过程教育——以“平行线的判定（第1课时）”为例

☉浙江省宁波市北仑区东海实验学校 虞朝霞

一、背景介绍

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）根据数学具有过程和结果的双重性特征，倡导统筹兼顾过程与结果.但在以浙教版《数学》七年级下册1.3节“平行线的判定（第1课时）”为载体的“多人同课异构式”的研修活动发现，课堂教学普遍存在过程教育不到位的问题，主要表现在：获得“基本事实”的认知过程短暂和获得“基本事实”之后的图形变换过程缺失，导致学生对三角尺在画图过程中的作用的认识不够充分，对“基本事实”的理解没有达到一定的“深度”；用判定平行线的方法判定两条直线平行的分析过程缺失，也没有提供学生交流多样化说理方法的机会，导致没有充分发挥例题的潜在功能.鉴于此，笔者在重复式观课与反思基础上，按过程教育思想对该课的教学进行重建与实践，改进后的课例得到了专家的认可.现整理成文，与读者交流分享.

二、教学实录

环节1：经历回顾旧知并提出问题的过程——明确研究问题

师：请同学们回顾一下平行线的概念.

生1：在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线.

师：由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据平行线的概念来判断两条直线是否平行.有没有其他判定平行线的方法？本节课我们就来探索平行线的判定方法.（揭示课题）

环节2：探索平行线的判定方法——同位角相等，两直线平行

师：请大家依次完成下列任务.（允许小组合作）

（1）画图：用三角尺和直尺在白纸上画两条平行线.

（2）思考：用数学的眼光看画平行线的过程，三角尺起到了什么样的作用？

（教师等待学生完成任务）

师：我发现大家的画图方法可以抽象成如图1、图2、图3、图4所示的四种类型.

图3

图4

师：用数学的眼光看画平行线的过程，三角尺起到了什么样的作用？

生2：三角尺的作用是使“角”在沿直尺所在的直线定向移动过程中保持相等.

生3：三角尺的作用是保持同位角相等.

师：不错.由此你发现可用什么方法来判定两条直线平行？

生4：可用同位角相等来判定两条直线平行.

师：好的.这是经验的结果.如图5，若∠1=∠2，则直线l1∥l2吗？

图5

图6

生4：可以猜想：若∠1=∠2，则直线l1∥l2.

师：一般地，可以形成怎样的猜想？

生4：两条直线l1，l2被第三条直线AB所截，若同位角相等，则直线l1∥l2.

师：以后可以证明你的猜想是正确的.这样判定两条直线平行有下面的方法：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单地说，同位角相等，两直线平行.即如图5，若∠1=∠2，则直线l1∥l2.

师：如图6，将图5中的直线AB绕点P旋转至A′B′且∠3=∠4，则直线l1∥l2吗？

生5：根据判定平行线的方法，可知直线l1∥l2.

师：如图7，若∠3=∠4，则直线l1∥l2吗？

生6：根据判定平行线的方法，可知直线l1∥l2.

师：如图7，若∠5=∠6呢？∠7=∠8呢？

生7：若∠5=∠6，则直线l1∥l2；若∠7=∠8，则直线l1∥l2.

图7

图8

师：好的.不管图形的位置怎样变化，只要有一对同位角相等，就能判定直线l1∥l2.它体现了“数量关系到位置关系”的过程.

师：若将图5变为图8且∠1=∠2=90°，则直线l1与l2是否平行？为什么？

生8：直线l1∥l2.因为∠1=∠2=90°，又∠1与∠2是直线l1、l2被直线AB所截的一对同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得直线l1∥l2.

师：有道理.∠1=∠2=90°，即l1⊥AB，l2⊥AB.由此你发现了什么？

生9：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

师：为何要加“在同一平面内”的限制条件？

生9：例如，墙角中的“这两条线”垂直于“这条线”，但“这两条线”不平行.

师：聪明！否定结论只要举个反例即可.这样判定平行线还有下面的方法：

在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.即如图8，若l1⊥AB，l2⊥AB，则直线l1∥l2.

师：它体现了“位置关系到位置关系”的过程.

环节3：参与尝试方法应用的活动——合作解答有代表性问题

师：我们一起来解答下列问题.

问题1：如图9，直线l1，l2被直线l3所截，∠1=45°，∠3=135°.问：直线l1与l2是否平行？为什么？

图9

师：现在判定两条直线平行有哪几种可行方法？

生10：平行线的判定方法1和判定方法2.

师：由图可以猜想：直线l1∥l2.要说明直线l1∥l2，只要说明什么？

生11：∠1=∠2或∠3=∠4.

师：根据已知条件能求出∠2或∠4的度数吗？

生11：能.∠2=45°，∠4=135°.

师：由此能得出∠1=∠2或∠3=∠4吗？

生12：∠1=∠2=45°，∠3=∠4=135°.

师：由此可知，直线l1∥l2.请大家把直线l1∥l2的理由规范地写出来.

（教师等待学生完成任务）

师：谁来汇报说理的过程？

生13：因为∠2+∠3=180°，所以∠2=180°-∠3=180°-135°=45°.又∠1＝45°，所以∠1=∠2.因为∠1与∠2是直线l1，l2被直线l3所截的一对同位角，所以直线l1∥l2.（同位角相等，两直线平行）

生14：因为∠1+∠4=180°，所以∠4=180°-∠1=180°-45°=135°.又∠3＝135°，所以∠3=∠4.因为∠3与∠4是直线l1，l2被直线l3所截的一对同位角，所以直线l1∥l2.（同位角相等，两直线平行）

师：说得真好！如图9，若内错角相等，则直线l1∥l2吗？若同旁内角互补，则直线l1∥l2吗？

生15：直线l1∥l2.因为这两个条件都可以推出同位角相等.

师：好的.我们要养成解题之前分析和解题之后反思的习惯.

问题2：如图10，已知直线l1，l2被直线AB所截，AC⊥l2于点C.若∠1=50°，∠2=40°，则直线l1与l2平行吗？请说明理由.

图10

师：由图可以猜想：直线l1∥l2.要说明直线l1∥l2，只要说明什么？

生16：∠1+∠2=90°或∠ABC=∠1.

师：根据已知条件能求出∠1+∠2或∠ABC的度数吗？

生16：能.因为∠1=50°，∠2=40°，所以∠1+∠2=50°+40°=90°.因为∠BAC=∠2=40°，又∠ACB=90°，所以∠ABC=90°-40°=50°.

师：由此能否得出直线l1∥l2？

生17：能.因为∠1=∠ABC，所以直线l1∥l2.（同位角相等，两直线平行）

生18：因为∠1＋∠2=90°，即l1⊥AC，又l2⊥AC，所以直线l1∥l2.（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）

生19：因为∠1＋∠2=90°=∠3，所以直线l1∥l2.（同位角相等，两直线平行）

师：请大家把直线l1∥l2的理由规范地写出来.

（教师等待学生完成任务）

师：谁来汇报说理的过程？

生20：因为∠1=50°，∠2=40°，所以∠1+∠2=50°+40°=90°，所以l1⊥AC.又l2⊥AC，根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得直线l1∥l2.

生21：因为∠2=40°，所以∠BAC=40°.因为∠ACB=90°，所以∠ABC=50°.因为∠1=50°，所以∠1=∠ABC.因为∠1与∠ABC是直线l1，l2被直线AB所截的一对同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得直线l1∥l2.

生22：因为∠1＋∠2=90°，又l2⊥AC，即∠3=90°，所以∠1＋∠2=∠3，所以l1∥l2.（同位角相等，两直线平行）

师：好的.学习几何需要推理，我们要逐步熟悉上述这样的推理语言.

接下来，要求学生完成课本中的练习题，并待学生完成任务后进行交互反馈与评价.

环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

师：本节课研究了哪些内容？

生23：本节课研究了判定平行线的方法及其应用.

师：获得“同位角相等，两直线平行”经历了哪几个步骤？

生24：画图→思考→猜想→表达.

师：好的.特殊到一般的探索策略和画图、猜想等探索方法，以后会经常用到.

师：用判定平行线的方法判定两条直线平行经历了哪几个步骤？

生25：判断→分析→说理.

师：好的.分析基础上书写求解（或推理）过程是解决问题的基本经验.

师：大家在学习过程中有何感触？

生26：通过画图也能发现几何结论，否定结论只要举个反例就可以了.

生27：说明结论成立要有理论依据，有时说明结论成立有多种方法.

生28：解题之前要分析，解题之后要反思.

师：太棒了！这些感悟或经验对后继学习有指导作用.大家认为还可以继续研究什么？

生29：还可以从内错角、同旁内角的数量关系来研究两条直线的位置关系.

师：有道理.下节课我们继续来探索平行线的判定方法.

三、教学说明

过程教育不是片面强调过程，而是根据数学结果的地位与作用，以及获得数学结果（或解决问题）的过程和所蕴含的数学思想方法的价值来确定过程与结果的平衡点.其基本要求是：教学内容全面——不仅包括数学结果，也包括数学结果形成、应用的过程和所蕴含的数学思想方法.认知过程完整——根据数学结果的类型针对性地设计教学并引导学生经历完整的认知过程.教学方法和谐——以合适的题材为载体，从学生已有的知识与经验出发，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式（特别要留给学生自主思考与实践的时间和合作交流的机会），并用激励的方法来评价学生在数学活动过程中的表现.［1］

“平行线的判定（第1课时）”的教学内容不仅包括平行线的判定方法，也包括平行线判定方法的形成、应用的过程和所蕴含的归纳思想、演绎思想、推理语言、说理的表述格式等.证明“同位角相等，两直线平行”对学生来说有难度，浙教版教材把它看作基本事实，所以其教学性质是原理教学.平行线的判定方法是基础知识，用平行线的判定方法判定两条直线平行及简单的说理是需要学生掌握的基本技能；经验到理论和一般到特殊的研究方法在教学实践中具有普适性.实践告诉我们，获得平行线判定方法的过程和用平行线判定方法判定两条直线平行及简单说理的过程有能力发展点、个性和创新精神培养点，其所蕴含的数学思想、推理语言、说理的表述格式等对发展学生的智力有积极影响.《课标》中课程内容对该课提出的教学要求是“掌握基本事实：同位角相等，两直线平行”.在教师适度引导下，学生获得判定两直线平行的方法，虽然用判定方法判定两条直线平行的难度不大，但是判定两条直线平行之后的说理（有条理的推理与表达）对学生来说有一定的难度.

本课例根据平行线判定方法的教学性质及其地位与作用和所蕴含的教育价值，针对性地设计了“提出问题（暗示研究的必要性）→画图思考（用直尺和三角尺画平行线并思考三角尺在画图过程中的作用）→归纳猜想（由特殊猜想一般）→表达方法（用文字语言和符号语言表达猜想得到的结果）→演绎欣赏（生成判定方法2）→解决问题（用获得的判定方法判定两条直线平行并说理）→反思内化（欣赏判定方法，感悟研究过程和所蕴含的数学思想，积累数学活动经验）”的教学过程，运用了“把教学的侧重点放在‘画图思考’‘解决问题（特别是说理）’上，并以教材提供的题材为载体，从学生已有的知识与经验出发，采用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式和用激励的方法来评价学生表现”的教学方法，以使学生对“基本事实”的认识能达到一定的“深度”，并能感悟三角尺在画图过程中的作用，能感悟其研究过程和所蕴含的数学思想，积累说理（推理与表述）经验等.

浙江省数学特级教师邬云德老师认为，该课例遵循了数学原理教学的基本规范，体现了过程教育和以学为中心的思想，统筹兼顾了过程与结果，可以实现“能发现并会陈述判定平行线的方法，会用判定平行线的方法判定两条直线平行并会进行简单的推理和表述，能感悟特殊到一般的探索策略和画图、观察、猜想的探索方法，能在数学活动过程中有个性化表现”的教学目标，它对帮助教师理解与实践过程教育有积极的影响.

教学实践表明，这样的整体性教学和有深度的教学，能“激发学生的学习兴趣”“引发学生积极思考”“培养学生良好的数学学习习惯”“使学生掌握恰当的数学学习方法”.［2］

1.邬云德.旨在统筹兼顾过程与结果的过程教育理论［J］.中学数学（下），2017（11）.

2.史宁中.义务教育课程标准（2011年版）教师学习指导（初中数学）［M］.北京：北京科海电子出版社，2011.H