析离基本图形，抽取解题思路

☉江苏如皋市下原镇下原初中 许波琴

一、例题及其教学分析

1.例题及解法分析.

题目：如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE，BE是△DEC外接圆的切线.

（1）求∠C；

（2）若CD=2，求BE.

图1

图2

分析：解答题（1），可以根据“BE是△DEC外接圆的切线”联想到作辅助线OE，得到∠BEO=90°，再由直角三角形的性质得到，最后，利用三角形外角的性质计算即可；解答题（2），可以根据直角三角形的性质求出BD的长，利用勾股定理列式计算即可.

具体解题过程如下：

解：（1）如图2，连接OE.

由BE是△DEC外接圆的切线，得∠BEO=90°.由∠ABC=90°，E是AC的中点，得

2.教学分析.

本题是以圆为背景的解答题，主要考查垂直平分线的定义、切线的性质、圆内接直角三角形、三角形的内角和、勾股定理和含30°角的直角三角形等知识.笔者将本题作为教学例题，编入了圆的单元复习中，意在让学生以此题的解答，将圆中的核心知识与初中阶段其他几何核心知识关联起来，形成解答与圆有关问题的基本思路，形成基于直角三角形的知识网络.

则∠EBC=∠ECB.

由OE=OC，得∠OEC=∠OCE.

则∠BOE=2∠OCE，即∠BOE=2∠EBC.

则∠EBC=30°.

则∠C=30°.

（2）由CD=2，得OE=OD=OC=1.

由∠EBC=30°，∠BEO=90°，得BO=2OE=2.

二、教学过程及简析

1.教学过程简录.

教师先投影例题的题干及问题（1），让学生按几何题的常规分析思路探索解题思路.大约5分钟后，有不少学生举手示意已找到思路，教师立即组织学生进行全班交流.

师：请一位同学说说你是如何分析这道题的.

生1：首先是读题标注，把文本中的信息标注到图旁，然后剥离图形，联想由条件可能会得出的结论.最后是前后关联，把最终要得到的结论与我能想到的结论关联起来.

师：很好！这是我们常用的分析几何题的思路.你们都按这个思路进行的吗？

生（齐）：是的！

师：接下来，请一位同学具体说说这幅图中究竟含有哪些基本图形，根据你所析离出来的基本图形又能有哪些基本结论.

生2：线段垂直平分线，（学生到黑板上作图，下同）题目很直接给出了“边AC的垂直平分线交BC于D”，所以，图中的DE就是AC的垂直平分线，至少我能直接得出两组结论

师：对！由文本信息完全可抽出这一基本图形.你会据此图（指向图3）产生怎样的联想？

生3：连接AD.

师：为什么？

图3

图4

生4：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以，连接AD后，就可以得到AD=CD了！

师：好的！图1中还有其他基本图吗？

生5：切线构造的直角三角形，如图4，取DC的中点O，连接OE，根据“BE是△DEC外接圆的切线”可得∠DEB=90°.

师：你确定所取的DC的中点O就是圆心吗？

生5一愣，班上其他学生开始窃窃私语.

师：应用切线的性质的前提是这里的OE应为半径，也就是O为圆心.

生6：是圆心！

师：为什么？

生7：∠DEB=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，所以，DC就是△DEC的外接圆的直径，当然中点O也就是半径了.

师：嗯！这么一补充，我们的推理又完善了.不错，抽取基本图形，一定要关注图形存在的条件是否完备.如果全了，那就是基本图形，如果不全，就要考虑是否可以证全了.再说说其他基本图形吧！

生8：还有“直角三角形斜边上的中线”，如图5，由于AE=CE，这里的BE就变成了Rt△ABC斜边上的中线，所以，AE=BE=CE.

师：很好！根据三条线段相等，又可以得出哪些结论呢？

图5

图6

生9：∠EBC=∠C，∠A=∠ABE.

师：还有其他基本图形吗？

生10：角平分线性质定理模型.

师：在哪儿呢？

生11：四边形ABDE，如图6.如果连接AD，就是初二研究的“角平分线的性质”基本图形.图中的结论是“如果AD平分∠BAE，DE⊥AC，∠ABD=90°，所以，DB=DE”.

师：你别说，还真是那回事！（教师指指黑板上作出的图形）根据这么多图形，你能想办法求出∠C的度数吗？

生12：能！∠C=30°.

师：怎么求？

学生口陈述求∠C的过程，此处略去.

师：如果给定这里的CD=2，其他条件都不变，你能根据这些基本图形求出哪些线段的长？先自主探索，然后在小组中交流.

学生自主探究，3分钟后，他们在小组中进行了热烈交流.然后教师给出问题（2）：若CD=2，求BE.请学生自主求解.

2.简析.

这里展示的是本题教学的核心片段.案例中，教师非常重视基本图形的剥离和相关结论的分析，而师生间的内在默契彰显了学生的训练有素.教师提出的解题要求，强调了“几何问题的常规分析方法”，生1据此给出的方法是大家一致认同的基本方法，也是教师所期盼的分析方法.教师的期盼变成现实，这完全源于长期的范式训练.接下来的交流，教师没有直奔解题思路或解题过程去，而是指向了“你们分析并剥离出的基本图形”，要求学生说出基本图形，并分析基于基本图形可以获得的结论.从教学的过程和结果看，教师对基本图形的深挖的成效是显著的.在教师环环相扣的追问下，学生对基本图形及其结论的探索不断完善与深入，为后续解题思路的得出和解题过程的呈现夯实了基础.在与例题相关的基本图形析离过程中，教师还将文中的图3至图6都画在黑板上，这些从复杂图形中抽取出的基本图形，让本题的图形分析形成了网络，其核心是直角三角形，附着其上的既有直角三角形的相关性质，也有与直角三角形高度相关的其他图形的性质.这些图形及其所包含的几何结论，对问题解决的重要性我们是不需要质疑的，而其生成过程或许比结论的应用来得更具实效.在这样的教学过程中，学生的自主探索、师生的互动交流及最后的自主解答，都紧扣生成于几何概念或定理之上的基本图形展开，与学生已有的认知路径完全吻合，取得较好的教学成效也就十分正常了.

三、几点思考

1.坚持析图训练，培养应用能力.

对基本图形的学习与应用应是一项长期工程，一线教师所要做的就是始终如一地将其贯穿于自己的几何教学中.见图析图，联想结论，力求在师生互动交流中形成学生“剥离图形，应用图形获得思路”的能力.笔者认为，这种长期坚持的析图训练，对教师有着较高的要求.首先，教师要能把握住训练的时机，在教学中始终将对复杂图形的分析放在教学的核心时段上；其次，要以始终如一的方式引导学生进行思路分析与解法交流，决不能三心二意，不断变化.比如，一道几何题拿到手之后，学生该“先做什么，后做什么”，都应有着明确的规定，当他们面对一个复杂的几何图形时，该如何剖析，从哪些角度去抽取基本图形，这些都应从几何教学之初就应确立“规矩”，而且要让确定的“规矩”在长期反复的磨炼下逐步完善，并得到全体学生的认同，最终成为每个学生都能“说得清，道得明”的思路分析范式.通过这种固化的持久训练，个体对基本图形的分析与应用能力才可能有明显提升，成为个体的数学素养.

2.重视“四基”教学，夯实应用基础.

“四基”是指数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，它们是“四能”（发现和提出问题、分析和解决问题的能力）生成的基础.很显然，“四基”教学对于数学教学是十分重要的.面对本文中所述的几何教学，笔者认为它与代数教学的最大差别在于教学内容增加了图形语言.学生需要在原有文字语言、符号语言之外，花大量的精力去认知、记忆、识别图形.所以，在几何概念、定理教学时，我们务必在认知起点处，帮助学生将文字语言、图形语言和符号语言一一对应起来，让他们充分体会到这三种几何语言之间的内在联系，为后续应用夯实基础.“四基”教学，起点很重要.我们应从一开始就让学生充分经历基本图形的生成过程，然后才是更广范围内的建构与拓展.所以，在定理或概念首次呈现时，我们就应把三种语言状态下的知识同步展示，让他们体会到它们之间转化的可能、必要与有效.

3.强化数学关联，形成应用惯性.

基本图形一般是指基于一个定理或概念之上的图形，但有时我们会把关联较为密切的两个或两个以上的图形链接在一起，形成一些较为复杂的复合基本图形，或者我们会把基于多个不同教学时段从同一幅图形中生成的结论组合在一起，形成一个基于同一图形的较为综合的知识网络，这些图形或知识的“集合体”一旦形成，将会成为今后学生分析问题与解决问题的重要数学模型.当然，想要形成这样的模型，绝非一两天的突击训练就能实现的.笔者认为，一方面要加强数学知识的联想教学，培养学生看图猜想的能力和意识；另一方面，要在训练中及时关联相关知识网络，并不断强化学生的应用体验，以保证每名学生都能形成基于个体认知网络之上的提取与应用的思维惯性，达成基本图形教学成效最大化.