挖掘图形特点，探寻数学规律——以几何规律探究题为例

☉江苏省常熟市王庄中学 王裕龙

规律探究题是近几年中考的热点问题，其中的几何规律探究题是较为常见的一类，主要考查学生的图形观察力和探究推广能力，通常涵盖了正方形、三角形、矩形、函数、直角坐标等知识，题型复杂，变化多样，对于学生的推理能力要求较高，掌握合理的解题思路是高效求解的关键.

一、真题解析，试题点评

1.真题呈现

题目 （2017年浙江省舟山市中考卷第15题）如图1所示，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得

图1

（1）试计算tan∠BA4C的值；

（2）按此规律推导，写出tan∠BAnC的值（用含n的代数式表示）.

2.试题解析

分析：（1）求tan∠BA4C的值，过点C可作BA4的垂线CH，垂足为H，则利用面积法可求CH，利用勾股定理即可求A4H.（2）对于tan∠BAnC，采用规律总结的方式，分析上述几个正切值，将n作为正切序号，总结等号右边的规律即可.

解：（1）作CH⊥BA4，垂足为H，如图2，则利用勾股定理求得所以

图2

（2）依上述正切式子可知，等号右边分母存在如下规律：1=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，13=42-4+1，所以可推得tan

3.试题点评

本题目为几何规律题，主要考查正切、直角三角形、勾股定理等知识，数形结合、模型思想渗透于试题之中.求解过程以正切值在直角三角形中表示作为突破口，并从中挖掘正切值的变化规律，对图形的直观感知是解题的关键，垂线的应用实现了求解的具体化，对基本图形的探究及对相关数据的简单推理、适度拓展实现了问题从特殊到一般化推进.对于几何规律题，图形识别、性质把握是基础，细化计算是重要途径，合理猜想、归纳总结则是解决问题的一般方法.

二、试题衔接，思路剖析

几何规律探究题作为中考的常见题型往往呈现出多样化，经常将直角三角形、一次函数、直角坐标系融合在一起进行综合考查，解答该类题目不仅需要充足的知识储备，还需要采用合理的解题思路.首先需要从文本入手，利用原始条件分析图形，然后通过数形结合的方式来提取有效信息，在此基础上开展的适度延伸、规律联想才会相对可靠，辅以一定的数据验证则可保证答案的准确性.

试题1：（2015年达州市中考卷第16题）在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按图3方式作正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，点A1，A2，A3，…在直线y=x+1上，点C1，C2，C3，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，求Sn的值（用含n的代数式表示，n为正整数）.

图3

分析：本题目涉及函数的几何规律题，首先可根据直线解析式y=x+1求出OA1=1，即第一个正方形的边长为1，求得A2B1=A1B1=1，则第二个正方形的边长为2，求得A3B2=A2B2=2，则第三个正方形的边长为22，求得A4B3=A3B3=22，得出规律，根据三角形的面积公式即可求出Sn的值.

解：直线y=x+1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1，所以OA1=1，OD=1，∠ODA1=∠A2A1B1=45°，则A2B1=A1B1=1，所以因，所以，所以同理可得，所以

试题2：如图4所示，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴和y轴上，OA=1连接AB，过AB的中点C1分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是A1、B1，连接A1B1，再过A1B1的中点C2作x轴和y轴的垂线，照此规律依次作下去，求点Cn的坐标.

图4

分析：本题目为涉及坐标系的几何规律题，考查矩形、相似三角形、点的坐标等知识，首先需要从图形条件以及文本条件中求出点C1，C2的坐标，△AOB是直角三角形，根据已知条件可求得AB的长，过AB的中点C1作出x轴和y轴的垂线，则C1A和C1B是△AOB的中位线，则可求得C1B1和C1A1的长，进一步延伸可求得C2B2和C2A2，则点C1和C2的坐标可求，且存在关联性，进而可猜想CnBn和CnAn，从而可确定点Cn的坐标.

解：△AOB为直角三角形，因OA=1则AB=2，C1A和C1B是△AOB的中位线，所以进一步推知则点Cn的坐标由CnBn、CnAn的长确定，根据规律可知则Cn的坐标为

上述两题均为涉及直角坐标系的几何规律题，求解时依托直角坐标系来定位几何元素，结合几何性质进行特定分析，由此开展的规律联想更为精确.试题1利用一次函数，结合直角坐标系求解正方形的边长，利用几何知识求三角形的面积，探求规律，从中总结出Sn的值；试题2则是利用直角三角形及中位线定理来求解相关点的坐标，并从图形中总结出相关边的数量关系，进而实现求解.对基本图形的充分把握是解题的基础，合理利用几何性质，关注求解过程中的几何关系可实现最终的规律推演.

三、解后反思，教学思考

1.回归教材，扎实基础

上述几何规律题涉及了直角三角形、矩形、正方形、勾股定理、中位线定理等几何知识，问题的求解均是通过对基本几何问题的逐个解决来实现的，基础知识的合理利用依然是解决综合问题的关键，尤其是对于中考知识点高度融合的新题型.因此在中考的备考阶段需要注重对基础知识和核心内容的学习，学习习题的通性、通法，克服题海战术的功利性策略，回归到最原始、最有效的教材学习中，通过对教材的典型和具有代表性的习题讲解，帮助学生强化知识，利用对接课本的方式，让学生对于数学概念产生本质上的理解.

2.注重关联，信息提取

规律探究题是以基础数据的规律变化为主，数据的变化暗含在几何中，几何元素之间通常存在着一定的关联性，例如点的坐标、边长、角度之间的关系，充分挖掘几何信息，把握几何关联性是解题的关键，在此基础上开展的拓展推演才更为合理.在教学中，教师需要引导学生关注几何图形的关联性，可以设置一定的障碍来锻炼学生提取信息的能力，通过特定的情景来培养学生情景判断、图形分析的能力，让学生逐步掌握规律探寻的方法.

3.多重思维，拓展创新

培养学生的归纳总结、创新探究能力是规律探究题的命题出发点，解决规律探究题的过程实际上就是信息汇总、结论猜想的过程，需要学生对数据进行筛选，除去其中不相关的信息，在此基础上进行数据融合，大胆猜想，创新是其中不可或缺的思想品质.对于中学生的创新意识教学，需要从思维层面开展，让学生摒弃死记硬背、单纯套公式的学习方式，可以设置合理的问题情境，激发学生的创新点，让学生多角度思维，培养学生思维的灵活性，也可以采取探究的教学模式，用科学的方式指导学生的学习，充分发掘学生的创新潜能.

四、写在最后

几何规律探究题是中考难度较高的题型，对于该类题型需要充分理解文本信息和图形信息，把握几何元素的特殊关系，通过对特例的拓展分析来发现其中暗含的规律.在教学中而应该回归教材，注重基础知识的讲解，强化学生的基础知识；同时设置特定的情形来引导学生关注几何图形的关联性，让学生逐步掌握规律探究的方法；培养学生思维的灵活性和全面性，发掘学生的创新潜能，培养学生独立探究的能力.

1.邰群燕.从2016年全国中考题看规律类问题从何入手［J］.中学数学（下），2016（11）.

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