从错误中学习

刘成龙　邓万强

[摘 要] 以一道区级调考错题为例，展示了从错误中学习的四个方面：（1）发现错误——学习的起点；（2）分析错误——学习的核心；（3）纠正错误——学习的目标；（4）问题提升——学习的升华.

[关键词] 发现错误；分析错误；纠正错误；问题提升

从科学的发展历程来看，通向真理的道路常常是以错误为基石. 一个较为圆满的成果背后包含工作者们无数次从错误到正确的修正与调整. 数学学科的进步也毫无例外. 比如：1640年前后法国数学家费马断言素数表达式为：对于任何非负整数n，表达式F=22n+1均给出素数. 大约100年后，1732年数学大师欧拉发现F=225+1=641×6700417不是素数，从而推翻了费马猜想. 又如：在微积分的蓬勃发展时期，引进一致连续概念以前，包括柯西在内数学家们对收敛函数项级数可以逐项积分都深信不疑，几乎所有的数学家都确信连续函数一定是可微的. 1872年魏尔斯特拉斯给出了历史上第一个处处连续但不可微的例子，进而引发了对函数具有“反常”性态的深入研究. 可见，错误非但不是数学中的“包袱”，反而是促进数学发展的一剂良药，正是错误和正确的交织推动着数学的向前发展. “从错误中学习”是新课程背景下提倡的一种重要学习策略. 它体现了教学方式的深刻变革，是现代教学观下的一种教育机智. 文中以一道区级调考试错题为例，展示“从错误中学习”的过程.

案例 （某市区级调考试题）如图1，点D，E，F分别在△ABC的三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，S=2，S=22，则△DGC的面积是______.

为便于叙述这里先对案例中试题的条件进行编号：

①E是AC的中点；

②AD，BE，CF交于一点G；

③BD=2DC；

④S=2；

⑤S=22.

发现错误——学习的起点

这里给出试题的两种解法：

解法1 ①⑤S=11 ④S=9 ③S =3.

解法2 ③⑤S=①④S=4S=.

解法1、2都正确，但出现了两种不同的结果，这是为什么呢？

分析错误——学习的核心

法国数学家阿达玛指出：“即使优秀的数学家也经常犯错，不过他能很快地发现并纠正”.

分析1 ==， 由①⑤可知S=9，S=4，故=，这与③矛盾；

分析2 ===，设S=x，则S=x，S=4x，故S=5x=11，解得x=≠2；即S≠2，这与④矛盾；

分析3 当S=2时，由分析2可知S=8，故S=10，解得S=20，这与⑤矛盾；

分析4 由前文分析可知S=，S=3，所以S=-3-2-2=，故A，D，G不共线，这与②矛盾.

可以发现，原题的条件间互不相容，是一道错题！为了加深对错误的认识，下面看看试题的背景：

塞瓦定理 如图（原题图），G是S内一点，连接AG，BG，CG，并分别延长交BC，CA，AB于D，E，F，则··=1.

因为··=··，由塞瓦定理可得：··=1或S·S·S=S·S·S.

可以发现G点一旦确定，三角形每条边上的两线段的比值确定，且G与任意两定点构成三角形中的两小三角形比值确定. 这可以看成是此模型下的内在属性. 于是G、线段比值、面积大小必须达到内在和谐，否则将会出现相互矛盾的情形. 文中的错因正是由G、线段比值、面积大小间矛盾所致.

纠正错误——学习的目标

该题目的纠正方式有以下几种：

改进1 其余条件不变，将⑤中的S=22改为S=20即可.

改进2 其余条件不变，将④中的S=2改为S=即可.

改进3 其余条件不变，将③中的BD=2DC改为BD=DC不共线即可.

改进4 其余条件不变，将②中的AD，BE，CF交于一点G改为B，G，E不共线即可.

改进5 其余条件不变，将②中的AD，BE，CF交于一点G改为A，G，D不共线即可.

问题提升——学习的升华

对错题深入了解后，“你能把问题推广到更一般的情形吗？”（波利亚语）.

推广1 如图（原题图），AD，BE，CF交于一点G，BD=mDC，AE=nEC，S=22，则△DGC的面积是S=.

证明 设S=x，S=y，由BD=mDC，AE=nEC，可得S=mx，S=ny，

于是（m+1）x+y=，x+（n+1）y=， 解得x=，y=， 即S=.

推广2 如图，若△ABC的面积为1，BG ∶ GF ∶ FC=m ∶ 1 ∶ n，CE ∶ DE ∶ AD=s ∶ 1 ∶ t，

则S=-.

证明 设S=mx，S=sy，由题意得S=（n+1）x，S=（t+1）y，

于是mx+（n+1）x+sy=，（n+1）x+sy+（t+1）y=，解得x=，y=-.

令S=nu，S=sv，则S=（m+1）u，S=（t+1）v，

得nu+（m+1）u+sv=，nu+sv+（t+1）v=.

解得

u=，v=-.

故S=S-S-S

=-mx-nu-sv

=-.

特别地，当m=n=s=t=1时，有AD=DE=EC，BG=GF=FC， 此时S=.

教学启示

文中的案例展示了“从错误中学习”的过程：发现错误、分析错误、纠正错误和问题提升，其中发现错误是“学习”的起点、分析错误是“学习”的核心、纠正错误是“学习”的目标，问题提升是“学习”的升华. 同时，错误分析是“学习”的难点，分析错误是“学习”的关键点，问题提升是整个“学习”的亮点. 整个过程在析错、纠错中揭示了错误的本质，在提升中将案例“学习”推向了高潮. 可见，“从错误中学习”是一种有益的学习方式. 教学中的错误很多，包括知識错误、逻辑错误、心理错误、策略错误等等. 面对错误，我们需要有容纳错误的胸怀，而不是对错误的简单摒弃. 教学中犯错的主体有教师、学生以及知识载体（教材、教辅等），尤其面临学生的错误，我们应该给予更多的宽容与接纳. 因此，将错误开发成宝贵的学习资源、教育资源我们责无旁贷！