数域F上多项式的最大公因式的讲解

魏帼

（兰州职业技术学院，甘肃兰州730070）

多项式的最大公因式是高等代数多项式中的重要教学内容，本文在一般数域上讨论多项式的最大公因式，得出的结论适用范围较广。我们选择的教学内容包括：（1）公因式及最大公因式的定义；（2）最大公因式的性质；（3）辗转相除法求解两个多项式的最大公因式；（4）相关题型的一题多解。

公因式、最大公因式：（1）若f（x），g（x），h（x）∈F［x］，且|f（x），h（x）|g（x），则称h（x）为f（x）与g（x）的一个公因式。（2）若f（x），g（x），d（x）∈F［x］，且（Ⅰ）d（x）是f（x）与g（x）的一个公因式；（Ⅱ）f（x）与g（x）的每一个公因式都是d（x）的因式；则称d（x）为f（x）与g（x）的一个最大公因式。

定理：F［x］对中任意两个多项式f（x），g（x），则（1）f（x）与g（x）的最大公因式一定存在；（2）若d（x）是f（x）与g（x）的一个最大公因式，那么cd（x）（c是F中非零常数）也是f（x）与g（x）的最大公因式，且f（x）与g（x）也只有这样的最大公因式。

由此知，（1）若f（x）=g（x）=0，则最大公因式为零多项式；（2）若f（x），g（x）不全为零，则最大公因式不等于零。记f（x），g（x）的首系数为1的最大公因式为（f（x），g（x）），则（f（x），g（x））唯一。

最大公因式的性质：设f（x），g（x）∈F［x］，d（x）是f（x）与g（x）的一个最大公因式，则存在u（x），v（x）∈F［x］，使得f（x）u（x）+g（x）v（x）=d（x）。

辗转相除法是求两个多项式的最大公因式的一般方法，在每次作除法时用的是带余除法。它的原理和一般实例可以参见《高等代数》，为了运算的简化，我们可以用一个非零常数去乘被除式或者除式。这种方法不仅在辗转相除法的开始可以用，而且在辗转相除的过程中也可以用，对计算的结果并无影响。

例1：求f（x）与g（x）的最大公因式，其中f（x）=x4+x3－3x2－4x－1，g（x）=x3+x2－x－1

解：用辗转相除法来求：

由于两个多项式的最大公因式是这两个多项式辗转相除时最后不为零的余式，而在相除的一开始或中途，对除式或被除式乘以非零的常数，对余式来说仅是零次因式的差异，所以为了避免分数系数计算时的麻烦，允许对除式或被除式乘以非零常数。

此题可按如下进行：

所以（f（x），g（x））=x+1。

例2：证明：如果d（x）|f（x），d（x）|g（x）且d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，那么d（x）是f（x）与g（x）的一个最大公因式。

证法1：设f（x）=d（x）f1（x），g（x）=d（x）g1（x），由假设d（x）=f（x）u（x）+g（x）v（x），（*）其中u（x），v（x）是F上的多项式。

（1）若d（x）=0，则f（x）=g（x）=0，结论正确。

（2）若d（x）≠0，从（*）式两边消去d（x），得f1（x）u（x）+g1（x）v（x）=1，即（f1（x），g1（x））=1。又由假设知d（x）是f（x），g（x）的公因式，因此d（x）是f（x）与g（x）的一个最大公因式。

证法2：因d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，故存在u（x），v（x）使得d（x）=f（x）u（x）+g（x）v（x）。设h（x）是f（x）与g（x）的任一公因式，由上式知，h（x）|d（x），再由d（x）是f（x），g（x）的公因式的假设知，d（x）是f（x）与的一个最大公因式。

证法3：由题设知d（x）是f（x）与g（x）的一个公因式，设（f（x），g（x））=k（x），则d（x）|k（x）。又因d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，所以k（x）|d（x），从而d（x）=ck（x），c为非零常数，于是d（x）也是f（x）与g（x）的一个最大公因式。

［1］张禾瑞，郝鈵新．高等代数［M］．北京：人民教育出版社，1979．

［2］张建初，王宗尧．高等代数课程体系和教学内容改革研究——工科优秀生理科训练的尝试［J］．化工高等教育，2003，（3）．