摭谈解题教学中思维引导的重要性

☉江苏省无锡市堰桥高级中学 郭桂霞

众所周知，数学解题是一项复杂的全面性工作.从高一开始，我们不难发现懂而不会对于学生而言渐渐成为一种普遍现象，从而引发了教师们普遍的教学思考.笔者发现一个有趣的教学现象：不少教师在教高一学生的时候，往往将题型教学演绎得非常深刻，让学生通过熟练操作各种类型的题型以便获得一定的数学理解.

这种方式不能说完全无效，在短时间内有一定的效果，但随着知识广度的铺开和深度的加深，这种题型教学往往让学生深陷学习的困境.让其对于数学学习的兴趣也不断降低，违背了课程标准的教学理念.从懂而不会开始，到知识的理解，到底怎么处理才能获得思维的发展？笔者结合自身的教学实践和思考，与大家交流.

一、抽象与具体的引导

高中数学一直是以感性认知为基础的抽象知识深化，但是对于不少学生的学习而言，如何从知识的感性认知达到理性的思考，是我们教学需要关注的.从大量教育学研究资料中显示：学生对于知识往往处于最为基本的感性认知状态，概念的理性深化不通过问题的思考是无法感受到的，在教学中合理地设计具体问题和抽象问题的交替，有助于提高学生利用数学概念解决抽象问题的思维能力.

例1（1）函数f（x）的定义域为（1，2），求函数f（x+2）的定义域.

（2）函数f（x+1）的定义域为（-∞，1］∪［2，+∞），求函数f（x-1）的定义域.

（3）函数y=f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则函数y=f（x）的图像关于________对称.

（4）函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b，则函数y=f（x）的图像关于________对称.

思考：这是笔者在抽象函数一节中给出的四个小问题.从学生已经学习的基础知识来看，学生理解函数的定义域及函数的对称性，但这些知识都是基于具体函数模型中存在，即学生需要依赖函数的具体解析式.如何在抽象的函数中引导学生理解函数定义域与函数对称性？

分析：对于问题（1）、（2），教师给出了基础知识的再回顾：第一，何为定义域？定义域指的是函数关系中自变量的取值范围，因此问题解决过程中始终要理解，定义域指的是自变量x，如函数f（x+2）的定义域所求的是“x”的范围，而不是“x+2”的范围；其次，在解决问题过程中，不难发现整体思想的运用呈现出的重要性，因为对于法则“f”来说，我们势必要关注其针对的整体，即法则“f”下两个整体部分的范围的一致性，如“函数f（x+1）”和“函数f（x-1）”中，“x+1”和“x-1”的取值范围是一致的.

对比：上述分析是从函数的抽象角度实施的，对于学生而言，如何将这种抽象落实到每个学生的头脑中呢？显然对于高一学生而言，是有些困难的.因此，我们需要加强思维直觉化的引导，即具象化.笔者开发了问题（1）和问题（2）的具体特征形态，如下表：

函数 具体感知 抽象再现f（x+1）的定义域为（-∞，1］∪［2，+∞）即 f（x+1）中 的x满足 x≤1或x≥2 f（x）的定义域为（-∞，2］∪［3，+∞）■令f（x+1）=（x-1）（x-2）即 f（x）中 的 x满 足 x≤2或x≥3 f（x-1）的定义域为（-∞，3］∪［4，+∞）类比■则f（x）=（x-2）（x-3）即 f（x-1）中 的x满足 x≤3或x≥4数学思想 解决抽象函数时，关注整体思想的运用，这里自变量的范围是一样的■则f（x-1）=（x-3）（x-4）

问题（3）和问题（4），见下表：

2对称f（a+x）+f（a-x）=2b令f（x）=x验证点（a，b）对称函数性质 具体感知 抽象再现f（a+x）=f（b-x）令f（x）=x2验证直线x=a+b 类比

意图：解题教学最核心的是要体现数学的本质，面向学生最重要的是要以生为本的设计.笔者以为教学要坚持这样的初衷，才能获得最大的教学效率.问题（1）和（2）这样的抽象函数，对于学生而言，初学者未必一定要钻研抽象过程的转变，更能从直觉思维的视角进行函数模型的具象化，这样对于学生解决问题和进一步理解后续抽象函数定义域有了更好的铺垫；问题（3）和（4）是函数对称性抽象表述，同样通过建立具体的函数模型，我们可以发现函数具象化之后，学生对于抽象表述的认知达到了理解的地步，进而通过具体加深抽象问题理解.

二、几何与代数的引导

数学强调的是代数和几何的双重学习，对中学数学来说，哪一个方面更为侧重呢？笔者从以往大量研究资料数据认为，代数在基本面的运算上要求更多一些，而在压轴小题的解决方向上，几何味道侧重会更多一些，因此对于学生思维的引导要注重双管齐下，有的放矢.笔者以具备代数和几何双重特性的向量小题举例说明.

例2 （1）设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e，e的夹角为最大值等于________.12

（2）设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a·b=-1，〈a-c，b-c〉2=60°，则|c|的最大值等于________.

分析：从问题给出的形态来看，学生的直觉思维是怎么样的呢？对于问题（1），笔者作过统计研究，大量学生的直觉思维是代数化，即选择代数特性作为入手方向，这也是正确的第一选择；作为对比的问题（2），学生显得有些手足无措，因为该问题代数化的方式显得有些困难了.对比代数解答，继续分析.

问题（2）代数解法：可以从〈a-c，b-c〉=60°及数量积出发，利用不等关系及均值不等式求|c|的最值.由题意［1-（a+b）·c+|c|2］，结合上述两式得a·b-（a+b）·c+［1-（a+b）·c+|c|2］，化简，得|c|≤2+（a+b）·c≤2+|a+b·||c|=2+|c|，得|c|2-|c|-2≤0⇒|c|≤2，即最大模长为2.

思考：通过对比我们不难发现，这样的求解对于绝大多数学生来说，都是比较困难的.问题（1）如果能在函数视角下尚能形成降元，学生还能基本解决，问题（2）则显得代数化非常困难，那么教师必须引导学生思考核心问题：中学数学在小题的考查上，更多侧重的是什么角度？显然是几何化的方向.可以这么说，平面几何在高中数学中的影响力往往潜伏在知识中，让学生体会这种思维转变的过程，加强解题思维的引导，这才是例题教学的关键.问题（1）几何解法：不妨设x≠0，由b=xe1+ye2，x，y∈，结合平行四边形法则（如图1）的最大值为2.

图1

图2

问题（2）几何解法：向量a，b满足夹角120°，且a-c与b-c的夹角是60°，以四点共圆来建构图形.如图2，设∠ACB=60°，可知点C的轨迹是优弧上一动点，显然当C为优弧A的中点时|取到最大值，即为O，A，B，C四点所在圆的直径.易得|—，在△ABC中，由正弦定理得

意图：通过几何角度和代数角度问题解决的对比，引导学生解题思维的重要方向，如果在思维上缺乏思考，那么必须在运算上花费较大的代价；反之，若能考虑几何属性，则代数运算就会降低，从而获得思维的开发.总之，解题教学要引导学生思考、思维的变化，笔者认为文中两个大方向是不可改变的.数学本身就是代数和几何的选择、具体到抽象的深化，因此我们多做一番教学思维的启发、多尝试一些思维开发的引导，对于学生思考问题、解决问题可以带来更为普遍的方向性，从而让学生理解思考的重要性.至少对中学数学来说，笔者认为几何味道对于解决问题来说显得更为突出一些，这也是初等数学的特性之一.最后，思维引导还需要做好以下方面：比如，更为广泛的知识结论的积累，开拓眼界、关注结论对于问题的解决是显而易见的，有了多方面的积累自然能打开更为宽广的思路，解题思维的形成也是自然而然的事.

参考文献：

1.方厚石.函数教学诠释思维品质［J］.数学通讯，2014（1）.

2.吴成海.数学试题创新应着力于思维培养［J］.中学数学（上），2013（8）.

3.周湖平，李阳华.从抽象函数看数学概念教学［J］.中学教研（数学），2013（1）.F