巧“旋转”，妙解题

2018-03-03山东省烟台市教育科学研究院辛珍文

中学数学杂志 2018年4期

☉山东省烟台市教育科学研究院辛珍文

图形的旋转是《义务教育数学课程标准（2011年版）》规定的学习内容，旋转变换在初中几何中占据非常重要的地位，它贯穿于三角形、四边形、圆等几乎所有重要的几何内容之中，在近几年的中考试题中所占的比重不断上升，是中考的热点，而且相关试题往往构思巧妙，令人耳目一新，学生在解决这类问题时倍感困难，经常没有头绪.本文试图从三个层次来帮助学生掌握旋转的特征，以期帮助学生抓住旋转的规律，从而轻松解决问题.

一、按指令旋转

例1如图1，将△ABC绕点C逆时针旋转90°，作出旋转后的图形.

图2

图1

解析：如图2，△A′CB′为所求.

由本题我们可以归纳出图形旋转的特征：（1）图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应角相等；（4）图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转前后的图形全等.深入研究一下，还可以得到：对应的直线也旋转了相同的角度，比如，此题中的直线AB和直线A′B′也互相垂直.

二、会识别旋转

通过例1的练习，对于旋转中心为图形的某个顶点的旋转，学生是很容易识别的，但对于那些旋转中心不是顶点的，学生识别起来还是有些困难的.比如例2.

例2 如图3，△A′B′C′是△ABC绕点O按一定角度旋转后形成的图形，求作点O.

图3

图4

解析：如图4，因为对应点A、A′到旋转中心O的距离相等，所以点O在线段AA′的中垂线上，同理点O也在线段CC′的中垂线上.连接AA′、CC′，作AA′、CC′的中垂线，交点即为点O.

通过例2的练习，学生对于旋转的识图能力有了进一步的提升，解决像例3和例4这样的问题，就很容易了.

例3如图5，菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，求证：AE=AF.

图5

图6

解析：如图6，连接AC，证明△ABE≌△ACF（ASA）即可.

事实上，△ACF可以看成是△ABE绕点A逆时针旋转60°而成的，其实旋转为我们认识全等提供了一个新的角度，即从动态的角度来重新认识全等.观察图2、图4，我们可以发现旋转必然会产生“有公共顶点的等线段图形”（线段和中点、等腰三角形、菱形、正方形等），反之，“有公共顶点的等线段图形”（线段的中点、等腰三角形、菱形、正方形等）中必然隐藏着旋转型全等，我们只需找到它们，问题便随之解决.

例4 如图7，以△ABC的边AB、AC为边分别作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.

图7

图8

解析：如图8，不难猜想△ABC与△AEG的面积相等，可以考虑让它们的底边相同，因此作CM⊥AB交AB于点M，作GN⊥EA交EA的延长线于点N.只需证GN=CM，而这由△AMC≌△ANG即可得到.其实△AMC与△ANG也是一对旋转型的全等.

三、会构造旋转

事实上，让大部分学生感到困难的并不是去发现题目图形中隐藏着的旋转，而是何时需要去构造旋转型全等.上面的解题经验告诉我们，若题目中出现了“有公共顶点的等线段图形”，比如，线段的中点、等腰三角形、菱形、正方形等，可能就需要我们主动构造旋转型全等，特别是当题目中的条件比较分散或条件虽然是集中的但无法解决所求问题时，通过构造旋转，可以使得题目中的条件重新集中，从而解决问题.

例5如图9，在等腰△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且∠ADB=∠ADC，求证：∠DBC=∠DCB.

解析：虽然题目中相等的元素集中在△ABD和△ACD中，但无法证明△ABD和△ACD全等，所以需要把条件转移之后再利用，AB=AC提供了将△ABD旋转的依据.因此，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACD′，连接D′D.易证∠CDD′=∠CD′D，从而CD=CD′，故CD=BD，即∠DBC=∠DCB.

图9

图10

例6如图10，已知PA=，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.

（1）当∠APB=45°时，求PD的长；

（2）当∠APB变化，且其他条件不变时，求PD的最大值，以及相应∠APB的大小.

解析：在△APD中，虽然知道PA、AD的长度，但没有角度，因此无法求解PD.由于AB=AD，所以可以尝试将△PAD绕点A顺时针旋转90°到△EAB，连接EP，在△EPB中求出EB为2可得PD也为在第（2）问中，依此思路，易求得EB的最大值为6，当且仅当E、P、B三点共线，即当∠APB为135°时，PD取得最大值6.

如果题目中出现了线段的中点，我们可以把某个三角形绕着中点旋转180°，构造中心对称型全等（同时形成“附属产物”平行四边形），使题目中的条件集中，从而解决问题.我们熟悉的“倍长中线”便是其中的一种特殊情形.

例7如图11，点D是△ABC的边AC上一点，且AB=CD，∠BAC=60°，点E是BD的中点，若AE=4，求BC的长.

图11

图12

解析：题中的“AB=CD，∠BAC=60°”这两个条件比较分散，无法使用，考虑到点E是BD的中点，因此延长AE到F，连接FB、FC、FD.这样一来，△FDE≌△ABE，所以DF=AB=CD.又∠CDF=∠BAC=60°，故△DCF为等边三角形.所以CF=CD，CF=AB.又BF∥AC，故四边形ABFC为等腰梯形，所以BC=AF=8.

通过以上例题，我们对旋转有了逐步深入的认识.我们能够按照题目的要求，作出相应的旋转后的图形，加深了对旋转的直观认识，能够迅速在“有公共顶点的等线段图形”中识别出我们所需要的旋转型全等，而有些题目，要求我们主动去构造旋转型的全等，从而使分散的条件集中起来，沟通已知和所求，达到解决问题的目的.最后提供几个题目，供有兴趣的读者练习.

练习：

1.如图13，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为______.