从柯西不等式的证明过程谈谈构造法

孟宪华

摘 要：从北京师范大学出版社《选修4-5：不等式选讲》第27页中，给出柯西不等式，对任意实数a、b、c、d，有（a2+b2）·（c2+d2）≥（ac+bd）2，当向量（a，b）与向量（c，d）共成时，等号成立，教材中给出三种证明方法，其证法二通过构造函数φ（t），利用二次函数的性质得到结果，课本上对于一般形式的柯西不等式，给出了相同的证明方法。那么对于某些不等式证明问题，如果我们根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2，那么，由f（x）≥0可知Δ≤0。這样，对于一些用常规方法处理繁琐的问题，便可获得简捷、明快的证明方法。

关键词：柯西不等式；求证；构造法