分类讨论法在初中几何教学中的运用

2018-02-23孙政顾静

新作文(教育教学研究) 2018年11期

孙政顾静

(泗洪县洪翔中学江苏泗洪 223900)

在初中数学中,几何图形变化的教学主要指的是引导学生利用图形直观性对轴对称、平移、旋转、投影、相似等图形基本性质进行探索,在初中数学教学阶段,其涉及的几何图形变换均为初等几何变换范畴,主要是依照某种法则变化以及规律变化,将一几何图形变化为另一几何图形的过程,初等几何变换主要为相似变换、全等变换以及反演变换。初等几何变换的具体应用为图形的变化,而图形变化基础为初等几何变换,二者具有相互作用,是初中数学几何图形教学中不能缺少的重要组成部分。

一、分类讨论法的内涵

分类讨论法主要指的是在分类之后开展讨论工作,在学生遇到较为复杂的问题时,如果不能直接得出问题答案,那么需要依照某一标准对研究对象进行分类,之后进行逐类讨论工作,最后综合讨论结果,以得出正确的解题方法。在数学问题解决过程中,分类讨论法是重要基本方法,对此方法进行合理掌握,可以有效提升学生数学素养,让学生创新意识与思维方式得到拓展。在初中数学几何图形变化问题的解决过程中,图形分类讨论是一种十分重要且灵活的解题方法,其关键思路是明确讨论原因及讨论方法,保持一个清晰的思路,保证答题条理的清晰性,答题过程的严密性。

二、分类讨论法的基本原则

在几何图形变化数学问题的解决过程中,在应用分类讨论法时,需要遵循四项主要原则：(1)完整性原则。在应用分类讨论方法时,需要保证分类完整性,不能漏掉几何图形划分中的任何一种类型,以为几何图形变化问题的完整解答奠定基础。(2)同一性原则。应用分类讨论法时需要保证分类的同一确定标准,如果采用不同标准进行分类,就有可能产生混乱分类现象,对于题目解答造成不利影响。(3)逐级性原则。在初中数学几何图形变化题目的分类讨论、解决中,需要严格遵循逐级性原则,在数学问题中,部分简单题目通过一次性分类就可以对其进行解决,而对于复杂数学问题来说,只有对其进行多次分类才能完成解答工作,在分类时,首先需要完成初步简单分类,然后需要再次分类初步分类后的各个子项,直到可以满足题目解答要求。(4)互斥性原则。在对初中数学几何图形变化题目进行分类完成后,需要进行检查,保证每个分类项目之间具有互相独立性,避免分类项目之间存在互相重叠部分,避免分类项目之间存在一项目包含另一项目的问题。

三、基于几何图形变化分类的教学示例

(一)圆心距问题。圆心距指的是两圆圆心的距离,在初中数学教学内容中,利用圆心距的计算可以判断两圆的位置状态,如相交、内切、内含、外切、外离。在圆心距问题教学中,需要让学生明确几何图形分类中的重要意义及初步分类方法。

题目：现已知存在两个大小不同的圆形,其半径分别为6c m、9c m,如果这两个圆形为相切状态,请求出圆心距。

学生结合所学知识进行计算,可以得出内切为0c m,其外切为15c m。之后笔者向学生提出问题：“为什么会有两种结果存在?”学生回答道：“图形的位置具有不确定性,不能确定两个圆形为内切状态还是外切状态。”“那为什么需要分类几何图形?”学生通过思考回答道：“因为几何图形形状与位置具有不唯一确定性。”在该圆心距问题的教学过程中,因为几何图形形状与位置的不唯一确定性,其存在两个结果,通过对该几何图形进行分析研究,可以让学生更为明确几何图形分类原因,可以让学生学会几何图形初步分类方法。

(二)三角形周长问题。在初中数学“三角形”相关知识的教学中,三角形周长问题占有重要地位,在三角形周长问题中,求等腰三角形周长的问题较为常见,利用分类讨论法时需要紧密结合等腰三角形的特殊性质。在实际教学中,需要帮助学生突破以往固定思维,做到综合考虑问题。

题目：现已知一三角形为等腰三角形,其两条边长分别是3c m与5c m,那么请求出该等腰三角形的周长。

学生通过计算,可以得出该三角形周长问题结果为11c m或13c m。之后笔者可以提出问题：“为什么会有两个答案存在?”学生经过思考,回答道：“因为此等腰三角形两条长度相同的腰长没有得到确认,可能有两条3c m的边长,也有可能有两条5c m的边长。因此会出现不同的周长结果。”进而,笔者下达结论,即因为三角形三条边的边长并没有得到确定,存在不同可能时三角形周长、形状大小也会存在不同。对此问题进行拓展,即“如果依然为等腰三角形,其边长分别为2c m与5c m,那么请求出该等腰三角形的周长。”在提出此问题后,笔者发现有部分学生依然认为有两个答案,即9c m和12c m,出现了错误。在过去的教学中,笔者发现很多学生都会利用自身固定思维来解决三角形周长问题,但是对于等腰三角形来说,在边长没有明确指向的条件下,其结果包含不只一种情况,需要进行全面考虑。而对于拓展问题来说,部分学生认为其相同长度边长可能为2c m或5c m,但如果为2c m,那么因为2＋2＜5,就不能符合三角形基本规律要求。因此,该等腰三角形等边边长长度为5c m,周长只能为12c m。