为揭示概念本质而教——以“加权平均数”教学为例

☉福建三明市列东中学 詹高晟

☉福建三明市列东中学 陈冠文

2017年12月，笔者在三明市初中数学网络教研活动中开设的“平均数”（北师大版《义务教育教科书·数学》八年级下册第六章第1节）教学研讨课得到了听课教师的好评，课后大家就这节课的教学在网络上展开了热烈的讨论，也引发笔者的进一步思考，现整理成文，与大家交流.

一、教学内容

教材安排如下三个环节展开教学：

环节一：给出中国男子篮球职业联赛2011—2012赛季两个球队（北京队和广东队）队员的身高和年龄，让学生通过计算比较两队队员的平均身高，由此引入算术平均数的概念.

环节二：介绍小明计算北京队队员平均年龄的方法：

表1

平均年龄=（19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1）÷（1+4+2+2+1+2+2+1）=25.4（岁）.

让学生说明这种算法的道理，引导学生发现：小明的做法还是根据算术平均数的计算公式进行计算，只是在求相同加数的和时用了乘法，这是一种求算术平均数的简便方法，为引入加权平均数概念做好铺垫.

环节三：安排如下例题，引出加权平均数的概念，完成新知建构.

例 某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A、B、C三名候选人进行了三项素质测试.他们的各项测试成绩如表2所示：

表2

（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？

（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试的得分按4∶3∶1的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？

二、教学过程及评析

环节1：创设情境，复习旧知.

上课伊始，笔者指出大家生活中会接触各种各样的数据，常常要对它们进行适当的整理和分析，以获取更多的信息，为决策提供依据.接着让学生阅读教材的章引言和观察章前主题图，明确本章的主要学习任务，主要是研究数据分析的常用方法.然后提出问题一：

问题一：A、B两个学习互助小组的半期考数学成绩如下：

A组：75，84，85，90，56.

B组：92，80，54，73，85，81.

你认为哪个互助小组的成绩更好些？

引导学生比较两个小组的平均成绩，顺势回顾算术平均数的算法，并给出规范定义.

评析：本节是“数据分析”这章教学的起始课，加权平均数的概念是这节课的教学重点，但笔者不仅关注加权平均数概念的教学，还非常注重发挥章引言的教学功能，通过指导学生阅读章引言，帮助他们了解本章的主要内容，熟悉本章概貌，让学生在学习之初就能弄清学习的脉络，以防“只见树木，不见森林”.然后用一个具体的情境问题引导学生自然唤醒算术平均数的概念和求法，体会算术平均数的统计意义.

环节2：提出问题，引发思考.

问题二：半期联考中，甲、乙两校初一年级数学平均成绩如表3所示，能否求出这两校初一学生的数学平均成绩？

表3

不少学生回答“能”，认为答案是70分.

生1：算不出来，因为平均分等于总成绩除以总人数，而现在我们不知道这两个学校的具体人数.

师：能确定平均分的大致范围吗？

师：是更接近60分还是更接近80分？

生3：应该跟两个学校的人数有关.

接着笔者提出问题三：

问题三：如果知道这两校初一年级的人数（如表4），能否表示出这两校初一学生的数学平均成绩？

表4

然后笔者借助Excel表格，给定一些a的值，依次算出相应的的值（如表5），绘出相应的统计图（如图1）.

表5

图1

师：请大家观察统计表和统计图，能有什么发现？

生5：a的值不同，最后结果也不同.

生6：a越大，平均成绩就越低.

生7：但到不了60分，只会越来越接近60分.

师：是的，太好了！大家发现a的值越大，平均分越接近60分，说明a的值越大，甲的成绩对结果的影响就越大，这时甲的成绩重要程度就越高，a的值反映了60分的重要程度，我们就把a的值叫作60分的权.

评析：这里设置了两个逐渐递进的问题，问题二既有助于学生深入理解算术平均数的概念，也为引出加权平均数的概念埋好伏笔.问题三通过给出两个学校初一年级的学生数，并且用字母a来表示甲校初一的人数，让问题变得开放.课堂上，在师生互动、共同交流中，引导学生逐步明确a的值的变化会引起两校平均成绩的变化，理解研究加权平均数的必要性，发展学生的数据分析观念.特别是借助条形统计图，让平均分的变化趋势显得直观、简洁，能有效调动学生的学习兴趣，为加权平均数概念的引入做了充分的铺垫.

环节3：归纳提炼，引出概念.

师：在这个问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据时，往往给每个数据一个“权”.像式子≈72.92中，这里85就叫作60分的权，155叫作80分的权，85、155反映了这个式子中60分和80分的重要程度，72.92分就叫作两校成绩60分、80分的加权平均数.

然后给出加权平均数规范的概念：一般地，n个数据x1、x2、…、xn的权分别是f1、f2、…、fn，则这n个数的加权平均数

生8：在式子①中，60、80的权分别为85、155；在式子②中，60、80的权分别为600、155.

师：权的作用是什么？

生9：反映数据的重要程度，权越大对平均数的影响就越大.

师：观察这些式子，分子和分母都有哪些特点？

生10：分子表示两个学校的成绩总和，分母表示各权的和，也就是两个学校的总人数.

师：你能取一个a的值，使平均分更接近80分一些吗？

生11：a=30.

师：为什么这样取？

生11：要让最后成绩更接近80分，说明80分的权重要尽量大一些，60分的权重要尽量小一些，所以a的值要尽量小一点.

师：说得很好！那么如果两个分数的权重一样，a的值应是多少？计算出的平均分又是多少？

生（众）：a=155，平均分为70分.

生12：结果跟算术平均数一样.

师：对，这就说明算术平均数是加权平均数的特殊情况，此时，每个数据的权重相同.

评析：有了问题二和问题三的铺垫，笔者借助具体例子，引导学生通过观察、分析，先给出加权平均数概念的形式化定义，再进行抽象概括，得到概念的规范定义，把握住了概念的本质，既有助于学生理解概念，又有助于培养学生的抽象概括能力，概念的引出自然、流畅.概念引出后，再通过具体实例帮助学生理解，并把算术平均数与加权平均数有机统一起来，渗透了特殊与一般的数学思想，体现了前后一致、逻辑连贯的数学思维.

环节4：辨析发现，完善认知.

问题四：某次安全知识竞赛，我校参赛的学生共有3种得分：85分、80分、90分，人数分别为19、10、21，请求出这些参赛学生的平均得分.

接着笔者对该题进行变式，提出以下问题：

变式1：某次安全知识竞赛，我校参赛学生共有3种得分：85分、80分、90分，人数之比为19∶10∶21，请求出这些参赛学生的平均得分.

对于本题，不少学生存在困难，笔者引导他们利用算术平均数的概念解决，假设3种得分的人数分别为19x、10x、21x，则有，整理后得到，发现结果与原题一样，在探究中让学生明白，权还可用比例的形式来呈现，此类问题以后可直接用加权平均数解决.

变式2：某次安全知识竞赛，我校参赛学生共有3种得分：85分、80分、90分，人数分别占我校参赛人数的31%、33%、36%，请求出这些参赛学生的平均得分.

有了“变式1”的解题经验，学生解决此题就容易多了，引导学生假设我校全部参赛学生为x人，则有：，整理后得到=85×31%+80×33%+90×36%，由此指出权还可以用百分比的形式呈现.

评析：权的表现形式有多种，数据的出现次数这种形式对初学者来说比较容易接受，而比例和百分比这两种形式较难理解，如何才能从次数这种形式自然过渡到另两种形式，让学生能够理解，易于接受？这就需要我们精心设计.为此，笔者通过变式，把后两者借助平均数的概念统一到次数这种形式，过渡流畅，最终都是利用较易理解的次数这种形式来理解权的其他表现形式，思路顺畅，生成自然.

环节5：应用概念，深化理解.

利用教材中环节三的例题素材，提出问题五：

问题五：若根据三项测试的平均成绩确定录取人选，那么谁被录取？说明理由.

师：若公司要招聘的是广告策划员，A会是合适人选吗？

生13：不合适，因为广告策划员的创新能力更重要，而A的创新分数不高，应该录用B.

师：那该如何修改最后的计分规则，使我们能录用到合适人选？

生14：可以给“创新”更高的权重，如按照4∶3∶1的权重计算最后的得分.

笔者让学生算一算，发现按这种录取方式可以录用到B.

师：生活中，你们还接触过哪些利用加权平均数来解决的问题？

通过讨论，让学生分享自己的例子，感受加权平均数在生活中的应用.

评析：这里通过开放性的问题，让学生主动给数据赋予适当的权，在分析问题、解决问题的过程中，学生对权的意义有了更深的理解和领悟，权可以根据数据的重要程度进行合理分配，体会到权对决策所起的作用，发展学生的数据分析观念.

三、几点体会

1.概念教学：基于自然生长，重在揭示本质.

数学概念是数学学习的起点，是数学思维的基础，而概念又往往比较抽象，学生不易理解，因而在教学中要根据学生的认知水平，基于知识的自然生长，通过有序、恰当的教学环节，拉长思维过程，帮助学生揭示概念的本质.笔者听过多位教师开设的“平均数”教学公开课，他们在权的概念形成上用时很少，对它的本质一带而过，而是把更多的精力放在有关加权平均数的计算训练上面，结果导致学生只会机械模仿，生搬硬套，对权的含义并未真正理解，没有将权的概念建构进自己的知识网络中，用时是知其然而不知其所以然.有一节公开课，教师在练习中设计了以下题目：小明家上个月的伙食费用为500元，教育费用为200元，其他费用为300元，本月小明家这三项费用分别增长了10%、30%、5%，小明家本月的总费用比上个月增长的百分数是多少？学生在解答时无从下手，分不清问题中的数据与权.在本节课的教学中，笔者考虑最多的就是如何让学生经历从识权到悟权的过程，培植权的概念，理解权的含义，会用权解决实际问题，为此，通过精心设计，让学生求两校初一年级的数学平均成绩，引发学生的思维冲突，引导学生关注甲校初一年级人数a的变化对最终平均成绩的影响，a的值越大，最终成绩越接近甲校的成绩，a的值的大小反映了甲校成绩的重要程度，这正是权的本质特征，由此引出加权平均数的概念水到渠成.这样的探究，虽然用时较多，但这种“慢”教学，让学生充分经历概念的形成过程，他们在交流碰撞中解决了问题，提升了能力，概念的本质属性是由他们自主揭示得到的，自然理解透彻，体会深刻.

2.教材使用：有取有舍不唯是，优化整合有所立.

教材是知识的载体，蕴含课标的精神实质，凝聚编者的智慧，但教材不是教学的出发点，更不是终点，仅仅是教学的媒介.由于条件限制，教材内容很难做到完全适应各种不同类型的学校，这就要求一线教师在教学中要根据学生特点，对教材进行创造性使用，有取有舍，优化整合，使静态的教材内容动态化，使零星的知识条理化、系统化，以便更好地为教学服务.本节课，教材提供的两个球队的队员身高、年龄素材，虽然来源于生活，数据丰富，有助于培养学生的统计观念，但本节的重点不在于具体数据的计算，而在于探究数据分析的方法，因此复杂的数据反而会干扰对核心内容的学习.此外，教材安排的例题第（2）问，意在引出加权平均数的概念，并且给出当权以“比例”形式出现时加权平均数的计算方法，然而笔者在备课时请程度较好的学生试做本题时，发现他们要么不会列式，要么对列出的式子=不会正确解释，究其原因，主要在于这时还未引入加权平均数的概念，而本题又无法利用算术平均数的计算方法（所有数据的总和除以数据的总个数）说明.为此，笔者对教材进行大胆取舍，更换教学素材，通过设计层层递进的问题串，让权的概念自然生成，然后通过“问题四”的三个小题，让学生体会加权平均数的三种表现形式，当学生遇到困难时，引导他们回到算术平均数的概念加以解决，自然、流畅，符合学生的认知规律.这样的教材处理让整节课的教学环节紧凑，学生的思维在知识的推进中自然流淌，享受数学探究性学习旅程中特有的曲径寻幽之乐.当然，我们对教材“不唯是”“有所立”，关键是要深刻理解教材，读懂编者意图，再根据学生的实际情况，对教材进行合理重组或加工，做到“有取有舍不唯是，优化整合有所立”.

3.统计教学：经历统计活动过程，发展数据分析观念.

当下，课堂教学仍然普遍存在“考什么，教什么”的现象，特别是统计知识在考试中基本属于送分题，大部分教师不愿意花费时间和精力研究教材，有的教师甚至把统计课上成了算术课，缺乏统计味，学生没有参与统计过程，统计意识和数据分析观念很难得到发展.数据分析是统计的核心，因此在统计教学中要注意选择合适、有效的素材，让学生参与到统计活动中去，发展他们的数据分析观念，培养他们的统计意识.本节课，笔者设计的“问题一”，不是直接让学生求两个小组各自的平均成绩，而是通过问题“你认为哪个互助小组的成绩更好些”引发学生主动思考，自主选择合适的统计量，由此唤醒平均数的概念与算法等统计知识，发展学生的数据分析观念.在“问题五”教学时，笔者不是如教材那样直接提出问题“按4∶3∶1的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用”，而是通过问题“该如何修改最后的计分规则，使我们可以录用到合适人选”，引导学生从统计角度修改计分规则，让学生自主体会到可以通过改变不同项目的权重影响最后的成绩，并让学生自己给各项目赋权，在现实背景中用权，积累数学活动经验，发展统计观念.在本节课的最后，笔者还让学生自己列举用加权平均数解决的实际问题，感受统计与实际生活的联系，增强他们的统计意识.统计是实践性很强的一个内容领域，教师要通过引导学生积极参与统计活动，经历统计过程，在活动中建立数据分析观念，形成自觉运用统计知识解决实际问题的能力.

1.詹高晟.拉长思维过程 内化概念理解［J］.中学数学（下），2016（3）.

2.潘巧慧.重在悟权过程突出统计思想——“20.1.1平均数”教学设计与说明［J］.中学数学（下），2017（9）.W