在模型验证中积累探究的活动经验——《交换律和结合律》教学赏析

○李海东

帮助学生积累数学活动经验是课程标准的要求。学生立足于对已有问题的探究，并在问题解决过程中所形成的数学活动经验就是探究的活动经验。这种探究活动既有外显行为的操作活动，也有思维层面的操作活动。学生自学能力强，很多内容往往在教师新授之前就会了。学生如果一上课就能把运算定律或计算公式等模型类的数学知识直接说出来，教师该如何引导他们探究呢？又该如何帮助他们在数学学习过程中积累探究的活动经验呢？让我们一起来欣赏著名特级教师刘松的教学艺术吧。

一、初次验证中形成经验

师：什么是乘法交换律？用字母如何表示？

生：交换两个因数的位置，积不变。用字母表示是a×b=b×a。

师：你怎么向别人解释？

生：我给大家举例，如2×3=3×2。

师：两个因数的位置有没有交换？（交换了）积有没有变？（没变）还有其他例子吗？

生：5×3=3×5。

师：举例可以证明乘法交换律。数学上证明一个结论的正确，至少要通过两种不同途径。除了举例，还有什么方法解释吗？

图1　

图2

师：用乘法计算每幅图中的车辆时，计算结果唯一吗？计算方法呢？

图3

生：图2可以列式为2×5或5×2，都是求一共有多少辆车。

生：图3可以列式为3×5或5×3，都是求一共有多少辆车。

生：图1可以列式为1×5或5×1，都是求一共有多少辆车。

师：计算结果的唯一性与计算方法的多样性，决定了乘法交换律作为一个数学事实的存在。解释和说明乘法交换律，不仅可以举例，也可以用平面图形直观地表达。

学生学习的过程是一种“再创造”的过程。自学获得的乘法交换律对他们而言只是猜测。只有经过验证，猜测才能真正成为模型。学生在举例验证中通过不完全归纳初步发现猜测是正确的。但这样缺乏本质的教学，学生理解往往不够深刻。因此，刘老师出示三幅图，引导学生分别计算每幅图中的车辆，使他们发现计算结果的唯一性与计算方法的多样性也能验证猜测。这样，学生不仅通过简单的举例验证，而且借助图形用几何直观的方法确认了数学事实的存在，从而有效验证了乘法交换律模型。在第一次模型验证过程中，学生初步形成了探究的活动经验——自学获得的数学模型需要验证，除了举例，还可以借助几何直观的方法验证。借助几何直观用平面图形表达，复杂的数学问题变得简明、形象。

二、再次验证中强化经验

师：什么是乘法结合律？用字母如何表示？

生：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这叫做乘法结合律。用字母表示是（a×b）×c=a×（b×c）。

师：怎样证明这个数学事实呢？

生：举例说明，如（2×3）×5＝2×（3×5）。

生：（25×5）×2＝25×（5×2）。

生：（1×2）×3＝1×（2×3）。

师：三个数相乘，先算前两个，或先算后两个，积有没有改变？

生：运算顺序变了，乘积没变。

师：除了举例证明，还能用图形解释乘法结合律吗？

师（出示图4）：立体车库中共停多少辆车？怎么算？

图4

生：先算上面一层，再乘3，也就是5×4×3（如图5）。

图5　

图6

生：先算最右边的一层是4×3，再乘竖着的5层，就知道一共有多少辆车（如图6）。

师：两种不同算法，计算结果都表示什么？

生：车库一共停放多少辆车。

师：两种不同方法，即使不计算，我们也能确定结果如何？（相等）观察算式左右两边，先乘前两个数，或先乘后两个数，积有没有改变？（没有）这能解释乘法结合律的存在吗？

生：能。

师：多样的方法指向同一个结果，这就决定了乘法结合律作为一个数学事实的存在。乘法结合律在三维空间内得到了完美解释。

自学获得的乘法结合律同样是猜测，需要验证。学生举例验证后，刚形成的数学活动经验使他们明白自己还可以用几何直观的方法进行验证。刘老师出示了一幅图，让学生用不同方法计算车库中的汽车数量进行验证。这样，学生先后用举例和几何直观的方法验证了乘法结合律模型。在第二次模型验证过程中，学生强化了探究的活动经验——用不同方法验证，如果殊途同归，就能确认模型。用几何直观的方法进行验证，不仅使乘法结合律模型在三维空间内得到完美解释，而且能帮助学生进一步密切数学与生活的联系。

三、三次验证中迁移经验

师（边说边板书）：（5×4）×3=5×（4×3）=5×（3×4）=（5×3）×4。我们用交换律和结合律可以得到（5×3）×4，说明计算车库一共可以停放多少辆车还有第三种方法。想一想，这种方法先算了哪一层？

生：前面一层。

师：棒极了！（教师出示图7，验证学生猜想）

图7

师：乘法有交换律和结合律。乘法是特殊加法，加法有没有交换律和结合律呢？（有）如果有，加法交换律和结合律怎样用字母表示？

生：加法交换律是a+b=b+a。

生：加法结合律是（a+b）+c=a+（b+c）。

师：这些结论是否正确，该如何解释？请用今天的学习方法课后去验证！

为了帮助学生有效积累数学探究的活动经验，刘老师先根据乘法交换律和结合律推导出（5×4）×3=（5×3）×4，获得猜想后，再出示车库图，引导学生借助几何直观进行验证，一方面帮助学生迁移应用探究活动经验，另一方面引导学生发现举例验证模型的局限性。在此基础上，刘老师引导学生猜想加法交换律和结合律。学生尝试用字母表示的同时，就提出了新的数学猜想。由于课堂时间的限制，学生无法立即验证，只能到课后完成。学生所形成的探究的活动经验有助于自己顺利完成模型验证任务。这样教学，不仅充分培养了学生的模型验证能力，而且能有效帮助学生积累探究的活动经验，并且给人一种言犹未尽、余味无穷的感觉。