把准联系与区别 细斟慎选稳解题

梁燕

古典概型与几何概型是两种重要的概率模型，它们之间既有联系又有区别.熟练理解和区分两种概率模型，准确划分基本事件，是有效解决概率问题的前提.

一、分清概型——有限无限是关键

古典概型与几何概型的基本事件的发生都是等可能的，但古典概型的基本事件是有限个，而几何概型的基本事件是无穷多个.比如“从区间[0，6]中任取一个整数，求它与1的和小于4的概率”，由于在[O，6]中任取一个整数，有0，1，2，3，4，5，6，共7种取法，基本事件个数有限，是古典概型.若把问题改为“从区间[0，6]中任取一个实数，求它与1的和小于4的概率”，则基本事件就有无数多个，是一个几何概型.义如“从区间[0，6]中随机取两个实数，求这两个实数之和大于8的概率”，也是一个几何概型.

二、古典概型——基本事件细斟酌

古典概型是有限个等可能事件构成的概率模型，我们把这样的事件称为基本事件，也就是说，基本事件是在一次试验中可能m现的每一个基本结果，并且每个基本事件发生的可能性必须是相同的.求古典概型问题的概率，我们首先需要确定总的基本事件个数，记做m，再确定满足条件的基本事件的个数，记做n，最后用古典概型概率公式P（A）一旦求出概率即可.这里的关键是需要细细斟酌每一个基本事件是否都是等可能的，只有是等可能的才能使用这一公式.因此，基本事件的判断是解题的第一步也是最重要的一步.

例1 同时抛掷两枚均匀的骰子，点数之和为6的概率是多少？

有同学说，这很简单，既然求两枚均匀的骰子的点数之和的概率，点数之和的范围是2～12，那么基本事件是2，3，4，5，…，12，共11个.对不对呢？仔细考虑一下，会发现出现点数和为2时只有（1，1）这一种情况，出现点数和为3时可以是（1，2），（2，1）这两种情况，显然刚才那位同学所认为的基本事件中“2”和“3”这两个事件发生的可能性是不相同的.

还有一种想法，认为基本事件是：

（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）

（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）

（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）

（4，4）（4，5）（4，6）

（5，5）（5，6）

（6，6）

共21個，其中第一个数表示第一枚骰子向上的点数，第二个数表示第二枚骰子向上的点数.而在这种情况下，如（2，1）的情况就并未被考虑进来.这种做法也不可行，因为它没有包含这一次试验中可能出现的每一个基本结果.

可见，在涉及连续抛掷两次和将两枚骰子抛掷一次的问题中，（a，b）是一个有序整数对，因此出现的点数为（a，b）与（b，a）是两种不同的情况，应作为两个基本事件，如此才能使基本事件等可能，综上，先后掷两次，向上的点数记作（a，b），列举如下：

（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）

（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）

（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）

（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）

（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）

（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）

共36个基本事件.将“向上的点数和为6”记为事件A，则A中所含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个，故P（A）=5/36.

看来解古典概型题最重要的就是找对基本事件，慎重对待基本事件的等可能性.

那么一个实验是不是只有一种基本事件的情况呢？比如“投掷一枚均匀的骰子一次，求出现奇数点的概率”，基本事件可以是{1，2，3，4，5，6），也可以是{奇数，偶数}，无论哪种选择都符合基本事件的特征，即包含了每一种可能以及等可能性.在解答某些复杂的古典概型时，换一种看待基本事件的角度说不定可以简化运算.

三、几何概型——测度标准慎选择

几何概型是无限个等可能事件构成的概率模型，求几何概型问题的概率，我们首先需要算jLI_：全部结果对应的区域D的测度，还有满足条件的区域d的测度，利用公式P（A）=d的测度/D的测度求出概率.几何概型问题的概率不仅与D的测度有关，也与d的测度有关，测度可以是长度、面积、体积等，因此测度标准的选择是个难点，需慎重.例2 在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在/ABC内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M（如图1），求AM

由于在∠ABC内部任作一条射线CM可作无数多条，因此这是一道几何概型问题，点M在线段AB上运动，那总的基本事件的测度会不会是线段AB的长度呢？判断的依据就是看此时基本事件是否等可能，也就是说，在这里应视射线CM在∠ACB内是等可能分布的（直观的感觉是分布均匀），若以线段BA的长度为测度，当点M在AB上均匀分布时对应的射线CM分布并不均匀，所以不能把AB的长度作为基本事件的测度.在AB上截取AN=AC，则∠ACN=67.5。（如图2），满足条件AM

可见，在解决几何概型问题时，必须搞清楚测度，其关键还是要保证基本事件的等可能性.

回到我们前面的问题：

问题1 从区间[o，6]中任取一个实数，求它与1的和小于4的概率.

问题2 从区间[0，6]中随机取两个实数，求这两个实数之和大于8的概率.

问题1中，区间[O，6]中的实数有无数多个，没有办法列举出到底有多少个基本事件，联想到可以用数轴上的点来表示实数，因此可以借助数轴的一段（线段AB，其长度为6）上的所有点来表示区间[0，6]中的所有实数，从而选用线段的长度作为测度.记“从[O，6]中任取一个数与1的和小于4”为事件A，由于所取的数x要满足x+1<4，其对应的点C应该在线段AD（其长度为3）内，则事件A所包含的所有基本事件可以用线段AD的长度来表示（如图3），所以，P（A）==3/6=1/2

问题2中，在区间[O，6]中随机取两个实数可联想有序数对（x，y），借助平面区域内的点来表示（如图4中正方形区域），记“从[0，6]中随机地取两个数，这两数之和大于8”为事件B，由图可知事件B所包含的基本事件个数可用图中阴影部分的面积来表示，则应满足P（B）=S阴影/S正方形=8/36=2/9

同学们，只要我们能准确把握古典概型和几何概型两类概型的本质区别与联系，能找准古典概型的基本事件和几何概型的测度，这两类概率问题将会迎刃而解！