数学教学要直击本质

☉江苏省徐州第一中学 杜 芬

在一线教学多年，渐渐认识到数学教学是个循序渐进的过程，而对于学生的学习更是如此.数学教学是一项直击数学本质的探索历程，对于学生而言需要三个步骤的过渡：第一，了解概念、掌握大概，进而去尝试解决问题；第二，反思问题、再思知识的核心算法掌握到位；第三，重视数学本质，思考数学教学为什么要强调回归本质、回归教材.只有这样的数学教学才能提高学生的素养.

史宁中、王尚志等教授根据课程改革制定数学学科的六大核心素养，数学教学更从以往强调情感态度价值观向更高的层面进发.笔者可以这样理解，将来的数学教学不再是比技巧和技能，而是比概念下的数学知识核心掌握与否，也就是说更复杂的数学问题教学需要直击本质、直击数学核心知识，这样的教学才是注重素养的教学，与学科核心素养紧密相关.本文从两个方面进行阐述和分析.

一、回归几何意义的思考

数学概念往往具备双重性，即代数属性和几何属性.笔者以为，代数属性是其全面性的展示，几何属性是其直观性的最佳表象.不难发现，中学数学更佳的问题解决手段是几何属性，因为其较容易贴近中学生认知心理及其思维发展，而代数属性更多的是在高等数学问题解决中使用频繁，高维度的数学问题在几何直观上是比较难以解决的.

分析1：本题是2014年重庆卷理科16题，是单变量恒成立问题，从难度上来说并不难，学生容易解决.令y=利用函数图像可得时，|2x-1|+|x+2|有最小值但是学生解决问题的方式大都是分类讨论，可以这么说，用分类讨论解决这样的问题并没有直击数学的本质.笔者认为，这样的解答方法是因为我们长期向学生灌输分类讨论思想造成的，这是模式化的，这种解法的好处是思维简单，坏处是对于多个绝对值的讨论将陷入困境.比如近年来热门的自主招生、三位一体等，各高校自主命题中出现的多个绝对值若从分类讨论的角度切入，则费时费力.不妨看一个当年的北约自主招生问题：求y=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|的最小值.难道分11段进行分类讨论？显然是不切实际的，这说明问题1和北约自主招生考题其背后的知识本质和数学核心并未被挖掘出来，因此直击本质才是我们需要的教学.

本质：那我们得重新回到绝对值最初的概念思考，绝对值到底有什么样的几何本质呢？笔者发现包括教师在内，很少有人去思考概念的本质，学生看到绝对值的第一反应——去绝对值，分类讨论！这是典型的概念学习不扎实的表象，谁说绝对值必须要分类讨论去切入？让我们回归绝对值“初心”，思考下绝对值的几何意义——|a-b|或|b-a|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离.求|x-2|的最小值几何意义清晰明了吧？求|x-2|+|x-1|的最小值呢？也很显而易见吧！因此我们思考，不难获得经典的引理.

引理：（1）偶数个零点：y=|x-a|+|x-b|的最小值（a≤b），当且仅当x∈［a，b］时取到；

y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an（|n为偶数且的最小值，当且仅当时等号成立.

（2）奇数个零点：y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值（a≤b≤c），当且仅当x=b时取到；

y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an（|n为奇数且a1≤a2≤…≤an）的最小值，当且仅当x=an+1时等号成立.

从引理的角度，我们获得了问题1的第二种直击数学本质的解法.

我们进一步思考北约自主招生问题，很容易发现，直击绝对值本质的解法才是知识的核心.

有兴趣的读者进一步思考两道浙江高考真题，问题的处理恰恰是绝对值几何意义的思考.

链接1：t为常数，函数y=|x2-2x-t|在［0，3］上的最大值为2，则t=________.

简析1：2008年浙江填空15题，从绝对值本质的角度思考，令m=x2-2x，由x∈［0，3］可知-1≤m≤3，问题转换为：当m∈［-1，3］时，|m-t|的最大值为2，根据绝对值几何意义可知，t=1.

简析2：2017年浙江填空压轴题，从绝对值本质的角度思考，令，由x∈［1，4］可知，4≤m≤5，问题转换为：当m∈［4，5］时，|m-a|+a的最大值为5，根据绝对值几何意义可知

二、回归概念的再认知

数学概念是数学教学的核心，也是近年来高考命题最想考查的学生知识能力水平的重点区域.考查概念的考题往往清晰明了，但学生却读不懂题意.原因是我们在教学中不太重视数学概念，而花费了大量的时间在做重复的解题，而这些试题大同小异，做1000个和做500个差别大吗？有一点差别，那就是可能以前解这个问题需要10分钟，现在因为熟练减少了1分钟，只需要9分钟，但是有意义吗？这是哈佛大学终身教授华裔数学家丘成桐先生提出来的.笔者以为，我们的教学更应该去找到一些好的问题，直击数学概念，舍弃一些重复的操作，才是对学生数学心灵最大的提升.

案例：数列问题的函数及其性质概念的本质思考.

数列是一种特殊的函数，数列问题的解决离不开函数知识的运用，并且函数中相关的概念在数列问题中的运用也是隐含于其中的，这一点大多数学生并没有准确理解到位，这造成了学生在问题的解决过程中没有寻找到知识本质的方向，没有思考与函数及其相关的性质概念的使用，造成了效率低下、数学素养难以提升.我们首先来看看最重要的等差数列及其函数模型本质.

表1 等差数列通项公式和函数对应关系

表2 等差数列求和公式和函数对应关系

问题2：若数列{an}为等差数列，ap=q，aq=p，求ap+q的值.

法1：因为ap=q，aq=p，所以a1+（n-1）d=p，a1+（p-1）d=q，解得a1=p+q-1，d=-1.所以ap+q=0.

说明：法1的基本量是等差数列角度进行的思考，是一种基本量的运算；法2是一次函数概念的深层次认识，考虑到{an}是等差数列，那么（n，an）是共线点，即（p，q），（q，p），（p+q，ap+q）三点是共线的，然后就可以利用斜率相等来求，显然有种与众不同的感觉，同时也肯定法2的本质是一次函数的深层理解.

总之，从中学数学教学现状来看，在解题教学中能真正直击本质的教学是少之又少.笔者认为主要是两方面因素的构成：第一，教师自身受教学与解题方向误区的问题，现在学生学习的今天就是教师的昨天，没有高观点、高素养，不可能引导学生直击数学本质，谈何关注核心？第二，要挖掘本质不是一朝一夕的，教师自身少不了对数学问题的深层次研究，只有这样才能引导学生走向数学学习的高层次、高素养.本文从两个方面作了浅显的分析，不足之处请读者引玉指导.

参考文献：

1.国丽娟.从函数视角解决数学问题［J］.数学学习与研究，2015，（9）.

2.潘佩.话说高考试题中的数学思想的应用［J］.数学教学研究，2016（1）.

3.陈建红.试论函数思想在数列中的运用［J］.考试周刊，2013（7）.F