摄动力方法在模态扩展中的应用讨论

牟小龙， 冯慧华， 左正兴， 杨贵春(.北京理工大学 机械与车辆学院，北京 0008；.中国北方发动机研究所，天津 300400)

模态分析和模态测试是力学基础学科，也是现代结构动力学设计的重要内容。工程应用中，模态测试的结果通常用于相关性分析，校核并改善有限元模型的精度[1-4]，修正由于材料参数的不准确带来的误差，在土木工程中常常用来识别结构的损伤位置和损伤程度[5-6]。

通常测试信息是有限的，只有低阶的部分模态能够被捕捉到，测试的自由度也很有限，只在传感器安装位置的有效自由度才被测试到；而有限元模型的自由度通常上万个，乃至几百万个。这种不一致性，给分析和应用带来了极大的挑战。一种处理方案是将有限元振型缩聚为和测试自由度数目一致的子空间振型，再进行相关性分析。这种分析的意义非常有限，不能分析未测试自由度的振型精度。模态扩展能够将测试振型扩展到所有自由度，这样就能够直接对比在所有自由度上的精度，扩展得到的振型包含了测试信息，因此这样的相关性分析具有重要的意义。通常扩展得到的振型不同于有限元振型，这种偏差反应了初始有限元模型的不确定性和测试结果的不确定性。现有的模态扩展技术有很多，其中动力缩聚[7](DE)可以应用于振型扩展，系统等效缩聚与扩展[8-9](SEREP)比较常用，但是对模态扩展基比较敏感，CMCM算法[10]可以在振型扩展的时候考虑模型修正问题，但是误差定位识别比较困难，而且自由度数目较多的时候同样存在方程不适定问题。

摄动力扩展[11-12](PF)是基于柔度矩阵的振型扩展方法，本文重点讨论摄动力扩展技术在应用中存在的问题及其改进。

1 摄动力扩展基本原理

测试模型和有限元模型之间相差一个摄动量

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:ω和Φ即为特征对。

PF理论假定测试结果是精确的，并且是低阶有限元振型的线性组合，在未知摄动力的情况下，通过利用有限元振型关于质量矩阵的正交性可以推导得到第r阶模态扩展为

(5)

式中:Xj为第r阶测试振型;下标j表示测试自由度，是一个m×1的向量，m表示测试自由度个数。

测试振型是一阶一阶地扩展的，第r阶模态扩展矩阵为

(6)

(7)

式中:上标u表示没有测试自由度集合，即模态矩阵中对应的那些行;T表示转置;g表示伪逆;p表示选取的有限元模态阶次数目;矩阵Sr的定义请参考原始论文，其物理意义是当所有有限元模态都选中时，它就是负的动柔度矩阵或者负的静柔度矩阵。可以看到这个方法表达形式上比较繁锁，直接计算伪逆是不允许的，编程需要特别注意满阵的处理。

本文主要讨论：①从摄动理论出发进行新的推导，得到相同的扩展矩阵格式，并且讨论特殊情况的处理；②讨论展开伪逆的必要性；③给出PF理论与SEREP理论等效的条件；④最后给出在每一阶测试模态扩展时，有限元模态基选择建议，并以一个实测案例演示整个流程。

2 摄动力扩展及其应用讨论

2.1 扩展矩阵格式新的推导

原始理论的推导过程是从位移展开定理推导得到的，利用了特征矢量关于质量矩阵的正交性，从而可以得到模态参与因子，整个推导过程非常优雅。这里还可以从摄动理论出发，推导得到相同的扩展矩阵。

把(1)和(2)代入式(3)得

(8)

(9)

从而得到与文献[11]中式(20)相同的摄动方程

fr

(10)

式中:fr为第r阶模态扩展时的摄动力。对柔度矩阵按照行分块

(11)

(12)

本文这个推导过程和从动刚度矩阵推导得到DE扩展的算法极其相似，DE扩展也是一阶一阶地扩展的。有趣的是，如果将上面的伪逆进行展开，则能够得到和SEREP极其相似的扩展矩阵格式。

2.2 展开伪逆的必要性

式(6)、(7)、(12)的伪逆计算会得到满阵，破坏了矩阵稀疏性，不便于实际应用，因此展开伪逆是有必要的。

对每阶有限元振型选择同一种归一化方案

(13)

其中k=1,2,…,p。为了避免判断频率是否相等，这里系数统一定义为

(14)

其中δ是机器精度所决定的最小值，一般可直接取为1×10-10，这样始终可以用第一种扩展矩阵格式，不必分情况讨论，这种处理实际就是引入了移轴量，重新定义了摄动力。

将柔度矩阵的分块矩阵用上面归一化以后的振型表达为

(15)

再用右伪逆展开得到

(16)

(17)

由于伪逆的展开计算方法有很多种，这里选用右伪逆可以减少不必要的计算量，对于工程应用已经足够了。如果上式中计算逆矩阵出现奇异，那么有两种方式应对，一种是寻求一些正则化的处理方式，另一种是再添加必要的模态振型作为扩展基。

2.3 与SEREP算法等效的条件

假定G是一个正定方阵，只有p=m对特征矢量识别到了，那么矩阵ψj:也是方阵，可以发现PF扩展就和SEREP理论所给的扩展矩阵等效，即

(18)

在大多数情况下,如果p≠m,则式(18)不成立。

2.4 模态基选择建议

Chen并没有讨论如何选择模态基的问题。实践表明，PF理论和SEREP对于低阶模态基的选择都比较敏感，选择哪些以及选择的阶次数目对结果都有重要影响。对于特定测试振型的扩展，并非每一个有限元低阶振型都具有相同的重要性。下面讨论一种方法，只需两步就可以完成这个任务。

定义一种频率加权处理的模态参与因子，对第r阶测试振型

(19)

数值仿真实验研究发现，到底选择多少阶次，可以通过观察每一阶的具体贡献来判断，这个时候需要计算没有频率加权处理的模态参与因子

(20)

通常在MPF绝对值变得超过2个数量级的时候，就没有必要继续选取扩展基了。

2.5 计算流程说明与效率分析

图1 模态扩展分析流程

从计算效率来讲，为了保证计算精度和稳定性，增加了对模态振型排序和筛选这两步，这个分析只涉及和测试自由度规模相当的矩阵求逆和矩阵向量积，与原始摄动力方法相比新增的计算量并不大；而且简化了模态扩展矩阵表达格式，这会节省存储空间；另外，本文方法没有涉及伪逆计算中正则化的讨论，以及识别有限元模型中建模误差的分析，因此相对于参考文献[5,10]来讲计算量更少、复杂程度更低，本文的方法适合于在误差识别之前的模态扩展分析。

3 开口梁测试案例

下面对一个有缺口的悬臂梁进行锤击模态试验。几何形状，坐标和材料信息见图2所示，5个测点布置在梁顶面的中线(Y=0，Z=6)上，在X轴方向的测点坐标分别为42,145,215,280和360 mm，测试过程中只有Y和Z方向自由度被测试了，提取了8阶振型，并对复数振型进行了正规化处理得到实数振型，见表1和表2。

L1=70 mm,L2=40 mm,L3=185 mm,L4=370 mm,w=30 mm,h=d=12 mm,E=74 GPa,μ=0.27,ρ=2.78×10-9T/mm3

图2 测试梁集合模型，坐标与尺寸

表2 正规模态振型

建立了相应的有限元模型，共8 442个自由度，一端面被完全固定，进行模态分析。振型相关性分析，仅仅在测试自由度上计算MAC的主对角线结果见表1，可以看到仿真结果和实验结果有5阶振型对比较好，但是由于有限元模型的边界条件过于理想，没有模拟试验台基座的附加刚度在水平和垂直方向的差异，造成有限元第2阶水平方向弯曲模态频率存在较大差异；实验结果中水平方向第2阶弯曲模态，参数提取的时候或者某种原因漏掉了；而由于传感器布置空间分辨率不够，无法识别扭转振型。本文比较关心的是对测试振型扩展以后的精度对比问题，由于实际情况下测试和仿真都有一定误差且精确振型是未知的，因此本文的结果只用来验证PF算法的稳定性和可靠性，以及对比原始PF算法和本文改进以后的方法。

首先参考式(19)，对前15阶有限元振型进行了模态参与因子预测，根据计算结果对各阶振型重要性进行排序，筛选重要的模态，排序的结果见表3，从表格中看到并非每一个低阶振型都选中了。

再根据式(20)计算具有绝对值意义的MPF，通过观察最后选定了前6阶排序结果进行模态扩展，MPF绝对值比较小，对应的归一化模态参与因子见表4，归一化模态参与因子是通过用MPF向量除以该列向量绝对值最大值得到的。

表3 排序后的有限元模态振型阶次序号

表4 表3中各阶模态归一化模态参与因子(MPF)

振型更新以前后MAC对比见图3和图4，主对角线结果明显更高，说明新扩展振型要比原始初始扩展更加平行于有限元振型。由于有限元振型也有误差，也不宜完全以它作为参考。频响函数对振型非常敏感，所以接着进行了频响函数相关性分析，加速度频响函数计算结果对比见图5～图7，分别对应H(2,9)，H(2,5)和H(4,6)，数字代表响应点和激励点编号。在前两个图中，扩展振型计算的频响要更接近测试加速度频响；第3个图中在3 000 Hz以前，三者没有明显差别，3 000 Hz以后出现的反共振低谷一致性表明了扩展振型精度更加接近测试结果。

图3 MAC分析，原始论文扩展结果

图4 MAC分析，用本文方法扩展结果

从对比分析可知：①PF理论是可行的，本文对伪逆的展开是有效的；②本文推荐的两个指标对低阶模态扩展基的选择是有效的，可以明显改善计算结果的精度；③实验验证结果显示，即使在未知精确振型的情况下，可以通过频响函数相关性分析对比扩展振型精度，从结果来看，用本文扩展振型的方法的确是可行的。

图5 加速度频响对比,H(2,9)

图6 加速度频响对比,H(2,5)

图7 加速度频响对比,H(4,6)

4 结 论

本文讨论了摄动力扩展算法在实际应用中存在的问题。首先，从摄动方程角度进行了新的推导，得到一个等效的扩展矩阵格式，对于测试频率等于有限元频率的情况下，可以添加一个微小的移轴量，这样保持了第一个扩展矩阵的格式形式不变。其次，进一步研究了展开伪逆的必要性，得到了式(17)，这样可以避免计算柔度矩阵的分块矩阵以及分块矩阵的伪逆；接着，指出了PF理论与SEREP理论等效的条件，即当测试自由度等于识别到的模态阶数，且矩阵正定的时候，那么两种算法是等效的。另外，讨论了模态基选择问题，给出了一种频率加权处理的模态参与因子，见式(19)，这样可以消除振型混叠问题，实现对每一阶振型的重要性进行排序；给出了没有频率加权处理的模态参与因子，见式(20)，以便确定模态基选取阶次的个数。本文的方法改进了扩展矩阵表达形式，展开伪逆可以减少不必要的存储空间，新增的模态基筛选方法提升了计算稳定性和精度。最后，实测悬臂梁案例介绍了整个应用分析流程，并验证了改进方法的合理性。

[1] FRISWELL M I, MOTTERSHEAD J E. Finite element model updating in structural dynamics[M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers,1995.

[2] 曹宏瑞,何正嘉.机床主轴耦合系统动力学建模与模型修正[J].机械工程学报,2012,48(3):88-94.

CAO Hongrui, HE Zhengjia. Dynamic modeling and model updating of coupled systems between machine tool and its spindle[J].Journal of Mechanical Engineering,2012,48(3):88-94.

[3] 王柯,范忠华,党西军.基于模态实验与优化的静动力学模型转换[J].振动工程学报,2012,25(1)：38-42.

WANG Ke, FAN Zhonghua,DANG Xijun.The transformation of static structure models to dynamic models based on modal tests and optimization[J]. Journal of Vibration Engineering,2012,25(1)：38-42.

[4] 冯慧华,左正兴,廖日东,等.内燃机复杂部件结构动力学模型修正技术研究[J].内燃机学报,2006,24(4):357-362.

FENG Huihua,ZUO Zhengxing, LIAO Ridong,et al. Research on the modification technique on structural dynamic model of complex I.C.E components[J]. Transactions of CSICE,2006,24(4): 357-362.

[5] 张纯,宋固全.去噪正则化模型修正方法在桥梁损伤识别中的应用[J].振动工程学报,2012,25(1):97-102.

ZHANG Chun, SONG Guquan. Bridge damage identification by finite element model updating with Tikhonov regularization and wavelet denoising[J].Journal of Vibration Engineering, 2012,25(1):97-102.

[6] 夏品奇,BROWNJOHN J M W.斜拉桥有限元模型与模型修正[J].振动工程学报,2003,16(2):219-223.

XIA Pinqi, BROWNJOHN J M W. Finite element modeling and model updating of a cable-stayed bridge[J]. Journal of Vibration Engineering, 2003,16(2): 219-223.

[7] PAZ M. Dynamic condensation[J]. AIAA Journal, 1984,22(5):724-727.

[8] O’CALLAHAN J, AVITABILE P, RIEMER R. System equivalent reduction expansion process(SEREP)[C]//Proceedings of the 7th IMAC. Las Vegas, NV,1989.

[9] KAMMER D C. Test-analysis-model development using an exact modal reduction[J]. The International Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis,1987,2(4):174-179.

[10] 李伟明,洪嘉振,张以帅.新的模型修正与模态扩展迭代方法[J].振动与冲击,2010,29(6):4-7.

LI Weiming, HONG Jiazhen, ZHANG Yishuai. New iterative method for model updating and modal expansion[J].Journal of Vibration and Shock,2010, 29(6):4-7.

[11] CHEN Huapeng. Mode shape expansion using perturbed force approach[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 329: 1177-1190.

[12] CHEN H P, MAUNG T S. Regularised finite element model updating using measured incomplete modal data[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014,333:5566-5582.