巧“变式”，促“反思”*——从一道中考题切入

☉福建省泉州市鲤城区教师进修学校 曾泽群

☉福建省泉州市现代中学 杨麦茵

变式教学在数学教学中广泛使用，尤其例习题的教学更是它的用武之地.由于变式习题组贯穿循序渐进、层层递进等原则，体现由浅入深的过程，因此它不但能为不同层次的学生进行有效学习提供空间，促进他们的思维向更深层次发展，增强他们解题，特别是解压轴题的自信心，而且还能为学生独自进行“解题反思——对试题的拓展延伸”提供范例，让他们在潜移默化与日积月累中养成良好的学习习惯.基于此，研究变式习题组，实施变式教学不但需要，而且必要.但对于变式教学，目前的现状是教师选题编题，学生只顾埋头解题，没有机会，甚至不会进行“解题反思——对试题的拓展延伸”，更别说习惯的养成，进而间接导致学生创新意识的削落.为了改变这一现状，笔者挑选2014年山东淄博中考试题第23题，借用创新方法——和田十二法对其进行变式教学，让学生从中经历“解题反思——对试题的拓展延伸”的过程，体悟其中的变式方法，激活、提升他们的思维.

附：2014年山东淄博中考试题第23题（以下简称“原始题”）.

如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交

AM于点N，AB=AC=BD.连接MF，NF.

（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；

（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由.

一、构建变式教学“基底题”

“原始题”第（1）题是一道半开放题目，由于没有告知论证对象的属性，解答者要先猜想，判断它的属性，再进行论证.因此，它考查解答者的直觉能力、合情推理能力和演绎推理能力.此外，它还有两种不同的解答，其一，利用等腰三角形三线合一、角平分线与垂直的定义可得∠AMB为直角及∠NAB+∠NBA=45°，再利用直角三角形的两锐角互余，可得∠MBN=90°-（∠NAB+∠NBA）=45°；其二，利用等腰三角形三线合一可得∠AMB为直角，再利用等角的余角相等、等腰三角形三线合一及角平分线的定义得到∠EBM=∠EAM=∠MAB，最后利用三角形的外角与内角的关系及等量代换证得∠MNB=∠NBM，从而判定△NBM是等腰直角三角形.这种多解题覆盖的知识面广，对于巩固学生已学知识，开拓他们的思维非常有利.而显性条件AB=AC、AC⊥BD与隐性结论∠ANB=135°等都构成后续变式的有利条件.基于此，笔者择取“原始题”第（1）题作为变式教学的基底题.而为了充分利用课堂有限且宝贵的时间，同时又将“原始题”作为课前作业让学生提前解答.

基底题：如图2，四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，点M是BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC.判断△BMN的形状，并证明你的结论.

鉴于基底题是学生课前作业的一部分，课内只要求学生以“提纲”的形式简要交流其不同解题方法及解题策略.

二、基于“基底题”的变式教学

设计系列问题，引领学生将“基底题”进行不断演变，形成包括“原始题”第（2）题在内的一组由浅入深的变式习题组.

变式方法1：反一反——对换条件与结论，创编新题目

学生学过互逆命题，对较为简单的命题也能写出它的逆命题，由于“基底题”的条件与结论都不单一，致使它的逆命题也非单一，而写一个命题的逆命题不是本课的重点内容.因此，笔者借助半开放性问题引领学生进行逆向变式——对换条件与结论，创编新题目.具体如下：

问题1：对“基底题”作变式时，我们可以将条件与结论对换，如果我们将“△NBM是等腰直角三角形”作为条件，那么，原条件中的哪些可作为结论？

通过问题1引领学生讨论，得到其中一个较为显眼的创编题.

变式1：如图3，四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，点M是BC边上的点，点N是线段AM上的点，若△NBM是等腰直角三角形.求证：点M是BC的中点，BN平分∠ABE.

由于数学的简洁与严密，使得学生在进行“反一反”这种变式时，既要考虑条件不能多余，又要考虑表述得严密、规范.因此，它既可提升学生思维的缜密性与符号感，了解变式的途径之一——交换命题的条件与结论，又潜移默化地让学生了解创新的方法——反一反.

变式方法2：加一加——增加条件，获取新结论，创编新题目

在习题的变式方法中，增加条件，获得它的变式题，对于学生来讲并不陌生，但要让学生在较短的课堂时间里独立获得此类变式题，却有一定的难度.鉴于学生做过它的“原始题”，因此，笔者提出问题引领学生发现变式的另一种方法：通过增加条件，也可创编新题目.具体如下：

问题2：“原始题”中的第（2）题与“基底题”有什么内在联系，在“基底题”的基础上进行怎样的变式，就能得到“原始题”中的第（2）题？

通过问题2引领学生思考与互动，明确“原始题”中的第（2）题是在“基底题”的基础上增加条件“点F是AB的中点，AC=BD.连接MF，NF”后形成的一个创编题.

变式2：如图4，四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD，连接MF，NF.判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由.

这种变式，隶属全开放，它不但要求学生要有扎实的基本功，而且要有很强的联想与发散能力.因此，对于学生来讲，是个需要智慧的探究活动，实属不易.但以上这种形式的教学，让学生了解变式的另一种途径——增加条件，它开阔了学生的眼界，潜移默化地让他们了解创新的方法——加一加.

变式方法3：联一联——根据现有条件，寻找新的因果关系，创编新题目

在习题的变式方法中，根据现有条件发现新结论，对于学生来讲并非新鲜事，但新结论的发现既要有牢固的基础知识作前提，又要有联想与发散思维作后盾.因此，教学中这样的变式也是非常必要的.对此，笔者通过开放性问题引领学生探究，发现通过寻找新的因果关系，也能创编新题目.具体如下：

问题3：基于变式2的题干，在只能连接现有两点线段的基础上，你还能得到其他结论吗？这种变式题应该怎样表述？

通过问题3引领学生合作探究，并就学生提出的新结论：“△ADN是等腰直角三角形，DN∥CB，四边形DNMC是直角梯形，四边形DNBC是平行四边形……”展开讨论，辨真假，得到四边形DNBC只是梯形.由此创编形成开放式探究题.

变式3：如图5，四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD.连接MF，NF，DN. 请你写出两个以上的新结论.（或者重新表述，只证明其中的一个新结论）

这种变式，要求学生能全方位审视图形，在观察的基础上，针对已知条件进行联想与发散，因此，它不但有助于提高学生善于观察与发现问题的能力，而且让学生了解变式的另一种途径——由因导果，潜移默化地了解创新的方法——联一联.

变式方法4：变一变——从一般情形变到特殊状态，寻求成立的条件，创编新题目

在变式3中，针对“四边形DNBC是梯形而非平行四边形”，笔者设置问题，引领学生探求使之成立的条件，并由此创编新题目.具体如下：

问题4：基于变式3的条件，如果AB为定值，决定“四边形DNBC是平行四边形”成立的条件由谁决定.

通过问题4引领学生想象，进行头脑实验或动手画图实验，发现当AB长为定值时，决定四边形DNBC是平行四边形的条件就落在AD长或BC长上，而且AD长与BC长中的一个确定，另一个也随之确定.与此同时，还可利用几何画板的动态演示，让学生确认这个事实.进而创编新题目.

变式4：如图6，四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，点M是BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD=1.连接DN.当四边形DNBC是平行四边形时，求出线段BC的长.

这种变式，体现了特殊与一般的关系，它隶属半开放题，要求学生要有一定的观察力，要能找到一对对应关系，一方变化引起另一方的变化，就能让一般图形转变成某种特殊状态，然后再寻求使之成立的新条件，创编新题目.期间，学生不但了解了变式的另一种途径——一般到特殊，而且潜移默化地了解创新的方法——变一变.

变式方法5：代一代——改变某种属性的叙述方式，让静态转到动态，创编新题目

基于变式4的这种改编，虽是由一般变到特殊，但它还是静态的.利用什么办法，能使“四边形DNBC是平行四边形”这种特殊状态隐含于一般的“四边形DNBC”之中呢？这就要让图形——四边形DNBC动起来，在运动的过程中，就会出现特殊情形.怎样让四边形DNBC动起来呢？这就需要找出能用运动语句来描述的条件并改用动态的语句来描述.对此，笔者设置问题，引领学生发现可换成动态表述的条件，并改变其叙述方式，使“四边形DNBC”由静态图形转化成动态图形，从而创编新题目.具体如下：

问题5：你们熟知运动变化题的表述方式，改变变式4中的哪个条件，就能让其整个图形动起来？变式4也由此从静态题变为动态题.

通过此问题引领学生思考，相互讨论，在互动中得到：只要将“AB=AC”换成另一种表述方式——“AB旋转得到AC”，即可创编新题目.

变式5：如图7，已知AB=1，将线段AB绕着点A逆时针旋转，记旋转后的线段为AC，旋转角∠BAC=α（0°＜α＜90°），作BD⊥AC于点E，且BD=AB，点M是BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N.在旋转的过程中是否存在着α，使得四边形DNBC为平行四边形？若存在，请求出BC长；若不存在，请说明理由.

这种变式除了要熟知哪些属性能用不同形态的语句表述外，还要注意表述中语句的严密与规范，因此，它开拓了学生的视野，提高了学生的符号感.期间，学生不但了解了由静态到动态的变式方法，而且还潜移默化地了解创新的方法——代一代.

变式方法六：扩一扩——根据现有条件进行n级发散，发现隐性状态，创编新题目

在变式5中，学生能像变式3那样，进行一级发散思维，得到很多新结论，对于这些新结论，他们还可以再作二级、甚至三级发散思维……拓展延伸得到更多的结论，但要学生在短短的课堂时间里创编出具有深度思维的压轴题并进行解答，是不现实的.因此，笔者通过问题引领学生获得其他结论之后，抛出创编题，并将思考题“该变式题是怎样由这些结论演变得来的”，以及它的解答作为课后作业.具体如下：

问题6：像变式3那样，在变式5中，你们还可以得到哪些结论？对于这些结论，你还能由此推得哪些新结论？基于这些结论，想一想、猜一猜老师会创编出什么样的新题目？

通过问题6，引领学生深度思考，合作探究，在互动中生成结论：在旋转的过程中，△ADN与△MNB始终是等腰直角三角形，∠BNA是不变量，始终等于135°，点E、M始终在以AB为直径的圆上，点N始终在以AB为弦且圆心角为90°的圆弧上，点N具有不变属性——△AEB内切圆的圆心，等等.之后，笔者给出更具深度的创编题.

变式6：如图8，已知AB=1，将线段AB绕着点A逆时针旋转，记旋转后的线段为AC，旋转角∠BAC=α（0°＜α＜90°），作BD⊥AC交点E，且BD=AB，点M是BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，在旋转的过程中，点N到AB的距离是否存在最大值？若存在，请求出其值；若不存在，请说明理由.

此变式题，不论编法，还是解法都极具挑战性，将它归属压轴题系列，名副其实.鉴于课堂时间的有效性，而将其是怎样由隐性结论编写出来的以及它的解法作为课后作业更是明智的选择.因“点N到AB的距离”也是“直角三角形ABE内切圆的半径”，所以此题解法不止一种，这种多解题不但覆盖的知识点多，而且减少了学生因知识盲点而无法解题的几率，是命题者追求的目标.期间，学生了解了另一种更具深度的变式，潜移默化地了解创新的方法——扩一扩.

变式方法七：搬一搬——平几搬到解几，创编新题目

建系，可将平几题转化为解几题，使运算更具多样性及可能性.但建系时原点及坐标系的选择关系到运算的简洁性，对此，笔者通过问题引领学生合理建系，改变它的题型，创编新题目.具体如下：

问题7：几何题建系后可变为解几题，对于变式6，怎样建系？建系后，变式6该怎样叙述？

通过问题6，引领学生合理建系，转化问题的表述形式，从而创编出新题型.

变式7：如图9，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（1，0），将线段OA绕着点O逆时针旋转，记旋转后的线段为OB，旋转角∠AOB=α（0°＜α＜90°），作AC⊥OB交OB于点P，且AC=AO，点D是AB的中点，AF平分∠OAC交OD于点F.旋转过程中，点F的纵坐标是否存在最大值？若存在，求出此时点F的坐标.

这种变式的关键在于如何合理建系，使运算简洁；难点在于建系后语言的转化及规范表述；重点在于解题中的数式运算.因此，它不但需要学生的数学直觉、数学活动经验储备以及符号感，而且考验着学生的运算能力.期间，学生不但学会了将几何题变为解几题的方法，而且潜移默化地了解创新的方法——搬一搬.

由上可知，这系列的变式覆盖的知识点之广，所用的思想方法之多是无法用几道题来替代的.在系列的变式过程中，我们最终将一道中档题变成了一道具有深度思维的压轴题.这种借“题”发挥，以“变”促学的变式教学，创造了机会，让学生了解了诸多的变式方法，回顾众多的知识点，看到压轴题的形成过程和解题的思想方法，增强了他们解压轴题的信心.更重要的是，它为学生的“解题反思——对试题的拓展延伸”及教师的解题教学提供很好的典范，也为跳出茫茫的题海找到新的出路.

1.周玉俊.借“题”发挥以“变”促学——初中数学课本习题的变式与拓展例谈［J］.中学数学（下），2017（4）.J