反思几何解题培养思维品质

陈志华

[摘 要] 培养学生的思维品质要从严谨性、发散性、深层性、广阔性、创造性五大特征入手. 数学几何学习对培养学生的思维品质具有独特而显著的作用，本文通过实例阐述如何借助几何解题进行反思，培养学生良好的思维品质.

[关键词] 几何；思维品质；解题思路；严谨

数学几何是对图形的概括，是学生思维发展的“桥梁”，是师生进行交流的“纽带”. 因此在课堂中作为“主导者”的教师，要善于利用一些例题、习题，充分挖掘题目背后深层次的含义，帮助学生准确理解知识点，并掌握解决问题的一般方法，从而养成良好的思维品质. 笔者结合自己多年的几何教学实践，就几何教学中如何培养学生思维品质，谈几点体会.

借助几何直观，深化概念理解，

培养学生思维的深层性

思维的深层性要求学生在解决问题时，要抓住问题的本质和内在联系，善于举一反三，解题以后能够及时总结一般规律和通法，并能把知识和方法进行迁移，用于解决其他类似问题.

数学概念，就是用简练的数学语言、符号去概括对象的本质属性. 要抓住对象的本质属性，必须对概念理解到位.一直以来概念教学是一个难点，对学生理解能力要求较高. 而通过几何直观，可以帮助学生突破概念理解上的难点. 例如在函数概念学习中，如何理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值”，如果仅仅靠解读字面意思，学生比较难以理解，更难达到数学应用的境地. 若借以几何直观，加以辨析，从感性认识着手，则可以达到较好的教学效果.

例1：给出以下几个图形（图1），让学生指出哪些图形所反映的是函数的图像.

通过对这四个图的比较与辨析，能很直观地发现A、B、C三个图形中，同一个x的值，有两个y的值与它对应，这就不是函数的对应关系了.

解后回顾，培养学生思维的严

谨性

思维的严谨性是指思维过程的严密性和逻辑性，而数学几何解题严谨、条理清晰，能很好地培养学生思维严谨性. 教师要引导学生题后回顾，特别是针对一些典型错误的及时分析，能让学生明白前后逻辑关系的重要性，并在解决问题时要注重条件与结论之间关系的严谨性.

例2：已知△ABC为钝角三角形，其最长边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作几条？

有学生解答：如图2，过点P分别作两条平行线并且使∠ABP=∠C（或∠PBC=∠A），这样满足条件的直线有3条.

分析：是否存在点P必有∠ABP=∠C或∠PBC=∠A？因此，上述解答中思维有漏洞，即思维不严谨，从而产生了错误的解答.

正确解答：如图3所示，其中∠ABD=∠C或∠EBC=∠A，当点P位于点A至D之间（包括点D）或位于点C至E之间（包括点E）时，满足条件的直线有3条；而当点P位于点E至D之间（不包括点D，E）时，满足条件的直线有2条.

以上例题让学生经历从一开始的想当然认为所有点P都能画出3条，到后来发现当点P在特殊位置时会出现不一样的特殊情况，从而感受到考虑问题必须全面，不能以特殊代替一般，也不能忽视特殊情况，以及逻辑上是否前后存在矛盾等.

利用结论开放，培养学生思维

的发散性

思维的发散性是指个体在思维活动中独立发现解决问题的方法及推广程度. 这就要求教师在平时教学中多“留白”，从已知条件出发，能得到哪些相关的结论，对同一试题探求出各种各样的方案. 这种试题的解法多样，思路广阔，既能巩固深化原有知识，又能提升学生思维活动的发散性.

例3：如图4，P为⊙O外一点，PAB为⊙O割线，交⊙O于A，B两点，PC切⊙O于C，∠CPB的平分线交AC于E，交BC于F.

结论1：CF=CE；结论2：△PCE∽△PBF；结论3：△PAE∽△PCF；结论4：=……

通过这类习题的训练，不但能巩固知识点之间的关系，还让学生对这类问题有了深入的认识，大胆猜想并严谨论证，通过自我评价解题思路和方法，培养了思维的发散性.

一题多用，培养学生思维的广

阔性

思维广阔性是指个体思维活动的广泛程度. 它的特点包括：一是从多角度来分析问题，抓住问题的关键；二从分析过程中，提炼出解决问题的方法；三是技能的迁移能力，如我们平时说的“举一反三”；四是善于归纳总结，到达“运用自如”的境界.

1. 一题多解，解中求真，提升学生思维的广阔性

例4：如圖5，在直角坐标系中，Rt△ABC的边长BC=1，AC=2，∠C=90°，点A、点B分别在x、y轴正半轴滑动，求线段OB长的最值？

分析一：根据三角形三边关系，可构造出以OB为一边的△OBD，其中点D为AC的中点. 由此可知：随着线段AC滑动，线段BD和线段OD的位置也随之改变. 当BD和OD成一直线时，即线段OB刚好通过中点D时，OB为最小；当BD和OD重合时，OB为最大. 因此BD-OD≤OB≤BD+OD，即-1≤OB≤+1.

分析二：根据相对运动理论，转变观察角度，把“动点A，C相对于不动点O运动”变为“动点O相对于不动点A，C运动”，此时点O的运动轨迹是以AC为直径的圆. 如图6所示，OB最值的情况显而易见了：-1≤OB≤+1.

此题从两个截然不同的角度，都十分巧妙地构造相关图形得到两种较好的解法，使学生对问题的理解更深刻，培养从不同角度理解问题的能力，同时培养其思维的多向性、广阔性.

2. 一题多变，趋异求同，培养学生思维的广阔性

以基本图形为“生长点”，通过将其引申变换为相关图形而得到“再生”题组，培养学生对几何图形的空间想象力，从而培养学生思维的广阔性、多向性.

例5：如图7分别以△ABC三边a，b，c为边向外作正方形. 若S+S=S成立，则△ABC是直角三角形吗？

变式1：向外作正三角形呢？（如图8）

变式2：向外作等腰直角三角形呢？（如图9）

变式3：向外作半圆呢？（如图10）

变式4：向外作相似三角形呢？（如图11）

分析：由△ABF∽△ACE∽△BCD，得=2，=2，=，S+S=S，得a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形.

通过对上述变式的理解和深入，我们可得到以下结论：分别以△ABC三边a，b，c为直径向外作任意相似多边形. 若S+S=S成立，则△ABC都是直角三角形！

例6：如图12，一个边长为1.2 m的正三角形金属架，能通过一个直径为1.1 m的呼啦圈吗？请证明你的判断？

分析：边长为1.2的正三角形的高为<1.1，所以能通过这样的呼啦圈.

变式1：把正三角形改成直角三角形呢？（如图13）

变式2：把正三角形改成梯形呢？如图14，已知一块直角梯形的铁板，两底长分别为4 cm、10 cm，且有一个内角为60°，请用数据说明铁板能否从一个直径为8.7 cm的圆洞穿过.

分析：根据上述思考，过点B作a∥CD，过点B作BE⊥CD交CD于E，求得BE=5< 8.7，所以能穿过圆洞.

因此，在教学过程中要求养成从不同角度，不同方位思考问题的习惯，进行一题多解、一题多变的练习，广阔地运用公式、法则、命题，对一个对象用多种方式表达，对一个方法或理论作多方面的应用，培养其举一反三、触类旁通的思维品质，从而培养学生思维的广阔性.

一图多用，培养学生思维的创

造性

有创造性地解决问题的能力是衡量个人能力高低很重要的指标，特别是在几何学习中尤为突出. 为了提升学生的创造性，这就要求教师精心设计，让学生对图形进行观察、分析、发现题中基本图形，然后鼓励学生大胆提出“猜想”，经过对基本图形相关性质理性分析对猜想予以证明，最后及时题后反思，自行改编题目，以到达提高思维的创造性的目的. 它的一般程序是“观察发现基本图形——提出猜想——证明猜想——题后反思——改编题目”. 现结合例子具体阐述.

例7：如图15，已知△ABC中，BD，CE是高，F，G分别是BC，DE的中点，则FG与ED之间有什么关系？并给以证明.

（1）观察基本图形

根据图形及条件，观察发现组成图形的基本图形是：直角三角形中线基本图形、等腰三角形三线合一基本图形. 本题中的两个基本图形不完整，因此要把它补充完整，这也是添加辅助线的主要方向.

（2）提出猜想

根据基本图形及已知条件，大胆猜想FG与ED的关系是：FG垂直平分ED.

（3）证明猜想（证明略）

（4）题后反思

题后反思概括性越高，知识系统性越强，减缩性越大，迁移能力越广阔，注意力越集中，则思维的创造性就越突出. 而题目的关键是通过添加辅助线补充完整图中的两个基本图形，使直角三角形中线性质和等腰三角形三线合一性质有机结合. 同时，图形中共斜边的两个直角三角形也给我们留下了深刻的印象，利用中线性质可构造等腰三角形，可谓妙哉！结合两个三角形的位置，通过反思整理“生长”出如下“基本图形”，如图16～18.

（5）改编题目

产生“创造”的原因在于主体对知识经验或思维材料的高度概括后集中而系统地迁移，进行新颖地组合分析，从而找出新奇的层次和交结点. 而学生自行改编题目，需要学生广泛、深刻、跳跃性的思维，很显然，这有利于培养学生的创新能力，这有利于培養思维的创造性.

现摘录如下学生改编的题目：

①已知△ABC中，BD，CE是高，F，G分别是BC，DE的中点，探索题目满足什么条件时，△ADE是等腰直角三角形（如图19）、正三角形（如图20）？

②如图21，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点. 若DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥EF，求证：AD平分∠BAC.

通过大家的大胆探索、猜想，对于改编后第一题，最后得出有趣的结论：若△ADE是等腰直角三角形，那么△ABF肯定也是等腰直角三角形；若△ADE是正三角形，则△ABF必为含30°的直角三角形. 对于第二题，学生根据自己题后反思，改变了原题中共斜边的两个直角三角形的位置，从而能打破原题、常规，让图形“活”起来，随之提升学生思维能力.

总之，教师在平时的几何教学中，要引导学生对几何例题、习题的解题进行多维度反思，将教学与实践相结合，从思维的深度、广度等多方位提升学生的思维品质.