一题多解话思维 平面向量巧突破

☉安徽省六安第二中学 王立余

思维的广阔性又称思维的发散性，是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多方位去思考问题、寻求解答的思维品质，它具有流畅、变通、独创等特征.在解题中，通过捕捉有用的信息，并进行对比、联想，从一题多解等形式进行练习，这对培养我们思维的广阔性无疑是有益的.下面就两道平面向量的高考真题加以一题多解，剖析解题思路，拓展思维品质.

例1（2017年全国卷Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）.

图1

图2

解题思路4（极化恒等式法）：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有P—，当且仅当=0，即P与E重合（P为AD的中点）时，等号成立.

点评：通过以上解法可以发现思路1利用数形结合思想确定点P必须在线段AD上，设出|P—→A|=x，结合数量积公式建立关系式得到对应的二次函数，利用二次函数的配方法来确定最值问题；思路2和思路1一样先确定点P必须在线段AD上，根据数量积公式并利用基本不等式法来确定最值；思路3通过巧妙构造直角坐标系，利用坐标法来求解相应的平面向量数量积问题，是高考中比较常见的一类技巧策略；思路4是针对特殊关系式下相应恒等式成立时的特殊方法，也是解决数量积问题是一类比较常见的思维方式.

例2（2016年江苏卷）如图3，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是

图3

点评：不难发现思路1和思路2的本质是一样的，通过不同的向量的数量积或向量的长度作为整体来转化，金蝉脱壳，达到转化与求解的目的；同时思路4和思路5的本质也是一样的，而思路3的基底法只是这两种解法的一般性应用，同时思路5针对填空题中答案的确定性加以特殊性处理；思路6是针对特殊关系式下相应恒等式成立时的特殊方法.

【总结】涉及平面向量问题，解决中主要体现以下几个重要的数学解题策略：

1.整体思维，金蝉脱壳，通过代换来转化与应用，这在解决一些相关的数学问题中经常用到.

2.几何问题代数化，通过建立平面直角坐标系，利用坐标法来求解相应的向量问题，也是高考中比较常见的一类技巧方法.

3.特殊性思维，通过取一些特殊的值、特殊的点、特殊的位置等，一般问题特殊化，这也是解决选择题或填空题中比较常见的思维方式.

4.恒等思维，结合常见的恒等式、不等式等直接加以转化与处理.本题直接采用极化恒等式来转化，效果非常不错.

通过一题多解，我们尝试到：这样的问题可以使我们的解题思路开阔，妙法顿生，提高了解题速度，培养了发散思维能力，有助于激发我们学习的主动性、积极性、趣味性，从而全面提高我们的知识水平和思维广阔性.J