想法合理 解读自然

徐爱勇

所谓“通性通法”是指解决具有相同性质数学问题所用的通用方法，是数学思想和数学方法在解决数学问题中的集中体现.

下面举例说明在解题过程中，以“通性通法”為出发点，使我们保持自然流畅的思维，自觉做到主动反思，从而能够寻求问题的最优解决策略.

1.“代数”与“几何”的自然

案例1 对于任意的实数k，关于x的方程x²-5x+4=k（x-a）恒有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.

分析 本题普遍流行的解法是利用数形结合和化归思想，把该方程解的个数转化为图象的交点个数来研究.具体解法如下：

考虑函数y=x²-5x+4与y=k（x-a）的图象，根据题意，可得如图1所示的位置，则1

再分析 其实不少同学脑海里第一反应的思路并不是数形结合法，而是直接研究方程.由于该方程中字母较多，容易导致大家“半途而废”.俗话说，坚持到底就是胜利！只要我们稍加观察所得判别式不等式的特征，就不难得到下面的解法：

因为x²-5x+4=k（x-a），所以x²（k+5）x+4+ka=0，

又因为关于x的方程有两个不相等的实根，

所以△=（k+5）²-4（4+ka）>o，即k²+（10-4a）k+9>0.即对于任意的实数k，上式恒成立.则△'=（10-4a）²-4×9<0，则1

反思 同学们在解题过程中要有足够的自信，不能够束缚自己的思维，剥夺自主创造的空间.其实，数学解题的过程也可以分为三重境界：“温饱（会做）”、“小康（多解）”、“富裕（优化）”.而这三个步骤的顺序一般情况下是不可以跳跃的，也要顺其自然地发展.

2.“正面”与“反面”的自然

案例2 已知f（x）= -1/2x²2+x，是否存在实数m，n（m

分析 这道题属于一元二次函数在闭区间上的最值问题，这类问题的常规解法，按照区间[m，n]与对称轴的位置关系分类讨论求解.

解 因为f（x）=-1/2x²2+x的对称轴为x=1，则

（1）当m2+4m=0，n²+4n=0，m=-4，n=0

（2）当mmax=f（1）=1/2，由题意得3n=1/2，则n=1/6，这与m

（3）当1≤m2-2m+6n=0，n²-2n+6m=0，得m=n或-4，这与

综合（1）（2）（3）得，满足条件的实数m，，n存在，且m=-4，n=0.

再分析 其实，我们通常所说的先审题再下笔，目的就在于更好地寻找思维的切人点，合适的切人点必然能够导致思维的自然流畅，有利于思维完整的延续，这显然是解题过程中十分重要的一个环节.

鉴于此，我们会有以下几个思考问题串：

（1）由解法可知m=-4，n=0确定的区间[-4，O]恰好是f（x）的单调递增区间，而（2）（3）两种情形均无解，有这么巧吗？

（2）如果“[3m，3n]”改为“[4m，4n]”，其余条件不变，结果义如何呢？

（3）如何证明f（x）在区间[m，n]上为单调增函数呢？

反思 从某种程度上来说，许多数学问题的价值意义不单单在于解完后如何变化拓展，更重要的应该在解题过程中能够自然而然地产生一些思维的深化和延伸，而如何加强各个条件的关联与相互渗透，寻找最自然地思维切人显然是至关重要的.

3.“直接”与“间接”的自然

案例3 已知函数f（x）=x²+x-a，若y=f（x）在区间（1，1）内有零点，求实数a的取值范围.

分析 本题不少同学会有这样“直接”

反思 单墫教授曾经说过，“没有技巧就是最好的技巧.”而我们在平时的解题过程中，似乎更青睐一些“高超技巧”，倾向于把一些简单的内容讲得复杂些，好像不这样就不能显示解题水平.长此以往，这直接导致我们对一些基本概念、基本方法不能充分掌握.现在，举国上下都在提倡“减负增效”，而在数学解题过程中，做有用、有效、有意义的练习，是实现这一目标的有力抓手.