比出想法，构出精彩

吕德国　沈红星

[摘 要] 数学是一门注重思维的学科，题目就是数学思维养成的主战场. 但做题并不等价于题海战术，一道题，如果能引导学生从不同的角度去考虑，拓展思维，做到一题多解，这将对学生思维的提升有极大的帮助. 本文联系笔者的一次说题经历，与大家一起分享经验.

[关键词] 思维；一题多解；拓展

题目呈现 如图1，在△ABC中，AB=3，BC=5，∠ABC=60°，在边AC上方作等边三角形ACD，求BD的长.

背景分析

这是一道将三角形与特殊角结合在一起的综合几何题，涉及的知识、能力、思想如下.

知识：三角形全等的判定，勾股定理，30°角所对直角边为斜边的一半，二元一次方程组等.

能力：几何直观能力、分析推理能力、建模能力、计算能力.

思想：类比思想、方程思想、数形结合思想.

学情分析

本题涉及的主要知识点在八年级上册，学生在学习了全等和勾股定理以后就可以进行作答. 本题改编于三角形全等证明中常出现的“手拉手”模型，当题目图形仅给出一部分，条件又比较隐蔽时，假如学生没有意识，将无从下手.

解法分析

1. 类比思想，让思路清晰

解法1 △ACD是以AC为一边所作的等边三角形，那么在AB上方也可以作一个等边三角形，构造出一个“手拉手”模型. 如图2，以AB为一边作等边三角形AEB，可以证得△AEC≌△ABD，所以有EC=BD. 同样，过点E作垂线交CB的延长线于点F，构造出有特殊角60°的直角三角形EBF，那么FB=，EF=，所以FC=. 根据勾股定理，可得EC=7，即BD=7.

解法2 既然以AB为一边向上作等边三角形可以求出BD，那么以AB为边向里作等边三角形可以吗？如图3，我们发现有△ABC≌△AED，所以ED=BC=5. 又CD=AC=，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，令CF=x，DF=y，在双直角三角形中，可以列出方程组x2+y2=19，（x+2）2+y2=52，解得x=，y=.因为△BDF为直角三角形，根据勾股定理，得BD==7.

解法3 对于解法2，以AB为边在△ABC内部作一个等边三角形，若换个角度理解，也可以认为是在BC上截取线段BE=BA=3. 对于数学问题，很多时候方法总是成对的存在，既然截取可以，那么补短是否也行？如图4，延长BC至点E，使得CE=AB=3，易得△ACE≌△DAB，那么BD=AE，过点A作AF⊥BC于点F，构造出一个含60°角的特殊直角三角形，得AF=，FE=，再根据勾股定理，得AE=BD=7.

2. 解析几何，让思想提升

解法4 解析几何虽然是高中的知识，但学生学习了直角坐标系以后，针对学有余力的同学，可以适当地介绍解析法. 一题多解可以拓展学生的思维，但多题一解才能真正唤起学生的求知欲，而解析法，无疑有这样的作用. 如图5，以B点为原点建立直角坐标系，则A，，C（5，0），D点位于AC的中垂线上，AC的中点坐标为E，，则中垂线的解析式为y=x-，且AC=DC=，设点D的横坐标为xx>，则有（x-5）2+x-2=19，解得x=，即D，，所以可得BD=7.

3. 模型意识，让多解归一

解法5 观察发现，∠ABC=∠DAC=60°，如果在射线BA上再构造出一个60°，发现就是我们在全等中遇到的“一线三等角”模型，所以可延長线段BA至点E，使得∠AED=60°（如图6）. 可证得△ABC≌△DEA，那么AE=BC=5，DE=AB=3. 所以EB=8. 过点D作DF⊥AE于点F，构造一个有特殊角的直角三角形，利用含30°角的直角三角形的三边关系，可得到DF=，BF=，再利用勾股定理，可得BD==7.

解法6 在“一线三等角”模型的基础上得到了解法5，通过观察发现，如果把解法5中的图形补全，我们可以得到平时更常见的一种图形（如图7），即在一个大的等边三角形中套了一个小的等边三角形，虽然解法跟解法5类似，但学生对此解法中的图形感触更深.

原来，看似很深奥的问题竟然出自平时课本中常见的图形，追本溯源找本质，返璞归真于课本，找到模型后，问题便迎刃而解.

变式拓展

经过分析我们可以从多个角度出发，得到这道题的多种解法，发散了思维，提升了能力，那这道题就到此为止了吗？其实我们还可以继续挖掘，形成变式与拓展，继续为能力和思维服务. 变式的模式包括“条件与结论互换”“条件不变结论变”“结论不变条件变”等. 如在这道题中，为了让题目更有梯度，更符合学生的认知规律，可以先让BC=6，那么有∠ACB=30°，即∠BCD为特殊角90°，这种情况下求BD的长比较简单，然后转变到本题，有一个从简入难的过程. 也可以改变条件，如将∠ABC=60°变成∠ABC=30°或∠ABC=45°；还可以让△ADC变为含30°和60°角的直角三角形或等腰直角三角形，对AC是直角边还是斜边又可以进行分类讨论. 当然，这里除了可以求BD的长，还可以求其他角度，求面积，求周长，求位置关系等，如当BC为多少时BD⊥AC. 变不是盲目地变，我们的变，都要以发展思维、提高能力、形成素养为出发点.

教学启示

1. 从知识层面来说，培养学生的模型意识是初中数学阶段一个很重要的任务. 我们在教学中强调模型意识，但并不是指让学生一看到题目就去找模型，这与让学生深度思考的本质有区别. 模型意识的建立可以避免学生对知识死记硬背，对一些题目的解决起到意想不到的作用.

2. 从教学层面来说，为了锻炼学生的思维，我们努力挖掘一道题的各种解法，想做到一题多解. 诚然，对水平较高的学生来说，这种做法对思维的训练有很大的帮助，但我们面对的是所有学生，一题多解也会让很多人觉得数学深奥和繁杂. 在教学中，教师可以比学生多走一步，做好归纳与总结，做好变式与提炼，从一题多解和多题一解中让学生感受到数学的作用与魅力.

3. 从学生层面来说，学生对问题的理解是一个从无到有，需要时间的探索过程，教师要能弯下身，真正从学生的角度看问题，慢下来，等一等学生. 这里的慢下来，一方面指让速度慢下来，给学生时间认真思考，因为学生自己的思考比教师的讲解更重要；另一方面，慢下来也指题目难度慢下来，面对一个难度较大的问题，可按梯度多设计几个小问题，让学生的思维有一个从简到难的过程，让学生都能参与进来，让学数学变得有成就感.