法则抽象：反复陈述之上的自然生成——以“单项式乘单项式的运算法则”教学为例

☉广东江门市新会东方红中学 黄绮玲

新授课上，对新的概念或法则的归纳呈现，往往是教学的难点.为了突破这一难点，很多教师动足了脑筋，有的从生活中抽象规律，借助熟悉的语境以纯文本的形式自主归纳；有的立足数学本身，从数学的本质上找到概念或法则的本质属性，抽象出新知.这两种方式中，无论哪一种，都离不开对由非数学情境抽象出的法则或概念文本的反复陈述、矫正，如果缺失了这一环节，新知的生成就是不“踏实”的.在近期执教“单项式乘单项式”的法则归纳时，笔者对此有较深的感触.现呈现此次教学过程，并说三点思考，希望能给大家带来启示.

一、“单项式乘单项式的运算法则”教学简录

1.情境引入.

问题1：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球的时间大约是5×102秒，你知道地球到太阳的距离约是多少千米吗？

学生读题列式：（3×105）×（5×102）.

教师追问：怎么算？

学生给出利用乘法交换律和结合律求解的过程，如下：

教师请学生反复陈述上述运算过程，并小结：我们把3和5相乘，把105和102相乘，然后写成科学记数法的形式.

2.类比探究.

问题2：如图1，将几张边长为a的正方形纸片拼在一起组成一块长方形广告牌，则长方形广告牌的面积为______.

学生列式：2a×3a.

教师追问：结果是什么？怎么得到的？

多名学生反复陈述：2a×3a＝（2×3）·（a·a）=6a2.

教师引导学生归纳：2a×3a，我们先将系数2和3相乘，再把字母a和a相乘.

图1

学生类比问题1、2中的求解过程自主探索，陈述过程，给出结果.接下来，教师安排学生在小组中交流过程.3分钟后的全班交流中，多名学生将自己探索的近乎一致的过程分享给大家：

3.猜想归纳.

问题3：猜一猜，下列各式该如何算？

在学生交流时，教师将其过程板书.然后，请学生结合板书的过程，归纳单项式与单项式相乘的运算法则.在学生陈述的过程中，教师提醒可按照刚刚运算的过程，给各部分运算赋上名称，比如）是两系数相乘，（m·m2）为同底数幂相乘……最后，将这些单独的文本陈述合并成一段完整的话.

4分钟后，学生对法则的归纳有了“雏形”：两个多项式相乘，先把系数相乘，再把同底数幂相乘，把乘得的积再相乘，只在一个单项式中出现的字母连同它的指数放在最后，作为积的一部分.至此，教师顺势归纳并投影法则.

教师追问：如果是三个单项式连乘，该怎么算？四个、五个单项式连乘呢？

在师生的互动交流中，教师引导学生将法则进一步拓展到多个单项式相乘.

二、简析

陈述，就是说.我们知道，话越说越清，理越辩越明.在数学教学中，对于概念、新法则的学习，对概念、法则的反复陈述是非常重要的.只有让学生经历归纳整理的完整过程，这些“新生”的知识才能深入人心，扎根于学生的知识网络.

上述片段中，基于“数式通性”原理，（3×105）×（5×102）与含字母的单项式乘法运算过程有着很多的相似之处.因而，教师从学生能够进行的数的运算入手，在（3×105）×（5×102）运算过程的拆解陈述中，夯实了式的乘法运算探索基础.接下来，关于2a×3a的运算过程的拆解陈述就显得顺利了不少，很多学生能给出（3×2）×（a×a）的步骤及正确的结果.这无疑与学生已有知识经验的丰厚和题1的教学是分不开的.问题3的探索延续了问题2的做法，先猜想，后陈述，在板书其过程后教师让学生尝试利用两个运算的过程猜想并归纳乘法运算的法则，在前后反复陈述中让类比认知积聚的知识与经验达到了知识顺利生成的高度，给出不完全规范但离“正果”差距不大的“学生法则”应该是问题不大的.这样的递进式认知，让学生经历从数到式的探索历程，对外形相似的运算过程的不断强化，在教师稍加点拨与矫正后，规范的文字语言顺势生成.正是这种基于反复陈述的丰富积淀，包括三个单项式、四个单项式的相乘方法在内的法则拓展成果的生成都是十分顺利的.

教者认为，让学生反复地说，并在陈述中形成固定的套路，使得他们的陈述有理有据，有方有法，是上述片段中顺利获得教学成果的根本原因.整个教学进程中，学生的陈述起到了巨大的推动作用.这一做法，不仅是知识梳理的手段，更是法则归纳的途径，正应了那句话“苦尽甘来，终得正果”.

三、几点感悟

1.陈述内容应具有明显的相似性.

相同或相近的教学内容，往往会给人学习方法或路径上一致的感觉，有利于类比学习的开展.熟悉的内容给人以“安全感”，有利于学生大胆应用已有方法开展下一步探索.在实际教学中，想要让学生心安理得地通过复述获得新的结论，就必须确保复述内容具有较强的相似性.当然，这种相似性可以是外形的相似，比如上面的问题2和问题3中的算式都是含字母的单项式相乘，这种外在的相似是可以引发学生的经验自然迁移的.此外，相似还包括探索方法和解决路径上的相似，本文中的问题1是数的运算，问题2是含字母的单项式乘法运算，这两者在外形上有着明显的差异，但其问题解决的路径是一致的.因而，两者先后展示，反复陈述，其路径的相似性使得学生的认知很快由数的运算过渡到式的运算中，为接下来的“同形”探索积聚了宝贵的经验.对于如何最大程度地发挥这种相似性的教学价值，笔者认为，我们应先给定或归纳一个陈述的范式，然后让学生模仿范式反复说，不断进行变式强化，通过陈述方式或内容的逐层升级，不断发挥出交流内容内在或外在的相似效应，在不“走样”的复述中，催生新知，积累经验.

2.陈述对象应具有较强的递进性.

复述，是对已有话语的重复，这在文科教学中是较为常见的.到了理科教学，复述的要求应略高于“简单再现”的要求.我们在设计复述对象时，应在保证复述内容相似的前提下，让相邻两次复述之间具有明显的梯度，说白了，就是前一轮次的复述应为后面复述的起点和基础.以本文中呈现的案例为例，笔者先给出的（3×105）×（5×102）的求解过程的复述，就是数的运算，起点低，难度小，学生易上手，效果也应是很好的，而后面的2a×3a增加了字母，难度增加是不言而喻的，复述过程中自然会增加系数和字母的分批陈述，而问题3中的算式题（2）又复杂了很多，其计算过程的复述自然比2a×3a的过程复述要难很多：有字母，有指数，关键是还增加非同底数幂的式子，不分开说都不可能.由数到简单的式，由简单的式再到复杂的式，单项式乘法算式的每个变化都让交流产生一次提升，也离法则的生成又近了一步，递进设置情境的创设目的在不经意中便会达成，这样的成效不正是每位一线教师期盼的吗？

3.复述交流要注重抽象的及时性.

抽象是数学教学最核心的任务，任何一节课，抽象都客观存在着，把握合适的时机进行抽象，往往能让数学“四基”得到及时归整，形成关联紧密的知识网络.因而，我们的常态教学一定要抓住抽象的时机，在学生的认知即将爆发的时刻及时展开教学抽象.以本文中所述案例为例，复述交流，绝不是就算式谈运算过程，当学生获得数学化的运算过程后，教师应引导学生及时对运算过程进行抽象，引入“系数”“次数”“同底数幂”等数学术语进行数学化处理，不再纠纷于“2次”“3次”之类的实际数值.只有这样，概念或法则才能真正在学生列出算式、猜想过程、获得结果后走上前台，成为学习的主题.在上述片段中，无论是问题1还是问题2，笔者都强化了对运算过程的抽象处理，反复陈述“先将系数相乘，再把字母相乘”的运算流程，为的就是让“单项式乘单项式”的法则及时出现在学生的视野中.基于如此多轮次的反复陈述与及时抽象，法则的适时归纳和自然生成也就在情理之中了.

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.印冬建.精彩课堂，不容“错”过［J］.中学数学（下），2013（1）.

3.孙红.把握教材引导思维——分析初中数学“单项式乘单项式”教学［J］.数学教学通讯，2015（19）.

4.严云飞.《整式的乘法》教学案例评析［J］.中学教学参考，2016（8）.

5.褚爱华，曾美露.以问题为载体为学生创设思维和探索的空间——整式的乘法（一）教学设计与评说［J］.中学数学杂志（初中版），2008（1）.