从教学实践的角度管窥与时俱进的双基

☉江苏省张家港市沙洲中学 方 玮

张奠宙教授说：“如今的新课程改革有些过，反而忽视了我们优良的传统，我的建议是摒弃双基教学中过于注重反复训练的解题训练，但也不能一味追求新课程探究合作的浮华，两者有机的整合是符合时代要求的双基.”近日重读华师大《数学教学》2008年第7期编后漫笔——“青霉素、芥菜卤、双基”和2012年第2期编后漫笔——“多多研究从双基到四基的发展”，作为一线教师的笔者，深深感受到“双基”的与时俱进.

以往仅仅是基础知识和基本技能的数学双基，到了今天发展到结合基本思想方法和基本活动经验，这些都是发展中的双基.与以往仅仅强调技能和知识不同，如今的教学要符合课程理念对于人的全面培养.因此教师要在传统双基教学的基础上，不断渗透数学基本思想和基本活动经验，从认知构成的角度加强双基教学，是符合时代发展的双基.课程标准提出：学生要积极主动建构知识，从活动中获得数学知识的归纳、抽象和形成.笔者以为，与强调情感、态度、价值观相比，如今的课程标准更加务实，也能体现学科的价值，从学科学习中真正获取学习的一般性过程，获得能力和素养的发展.

一、关注基本思想方法

以往双基教学明确指出了基本知识和基本技能为主要教学方向，在笔者就读年代，基本运算和基本技能是学生必备而且熟练掌握的重点，学生的教学基本属于被动操作式和填鸭式，在不断巩固基本知识的同时却没有对数学本质更进一步的挖掘，这种现象如今常态课教学中依旧存在，并且不占少数.基本思想方法是与时俱进双基的演化，其在传统双基基础上，强调数学教学更要关注这种思想方法的渗透，站在更高的高度去关注问题的解决，才能让学生获得更好的发展、更高的素养.

分析：本题是代数中的解不等式，笔者在一次竞赛课堂中给学生做过尝试，所有学生的第一思路都是对本题进行分类讨论，从而陷入了四大类十多种小类的无休止烦琐探讨中.笔者以为，这恰恰是双基教学未能解决的重要问题！从本题结构来看，是不等式的求解问题，但这仅仅是代数表象，稍一分析即可发现讨论是非常烦琐和无休止的，因此静下心来思考这必定不是考查的本意！中学数学除了代数视角，自然是几何视角，不等式左半部分显然是等轴双曲线的一部分，而右半部分y=|x-1|-1是确定的折线，因此从数形结合思想的视角，问题可以获得简洁的解答.这种思路的引导，恰恰是数学思想的体现，数形结合思想作为学生头脑中最为基本的数学思想方法，其贯穿于中学数学教学的始终，也是学生头脑中必备的基本数学思想方法，因此双基的螺旋式上升欲然纸上.

（1）当a=0时，y=|x|，如图1所示，易知y=|x|≥y=|x-1|-1对一切x∈R成立；

（2）当a＜0时，y2-x2=-a（y＞0，a＜0），如图2所示，为双曲线上半支，则对一切x∈R成立；

（3）当0＜a≤4时，x2-y2=a（y＞0，a＞0），如图3所示，为双曲线上半部分，左支不成立，右支对x≥成立；

（4）当a＞4时，情形同（3），如图4所示，左支不成立，右支与y=|x-1|-1有一交点（联立方程时，原不等式成立.

图1

图2

图3

图4

不难发现，数形结合思想的渗透，大大加快了问题的解决，更为重要的是，要在问题思考过程中培养学生的运用思想方法的意识，这才是教学最应关注的.基本思想方法在中学数学阶段主要有下列几种：数形结合思想、整体性思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，教学要注意基本思想方法的渗透，与时俱进地加强双基的培养.

二、强调基本活动经验

与时俱进的双基如何才能更为扎实？传统授课制中的重复训练是一种方式，让学生亲身体验又是一种方式.全新的课程标准提出了学生发展的全面性，更加注重学生知识学习的灵活性、建构性，而不是灌输式的死读书.因此传统意义上的双基发展需要学生作出部分自我知识探索的实践，将基本活动经验融入到课堂教学中，才能积极有效地发展与时俱进的双基.

分析：这两个问题的基本证明自然是坐标法，但是从问题的内在联想到的是这些值为什么是定值？椭圆的问题与圆极为类似，从这一角度思考，教师引导学生思考椭圆和圆之间的关系，通过自身的基本活动进行探索、实践和尝试.

师：正确.已知圆上点P（x，y）变换成P′（x′，y′），纵向变换为f：显然这是一个可逆的一一映射，且由于P，P′的横坐标相等，因此PP′连线必垂直x轴.同理，有横向伸缩变换.

生：我们研究了伸缩变换的性质，比如：

（1）性质f将直线变换为直线，且变换后直线斜率为原来直线斜率的

理由：设△A1A2A3三个顶点坐标分别为A（ixi，y）i，则xi=xi′，yi=yi（′i=1，2，3），所以，

本性质可以推广到多边形的面积，即变换前后两个多边形面积之比为

师：请你利用伸缩变换的性质解决例2.

图6

师：正确，我们研究一下高考真题，思考问题背后的实质.

例3 （2009年安徽卷理科20）点P（x0，y0）在椭圆，直线l2垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ.求证：点P是椭圆直线l1的唯一交点.

分析：问题的实质就是证明直线l1是椭圆在点P的切线方程.由过圆x2+y2=a2上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=a2可知，利用伸缩变换得到直线即为过点P的椭圆切线.

说明：显然运用这样的方式，我们可以对比高考真题的原解，不难发现通过基本活动发现的椭圆和圆的姊妹关系、伸缩变换，大大提高了我们对于不少椭圆性质认知的重要性，也改变了我们思考问题的方式，认识了数学类似知识的本质，提高了解决问题的效率.这恰恰是基于双基，又高于双基的数学活动经验带来的效果，是双基教学螺旋式上升的体现.

总之，双基是中学数学的优良传统，也是我们不可丢弃的精髓，随着课程改革的深入，要在发展中寻求创新、寻求变化，我们发展了传统双基，不断地结合基本实现方法和基本活动经验，提高对于双基的补充，是符合时代发展的双基教学.

参考文献：

1.郑庆全.数学双基教学研究案例［J］.山东教育学院学报，2014（5）.

2.张夏强.数学名题在高考命题中的应用［J］.中学数学教学，2016（1）.

3.肖凌戆.基于数学创新意识的双基研究［J］.2011（5）.F