基于培养学生逻辑思维能力的课例——以（沪科版）九年级（上）23.1锐角的三角函数教学为例

☉安徽省淮北市杜集区教育局教研室 朱启州

☉安徽省淮北市杜集区实验初级中学 李 丽

本文大胆尝试在半径为1的圆内定义锐角三角函数，意在突出三角函数的几何意义，突出数学核心思想方法——数形结合法，引导和启发教师研究教村，基于核心素养进行教学.

现有教材大都以相似三角形为基础，建立锐角三角函数的概念，教学中的难点是让学生理解三角函数值只与角的大小有关，与角所在的三角形的大小无关.突破这一难点，常常需要花费较大的精力.为此，笔者大胆尝试在半径为1的圆内定义锐角三角函数，从而绕过教学难点，又继承了现有教材锐角三角函数知识体系，拓展了学生的思维空间.下面是笔者在这方面的一点实践探索，供读者参考.

一、利用半径为1的圆定义锐角三角函数的教学课例与点评

1.创设情境，激趣引新

问题1：汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一，汽车的爬坡能力是指汽车在通常情况下满载时所能爬越的最大坡度.怎样描述坡面的倾斜程度呢？

师：如图1和图2，直线a是水平线，A1B1、A2B2分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎样想的？

图1

图2

生1：图2中的坡面A2B2更陡，因为它与水平面的夹角更大.

师：准确地说，坡面与水平面所夹的锐角越大，坡面越陡，我们把这个角称为坡角.还有哪些不同的方法，能说明后者更陡吗？

生2：在坡面上走相同的路程，升的越高坡面越陡.

师：好的，在生活中，我们都这样认为.谁能用数学语言，把意思表达清楚吗？

生3：如图3和图4，分别在A1B1、A2B2上取C1、C2，使A1C1=A2C2，作垂线段C1D1、C2D2，有C1D1

图3

图4

点评：这是沪科版教材中的一个引例，此例来自于生活，为学生熟悉并且与本课教学联系密切.这种从日常生活中衡量坡面陡峭程度的问题出发，经过数学化将问题转化为数学问题，再借助数学的方法去解决问题.这种“用数学的眼光观察问题，用数学的思维去发现问题，用数学的方法去处理问题”就是数学理性.

2.自然探究，由然而生

师：（追问）为什么要在坡面上取C1、C2？

生4：若是土坡，你能到地下的水平线上取点吗？（理直气壮）

师：值得肯定的是，这位同学还考虑到实际情况.也就是说，如果就是一面内的两个角，还是可以的，对吗？（学生都认可这个说法）

师：A1C1=A2C2都取1个单位长，行吗？

生：当然可以.（有部分学生只是默认）

师：那老师再将两个角叠在一起，顶点与始边（始边在水平线上）重合，如图5，以A为圆心，单位1为半径画圆，分别交两角的终边于C1、C2，C1D1、C2D2分别是到水平线的垂线段，同学们观察图形，有什么发现？

点评：我们常常想，这一点是学生的真实想法吗？是自然生成的吗？这一点是不容置疑的，因为为了比较哪个坡更陡，只要比较在坡面上移动相同的距离时，上升的高度越高的坡越陡，于是用在坡面上移动一个单位的距离时最为方便.上述念头就会由然而生.

生5：我发现C1D1

生6：我发现线段C1D1、C2D2的大小与坡角一样，也能表示坡面的陡缓程度.

生7：我发现一个锐角只能画出图中的一条垂线段.

生8：我发现一个锐角与图中的垂线段是一一对应的.

图5

图6

师：大家观察的真仔细，表达得也很好.如图6，在半径为1的圆中，锐角α始边为ON，终边与圆只有一个交点P，垂线段MP对角α而言是唯一的，对吧.所以我们把垂线段MP的长度叫角α的正弦，记作：sinα=MP.

把线段OM的长度叫角α的余弦，记作：cosα=OM.

点评：引入中教师将引例中的两个角叠合在一起，从而让两个不相关联的图形产生了联系，图形由静态变为动态，有效引导学生进行数学推断和理解三角函数的几何意义.数学作为人类文化的一部分，它的知识、方法、思想、语言、精神等，是人类理性思维的根.

3.巩固练习，升华认识

问题2：利用半径为1的圆，求30°角的正弦、余弦值.

师：5位同学到黑板前板演，其余同学在纸面上完成.

师：请5位同学分别给板演的5位同学批阅，并给出评价.然后将其中一位同学的解答用实物投影仪展示在屏幕上.

图7

解：如图7，在Rt△OMP中，∠POM=30°，OP=1，则由勾股定理，可得OM

问题3：一个15°的角，在放大100倍的放大镜下看，它的正弦、余弦、正切值会变吗？为什么？

生1：可能会变，因为放大后这个角就不是15°.

生2：不会变，因为放大后的图形与原图形相似，所以这个角还是15°.

师：一个说会变，一个说不会变，老师认为说的都在理，那该听谁的呢？

生3：不会变，画图就知道了，就当黑板上角α就是15°，放大后只是边画长了，角不会变，PM、OM、NQ都只有一个，所以它的正弦、余弦值不会变.

师：说的太好了！刚才谁说的会变，你来反驳几句.

生1：是我错了，当时我没想清楚，心想一放大，角说不定会怎样变.

师：数学是最讲诚信的，真理会越辩越明.

点评：练习的重要目的是为了诊断与反馈，进而进行必要的矫正与深化，达到“生饭做熟，熟饭做透”的目的.令人意想不到的是学生的作为溢出教师的教学预设，这就是宝贵课堂生成资源，教师因势利导地让学生争辩，潜移默化地进行了社会主义核心价值观的教育.

4.引伸拓展，出井观天

师：对锐角α，如图8，sinα=MP，cosα=OM.

通过观察，你能发现锐角α的三角函数哪些结论？并简单说明理由.

生1：很显然sinα、cosα都是正数.

图8

生2：我发现0

生3：我发现1OP，于是sinα+cosα>1；而sinα+cosα<2是显然的.

生4：我发现sin2α+cos2α=1，在Rt△OMP中，OM2+MP2=OP2，而OP=1，所以sin2α+cos2α=1.

师：同学们真能干，发现这么多结论，这些都是同角三角函数关系.

师：如果锐角α逐渐增大，那么sinα、cosα、tanα是怎样变化的？

生5：sinα随锐角α的增大而增大；cosα随锐角α的增大而减小.至于为什么，观察图形是一目了然的.

师：同学们观察的真仔细，有些连老师都没想到，你们真了不起.

点评：从三角函数的几何意义出发，借助数形结合，很容易理解锐角三角函数的一些重要性质，更进一步理解三角函数的意义，这种注重精确、定量、逻辑推理的思维方式就是数学理性.

师：时间过得真快，又到快下课的时间了.想一想，这节课你学到了什么？有哪些感受？你们还有什么疑问或没明白的地方，大胆说出来.

生1：我知道锐角的正弦、余弦意义，了解到它们的一些性质，会计算一些特殊角的正弦、余弦值等.

生2：我知道斜坡的锐角的正弦、余弦与坡角一样，也能反映坡面的陡缓程度；还知道锐角的正弦、余弦值只与角的大小有关.

生3：课前我依课本预习过，不是这样说的，但都是殊途同归，这节课让我长见识了.

师：真是一个爱学习的好孩子，预习是一个好习惯.还有哪些同学也预习了？（30多位同学都举起了手）

师：大家谈的都很实际，说明我们都是有思想的人.老师想让大家课后把本课所学的知识用思维导图的形式表达出来，好吗？看谁画的更清晰、明了、有价值.

点评：数学应用环节，教师充分发挥学生的主动性，引导学生自主思考、充分交流、充分发表见解，教师充分发挥引领作用，将师生之间的合作这一宝贵资源用到极致，学生在思想交流与碰撞中收获自信与快乐，学生脸上洋溢着成功的喜悦.

二、结束语

有诗云：“好雨知时节，当春乃发生.随风潜入夜，润物细无声.”教师通过情境的创设，诱发学生思考冲动，在生生、师生交流中激发出智慧火花，在教师的引领下，通过学生积极运用数学工具进行理性思考，在思考中学生不断获得新的认识，新的学习成果，这就是真实的数学课堂.话又说回来，不是每节课都能实现同样的结果，也许下节课面对不一样的学生，不会产生要借助单位圆定义三角函数，而会产生不一样的念头，不得而知.正所谓：一生一世界，一课一乾坤.

1.吴之季，苏淳.义务教育教科书·数学（九年级上册）［J］.上海：上海科学技术出版社，2012.

2.崔群，孙朝仁.初中数学实验实物类工具开发的基本原则［J］.中学数学（下），2015（9）.

3.朱启州.一堂数学“翻转”复习课引发的思考［J］.中学数学（下），2015（9）.H