变更预设学程，契合发展路径*——一次“意外”生成的教学感悟

☉江苏如皋市石庄镇初级中学 印冬建

在我们的日常教学中，与预设偏离的教学生成时有出现.当它们出现时，学程（即学生学习的进程）的变更在所难免.在实际教学中，如果我们能对“意外”生成进行“紧急诊断”，理清其与要学知识、已有“四基”间的关系，在互动交流中生成新知的“生长点”，然后在已有生成上继续前行，一般会取得较好的教学效果.这种对预设学程的变更，让新的学程与学生的发展方向和知识的生长方向一致，为个体的顺势发展提供了可能.本文拟结合一次教学意外的生成及处置历程，谈谈笔者的做法和思考，希望能给大家带来启示.

一、教前准备

1.内容分析.

在人教版九年级上册教材中，第二十三章第一节是图形的旋转，本节共安排了三课时的教学内容：第1课时，旋转的定义；第2课时，旋转的性质；第3课时，旋转的定义和性质的简单应用.在小学，学生对图形的旋转已经进行了较为系统的学习，他们具备了构造简单图形旋转的能力，对旋转过程中图形形状、大小的不变性有着较为深刻的认识；进入初中后，学生又先后获得了平移、轴对称等图形变换的知识，并积累了很多探索图像变换及其性质的活动经验.基于教材编排的现状和学情发展的需要，笔者将教材第1、2课时的教学内容整合在一起作为本课时的教学内容，力求通过这节课的教学，让学生获得图形的旋转的定义和性质.为吻合教材的内容与流程安排，笔者计划引导学生从实物的运动中抽象图形的旋转，并归纳出图形的旋转的定义，然后重点探索旋转的性质.为了突破旋转的性质这一难点，将会安排学生经历“作图—观察—猜想—验证”的探索历程，通过“自主、合作、探究”实现“四基”的自然生长与合理延伸.

2.学程预设.

围绕教材编排的教学内容与流程，结合本班的学情，为了更好地突破旋转的性质这一难点，笔者给本节课预设了四个环节的学程：

（1）情境引入，抽象概念.

投影实物运动的动画，师生在互动中描述“运动规则”并将实物抽象为几何图形，进而揭示本节课的学习内容——图形的旋转，让学生观察并归纳出图形旋转的定义.

（2）作图探索，归纳性质.

这一环节主要是由学生自主作图，构造出已知三角形（三角板内部的小三角形）旋转一定角度后的三角形，然后比对两个三角形并分析其旋转过程，猜想并归纳旋转的性质.

（3）应用提升，建构体系.

本环节将通过两道例题的解答交流，巩固旋转的定义及性质，使学生知晓旋转与平移、轴对称一样都是较为常见的全等变换，从而完善初中学段图形变换的知识体系.

（4）全课小结，布置作业.

分层布置与本课时高度相关的几道练习题，让学生通过解答实现课堂收获的延伸应用.

3.教学准备.

结合本节课的教材编排和教前预设，想要完成预定的教学任务，我准备了与教学内容匹配的课件、活动单和一块中间为一个含30°的内角的三角形的三角板.此外，学生还需要准备铅笔、直尺、三角板等作图工具，其中，中间为一个含30°的内角的三角形的三角板为必备学具.

二、教中比对

1.预设与生成.

教学环节 学程预设教学生成情境引入， 感知旋转问题1：下列动画中，物体在怎样运动？师生活动：教师投影图片，请学生观察并思考图中物体运动的规则.（1） （2） （3）图1学生观察动画，能较清晰地说出“物体是绕着中心（轴心）进行顺（逆）时针转动”，接下来，教师引导学生发现：如果把物体抽象为图形，刚才描述的运动就变成了图形的旋转.最后，教师呈现并板书课题：23.1图形的旋转.情境引入，抽象概念观察变换，抽象概念问题2：（1）如图2，钟面上，从3点到6点，时针是怎样转动的？（2）如图3，如果将时针抽象为线段OA，刚才的时针转动过程又可以怎样描述？师生活动：教师投影图3，演示旋转过程，交流问题2，并尝试抽象图形的旋转的定义及与之相关的概念：旋转中心、旋转角及对应点.图2 图3教师投影图2，动画演示“时针从3点转动到6点的过程”，学生顺利说出“此过程中，时针绕着表面中心顺时针旋转了90°”.接下来，教师给出图3，将时针抽象为线段OA，让学生明白“时针的转动就变成线段的转动”（也有学生认为可以是“点A绕点O的转动”），进而归纳图形的旋转的定义，并明确旋转中心、旋转角及对应点的含义.通过对图3中概念的再认识，引导学生发现“AO＝BO，即两个对应点A、B与O所连线段相等，且它们的夹角∠AOB等于本次旋转的旋转角”，通过对另一对对应点P、P′的相关结论探索，学生发现“任意一对对应点与O所连线段相等，且它们的夹角都等于这个旋转角”.自主作图，体验变换师生活动：教师描出如图4所示的三角板内部的小三角形，记为△ABC.然后，请学生将三角板绕其一个顶点O任意转动一个角度，再描出内部的小三角形，记为△A′B′C′，移开三角板，得到图5.C根据活动方案，有学生按预设直接旋转三角板，描出内部的三角形.但也有不少学生给出了不同的画法，教师请其中一名学生进行了展示.该生先用给出的三角板作出点A、B、C绕点O顺时针旋转相同度数后的对应点A′、B′、C′，如图6.最终，作出△A′B′C′，如图7.A C O A B C B A′O O A B C′A′A′C′O B′C′B′B′图4图5图6图7作图探索，归纳性质分析图形，探索性质问题3：（1）是否可以通过度量某一个角，来确定图5中的旋转角？（∠AOA′）（2）这样的角有多少个？（无数个）（3）这些角具备怎样的共性特征？（都是“对应点与旋转中心所连线段的夹角”）（4）你能归纳出这些角所具有的性质吗？（都等于旋转角）（5）这些对应点与旋转中心所连线段之间又有怎样的关系？（相等）（6）△ABC和△A′B′C′呢？（全等）师生活动：教师出示问题3，引导学生发现∠AOA′、∠BOB′等“对应点与旋转中心所连线段的夹角”等于旋转角，进而作出线段OA、OA′、OB、OB′、OC、OC′，如图7，归纳并证明三个结论：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等.在用文字语言从线段、角、图形三个维度分别归纳图7中存在的结论后，分别改变图7中的旋转中心、旋转角及三角形的形状和大小，通过课件演示让学生进一步认识到上述结论可以从特殊推广到一般.最终，在师生互动反复矫正后，明确上述结论就是旋转的性质.（1）观察图形，猜想结论.教师提问：图7中的两个三角形有怎样的关系？学生给出“全等”的结论.在得到全体学生认同后，教师板书结论（3）.（2）验证猜想，抽取结论.在验证△ABC≌△A′B′C′的过程中，教师就条件AB=A′B′的获得过程进行了深挖，让学生明白OA=OA′、OB=OB′是概念抽象时获得的“对应点与旋转中心所连线段相等”的应用，同时板书结论（1）.在对条件∠AOB=∠A′OB′的探索过程中，教师引导学生发现：在旋转过程中，∠AOA′和∠BOB′始终相等，都等于旋转角.通过对两个角的特征的反复分析，归纳并板书结论（2）.（3）结论推广，定格性质.分别改变图7中的旋转中心、旋转角及三角形的形状和大小，课件演示其旋转过程，让学生认识到上述结论可以从特殊推广到一般.最终，明确上述结论就是旋转的性质.

2.比对分析.

在“情境引入，抽象概念”环节，生成与预设基本是一致的.动画的观察与描述，让学生充分感知了旋转在实际生活中的普遍存在，让学生充分体会到了图形的旋转的数学本质.接下来，从对“钟面上，时针从3点到6点转动”的描述，到时针被抽象为线段OA，物体的旋转被彻底转变为图形的旋转.接下来的定义及相关概念的抽象，学生的活动经验和生活经验也就迅速被转变为新的数学事实.在学生获得AO＝BO及探索另一对对应点P、P′相关结论的过程中，学生对对应点的认识与学习平移、轴对称时相比又迈出了一大步，“任意一对对应点与旋转中心所连线段相等，且两条线段的夹角都等于旋转角”的性质“雏形”初步形成.

在“作图探索，归纳性质”环节，生成与预设间产生了较大的“偏差”.预设中，△A′B′C′是“描”出的，而现实中，不少学生是用“先作对应点，再画三角形”得到的.两者相比，生成的作法是旋转作图中较为规范的方法.预设中的作法简单明了，图形的获得过程十分清晰，但探究味儿不浓；实际教学中，板演学生给出的方法，是平移、轴对称作图时所积累的“先作对应点，后作三角形”经验和本节课获得的对应点知识的应用，让对应点的作图价值得到了很好的发挥.在接下来的“分析图形，探索性质”中，作图方法与预期产生偏差，使得教师不得不迅速调整教学问题，原本沿着“线段—角—三角形”展开的“线型”探索，转变为“三角形—线段、角”的“包容”型探索，即由“图7中的两个三角形有怎样的关系”引出△ABC≌△A′B′C′，在追问全等的条件时，引导学生发现并归纳“线段、角”的结论，预设中细碎的问题被融入三角形全等追究的过程中，问题解决与性质归纳实现了完美融合.至于结论推广，生成与预设是一致的，在旋转要素的变化下，猜想得出的结论被迅速一般化，性质也就自此生成.

三、教后反思

1.“意外”的生成缘由.

（1）新学知识的自然应用.

本节课上，在得出△A′B′C′前，学生已经获得不少图形旋转的知识.其中，通过对时针的抽象，学生准确地获得了“线段的旋转”或“点的旋转”所产生的线段之间、角之间的关系：两个对应点A、B与O所连线段相等，且它们的夹角∠AOB等于本次旋转的旋转角.随着这两个结论向另一对对应点P、P′的有效迁移，对应点知识的迁移障碍被彻底扫清，学生在作图中想到它并用好它也就不奇怪了.

（2）基本经验的自然延续.

在学习平移和轴对称这两种图形变换时，作三角形、四边形等直线型图形的平移或轴对称变换，学生一直是按照“先作对应点，再连线成图”的思路进行的.由于对这一思路的反复巩固和长期应用，它已经成为了学生图形变换知识体系中的基本经验，牢牢地扎根于其认知网络中.本节课上，当作图要求提出后，这一经验便被学生迅速从知识网络中提取出来，并与新学的两个知识快速叠合，应用并生成“意外”作法也就不意外了.

（3）个体思维的主动突破.

任何一次“意外”生成的出现，一定会有学生个体创新思维的参与.只有当学生开始追求异样解法时，其思维的爆发力才会凸显出来.也只有在这种状态下，一些异于常规的解法才会走进课堂，进入到教师与学生的视野之中，为课堂教学锦上添花.当然，只有当学生思维发展、知识积聚和能力提升到达一定的高度后，这样的主动突破才能成为教学现实.因而，我们不应也不能期盼这样的思维突破在每节课中都出现.

2.几点教学启示.

（1）尊重意外生成，共享思维成果.

意外生成是基于学生已有知识与经验之上的合理产物，是学生经过深思熟虑后的思维成果.虽然意外生成可能偏离了教师的教学预期，可能会给我们的教学带来较大的波动，甚至会影响到预设教学进程的推进，但我们绝不能因为它对教学可能产生的干扰，而无视其存在，不闻不问，直接将学生的思维强拉硬拽回教前预定的轨道上来.笔者认为，教师应当尊重并用好这些意外生成，使其很好地服务于师生的课堂教学.这种尊重，主要表现为对出错学生的包容和对异常成果的应用.也就是当“意外”出现时，我们首先要做的不是否定学生，而是给予学生的探索以积极的评价，然后努力从学生的角度来找寻成果及其获得过程的闪光点，并敏锐地捕捉或建构出新知的生长点.显然，整个教学进程，教师应始终以欣赏的眼光来看待并处理学生的这些“意外”成果，并努力让每名课堂教学参与者从中收益.笔者认为，这种对学生学习成果的尊重，让“异样”成果的教学价值得以全盘发挥，能最大限度地保持学生学习数学的热情，为其数学素养的有效提升保驾护航.对于“意外”制造者来说，对其“成果”的尊重无疑是一种肯定和鼓励，其学习数学的兴趣和信心也必将得以继续保持，在成果的分析与经验的共享过程中，教师的反复追问同时能将其潜能挖掘出来，让他们在“知其然，且知其所以然”的道路上越走越远；对于其他学生来说，不管对意外生成的态度是赞同还是反对，都需要个体思维的积极参与，而此间最为重要的是他们对意外发生后教师态度的真切感知，这将会对他们后续的学习产生深远而积极的影响；对教师而言，“意外”来袭，积极应对将会全方位调动教师的教学思维，这种教学经历的反复体验必然会提升教师的课堂应变能力和意外处置能力.

（2）剖析意外生成，挖掘教学价值.

“意外”生成，不管对错，因为其偏离了教者的预设轨道，所以，一旦出现就会干扰课堂教学的进程.为了减小其对教学的影响，给学生营造出宽松、和谐的学习氛围，当意外发生后，我们一般应先给予积极的评价，然后迅速分析这些“意外”生成的教学价值.如果价值不大，给出一个正向评价，表扬到位一点，矫正深刻一点，迅速发挥其教学效益即可；如果发现价值较大，教师就应“借机生事”，将意外“做大做强”，结合已有知识和将学知识进行价值深挖，在“意外”中找寻新知的生长点，打造价值的增长点.以本文中的案例为例，意外发生后，教师迅速对学生的作图方法进行了价值分析，在对已有知识的分析中，发现：“学习平移、轴对称等变换时，积累的对应点的知识及其相关作图经验”是学生给出作法的知识基础和经验铺垫，而这一切同样是本节课继续探索新知的基础，此外，如果不是本节课上概念抽象时对对应点的深度认知，出现这一意外的可能性是很小的.所以，本节课应沿着对应点的认知展开进一步的教学，通过对学生所认同的“旋转前、后的两个图形全等”的追问，将“对应点与旋转中心所连线段相等”和“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”嵌入到△ABC≌△A′B′C′的全等条件的剖析中，择机引导，相机总结.从实际教学成效看，这样的学程变更显然是成功的，学生在获得这些知识的同时，对数学结论的获得过程有了完整的感知，尤其对结论证明的“步步有理”有了更为深刻的认知，这对其后续的数学学习无疑是大有益处的.关于意外生成的教学价值分析，笔者认为能够作出迅速判断并调整教学进程的教师不少，但如何做才能“在不动声色中调整到位，达成教学效益的最大化”，这对教师的个人素养有着极高的要求.首先，教师应具有较为丰富的学科知识，能及时对学生的学习成果作出准确判断，此外，教师还应具备强大的现场分析与处置能力，尤其是既想让意外生成者感到舒服，又能让全体学生坦然应用交流，没有强大的应变能力估计是很难做到的.

（3）强化互动交流，把握教学契机.

既然是“意外”，就必定是异乎寻常的，其出现也就一定与学生已有知识经验和良好思维品质是紧密关联的.为了让学生的知识经验继续充实，让其思维不断优化，我们就应努力从这些“意料之外”中找寻并应用于“预计之中”.那么，面对这些意外，我们究竟该如何下手呢？笔者认为，意外出现后，就算是一线的教学“老手”，生成与预设的差异也会让他们感到些许恐慌.待到镇定下来，很多教师都会随口追问诸如“为什么”或“你是怎么想到的”.这样的随意追问，有时或许能引出接下来的探索，但更多的时候会因为问题的过于宽泛而导致无果而终，这显然不是教师想看到的.笔者认为，突破此困境最有效的办法，是教师所进行的追问必须使用精心设计的问题组，这些问题之间应具有明显的梯度和清晰的指向.但由于意外生成在瞬间，其应对策略也就必须在很短的时间内形成，这就导致教师对意外的剖析未必能全面、到位.显然，在追问实施过程中，教师还应根据学生的作答对提问的方向进行必要的调整，以确保新知生成的每一契机都为教师所把握并为教学所用.还是回到上面的案例，教者原本为图7设计了6个小的问题，但由于出现了与预期作法不一样的作图方法，在稍作思量后便将教学问题变更为“图7中的两个三角形有怎样的关系”，随后的探索就围绕着“这两个三角形为什么全等”“OA为什么等于OA′”“∠AOB=∠A′OB′是怎么得到的”等一系列问题展开，这些问题指向的是图形旋转的性质，其获得的过程由原来的“点→线段→角→图形”四级变更为“图形→点、线段、角”的两级.教师的每一次追问，都是学生思维向教学目标迈进的一个台阶，一问一答中，知识生成，能力提升，素养发展，意外教学步入意料行列，“学为教用，教为学用”的教学合一的境界就此真正实现.

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

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3.林群.义务教育教科书·数学（九年级上册）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

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5.印冬建.基于系统观的新授教学——以人教版“18.1平行四边形（第1课时）”为例［J］.中学数学（下），2017（3）.

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