然科学版），2008（2）.

3.任勇.介绍高等数学内容 开阔学生知识视野［J］.数学通报，1995（3）.

4.张秀蓉.高等数学视角下的中学数学教学研究［D］.福州：福建师范大学研究生院，2014.F