答疑解惑：数学教师的专业基本功——由两则答疑解惑案例说起

☉江苏江阴市青阳第二中学 姚 强

☉江苏江阴市青阳第二中学 朱建民

韩愈的《师说》曰：师者，所以传道、授业、解惑也.就数学教学来说，课堂上借助授业传播数学之道是我们的主要工作.然而，课后还有另一个重要的工作：解惑.解惑质量的高低也影响着学生对数学的兴趣，对教师专业基本功的认可.本文由最近两则为学生答疑解惑的案例说起，阐释笔者对数学教学中为学生“解惑”的一些思考和认识.

一、两则答疑解惑案例摘录

答疑案例1：关于提公因式法的疑惑.

学生疑惑：对于式子（a+b-c）（2a+2b-c），我想继续变形和提公因式为［（a+b）-c］［2（a+b）-c］，进一步再提出一个（a+b）出来……请问，我为什么不能提一个（a+b）出来？或者说，我的问题就是对于式子（m-c）（2m-c）来说，为什么不能提取m？请老师点拨.

答疑解惑：你的问题很好！首先“简化”思考非常有数学特点，数学上常常把复杂问题简化后，突出问题的本质进行研究！这已经是很“数学”的分析视角了.现在我们来明辨其中的错误.可以先退回概念（或定义）来思考，因式分解的定义是将一个多项式写成几个因式乘积的形式，提公因式是针对一个多项式的若干个项而言的，“找”出所有项的公因式实施提取.

上面简化后的式子（m-c）（2m-c）是多项式吗？显然不是（多项式的定义是几个单项式的和）.所以这里对两个乘积式中提出局部的m是不当的.

进一步，假如变式为（m2-cm）（2m2-cm），在这个式子中两个因式是两个二次二项式，可以分别对它们进行提公因式，得［m（m-c）］［m（2m-c）］=m2（m-c）（2m-c）.

变式辨析：（1）分解因式2m（a+b）-3a-3b的结果是________.

（2）把xn+3+xn+1分解因式得（ ）.

A.xn+1（x2+1）B.xn（x3+1）

C.x（xn+2+xn）D.xn+1（x2+x）

说明：这两道变式题都是需要进一步分解的，因为它们都是加、减号连接而成的多项式，可以恰当变形后提出公因式.

答疑案例2：关于二次根式的化简求值.

说明：这是一个学生提出的疑问，他和同桌对一个二次根式进行化简求值时出现了两种不同的解答，但彼此都没能发现自己的错漏，所以拍照发给老师，希望老师答疑解惑.

生1的解法：如图1所示.

生2的解法：如图2所示.

答疑解惑：生1的思路是根号内通分后，代入x、y的值，计算过程中处理繁分数的运算出错（最后两步出错）；生2的主要思路是根号内通分，配成完全平方式后化为最简二次根式，然而从第二步就出错，因为将根号内的（x-y）2开方时没有加“|x-y|”，而是跳步骤直接写成了x-y，从而出现“高位错误”，究其原因是忽略了x、y的值已确定，x-y是一个负数！可以发现，生1在最后直接代入数据，若不是计算出错，应该能获得正确答案；而生2的错漏却是对二次根式性质=|a|理解不透，忽略了考虑对被开方式中底数a的正负的讨论.为了纠正这一错漏，给出如下两道习题，作为性质巩固与跟进训练.

请评价甲、乙两人的解答.

二、关于答疑解惑的几点思考

1.辨别提问的质量，精准识别“好的提问”.

教师日常教学过程中，会遇到很多学生提问，教师需要辨别这些提问的质量，有些提问只是简单的算错、笔误或审题时看漏信息与条件等，这类非智力因素出错，与本文探讨的话题并不一致，故不在我们讨论范围内.在提问涉及的具体题目上，如果属于一些细枝末节的习题，属于繁难问题，对后续学习没有多少价值的数学难题，也不必大讲特讲.可见学会取舍需要教师具有深刻理解数学、理解课标、理解教学、理解学生的专业基本功.上文提到的两个案例，分别对应着两个重要的代数运算或变形，是好的提问，值得我们花时间认真研究.当然，“好的提问”有时还可以是一些隐蔽很深的易错点，如案例1中二次根式的化简，就属于这种.从这个意义上说，“一个深刻的错误比肤浅的正确更有意义”.

2.回到定义、基本概念或重要性质进行究错.

在识别“好的提问”之后，引导学生进行究错时，可以使用“以退为进”策略.比如，案例1中，学生在提问时已具有这种以退为进的意识，他能将问题简化后突出自己的疑惑点.这时为了把这里的错漏讲清说明，可以回到定义来思考，即因式分解是怎样定义的，再对照所提问式子的形式特点，发现这个式子并不是多项式的形式，所以不能在两个因式之间找几个项的公因式，这是典型错误.而对于案例2来说，二次根式的两个性质外形类似，又是后续二次根式化简、运算的基础，所以需要引导学生回到二次根式性质进行辨析和究错.事实上，解题教学，特别是较难问题在教学辅导时也应该重视“破题”（原东北师范大学校长史宁中教授语）.而善于引导学生回到定义、回到概念进行解题也是非常必要的.根据教学经验，不少学生在问题解答出现问题时，深究下去，往往都是对题目中的一些关键词句看错、看漏而出错. 比如，△ABC中，“点P在边AB上”“点P在射线AB上”“点P在线段AB的延长线上”，这三种表达既有关联，又各不相同，这就要求我们在平时教学时，注意引导学生回到概念来辨析和自主纠错.

3.重视同类习题跟进再练，反馈答疑效果.

对一些重要的习题、易错习题，在答疑讲评之后，要给出同类跟进练习，这样能有效反馈答疑效果.在答疑案例2中，由于学生的错漏是二次根式的化简中一类高频易错点，所以在答疑之后，我们考虑给出了两道同类跟进，以便反馈答疑效果，也有利于培养学生学习的信心.这里选用同类习题时可基于所谓的“变异理论”或脚手架（Scaffoldings）理论，如马登关于变异理论有如下论述：“学习是一种个体与世界的内在关系，学校的教学目的是为学生如何面对不断复杂化的未来社会作准备，这样，学习的最重要形式是使学生能够以不同的方式去看待某个学习对象.”所以在精准识别学生疑问的结构特点之后，基于变异理论，进行习题的恰当变式，给出同类跟进再练，让学生再次体验、建构、内化，达到对疑问的深刻理解与辨析.

三、写在后面

本文关注的是为学生进行答疑解惑，似乎主要是课后的辅导功夫，然而这样的专业基本功十分重要，因为在课堂教学中，我们常常要敏锐捕捉一些精彩的课堂生成，特别是在学生的一些典型错误、易错点处要“停”下来，“停”下来一起纠错、究错并走向“化错”（著名小学数学特级教师华应龙语）.

1.郑毓信.善于提问［J］.人民教育，2008（19）.

2.顾泠沅.教学改革的行动与诠释［M］.北京：人民教育出版社，2003.

3.鲍建生，顾冷沅，等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1、2、3）.

4.郑毓信.多元表征与概念教学［J］.小学数学教育，2011（10）.

5.宋秀云.让“简单内容”教得深刻［J］.数学通报，2016，55（4）.W