基于数学核心素养发展观的教学设计

张弟

【摘要】 课程标准明确要求在学习和应用数学的过程中，发展学生数学抽象、逻辑推理等六大核心素养.本文拟以“等差数列的前n项和”为例，阐述在核心素养发展观下的教学设计.

【关键词】 核心素养;教学设计;等差数列;前n项和

课程标准在课程目标中明确了“应发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养.”这就需要教师把平时教学与核心素养的发展结合在一起，在高中数学教学中应注重学科特点，积极为学生创设问题情境，让学生的数学核心素养得到发展.

一、内容解析

本节内容是江苏版高中数学必修5第2章第3节.教学中要求学生掌握等差数列前n项和的公式以及推导的思想方法.教师可借助问题情境让学生进行探究活动，由特殊到一般，让学生在问题解决的过程中体会“倒序相加法”的求和方法.

二、学生情况

通过上一节学习，学生知识经验较为丰富（等差数列的概念、通项公式及性质等），具备一定的分析和推理能力.但第一次接触数列的求和，缺乏相关经验.在授课时，教师可注重从历史故事、生活实例入手，创设符合学生认知基础和学习特点的情境，激发学习兴趣.

三、教学过程

（一）复习、提出问题

复习  等差数列的通项公式和一个重要的下标和性质.

情境1  一个数学故事（PPT展示高斯求解1+2+…+  100= ？的故事）

问题1  你知道高斯是怎么快速算出的吗？

高斯算法的妙处在于将这100个数分成50组，每组数的和都是101，50个101是5050，将加法问题转化为乘法运算，迅速得到了结果.

本节课我们来研究等差数列的前n项和的问题.数列{a n}的前n项和常用S n表示，即S n=a 1+a 2+a  3 +…+a n.

情境2  一个生活实例：某仓库堆放一堆钢管，最上面一层有1根，下面的每一层比上一层多1根，最下面一层有9根，求这堆钢管的总数.

问题2  如何求1+2+…+9=？

生1：45，一个加一个.连加算.

生2：借鉴高斯的算法，把1与9配对，2与8配对，…，剩下一个5，4个10加上5等于45.

我们发现借鉴高斯的这种“首尾配对”的算法对偶数项的数列很好用，但对于奇数项的数列就不方便，奇数个数相加时，首尾两两配对，会发现有1项被“冷落”了.是否有简单的方法避免对项数奇偶性的討论？

（二）探究、解决问题

生3：这个钢管堆起来是三角形状，若在旁边倒着放同样的一堆钢管，则它与原图补成平行四边形.这样每层的钢管数都为10，共9层，则钢管总数是90的一半，45.

这种方法很奇妙，不需要考虑项数的奇偶性就可以求和.用数学式子表示：S  9 =1+2+3+…+9，S  9 =9+8+7+…+1.两式对齐相加，得2S  9 =10×9，S  9 =45，这就是数列求和的一个重要方法——“倒序相加法”.

问题3  如何求1+2+…+n=？（由问题2的特殊情形一般化.

生4：将上述各项的顺序倒过来写，再两式相加.）

问题4  更一般地，如何求等差数列{a n}的前n项的和S n=a 1+a 2+a  3 +…+a n？

生5：将上式右边各项的次序倒过来书写，再两式相加，2S n=（a 1+a n）+（a 2+a  n-1 ）+…+（a 2+a  n-1 ）+（a 1+a n），运用等差数列的下标和性质a 1+a n=a 2+a  n-1 =…得到S n=n a 1+a n 2 . （1）

公式（1）可联想到梯形面积公式来帮助记忆.

问题5  等差数列前n项和还有其他表达形式吗？

生6：将通项公式a n=a 1+（n-1）d代入（1），得到S n=na 1+ n（n-1）d 2 . （2）

问题6  已知等差数列前n项和公式的两种形式，那么在求等差数列前n项和时，该选用哪个公式呢？

生7：若已知等差数列的首项a 1，项数为n，第n项a n，则用公式（1）;若已知首项a 1，项数为n，公差d，则用公式（2）.

例1   已知等差数列{a n}.

（1）已知a 1=3，a  50 =101，求S  50 .（2）已知a 1=3，d= 1 2 ，求S  10.

例2   已知等差数列{a n}，d= 1 2 ，a n= 3 2 ，S n=- 15 2 ，求a 1及n.

例3   已知等差数列{a n}，第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和.

（三）感悟、再生问题

问题7  观察例3的结果，有什么发现吗？

（1）从例题的结果出发，引导学生观察：310，910，1510是什么数列？（等差数列）

（2）一般地，如果等差数列{a n}的前n项和为S n，那么S  10 ，S  20 -S  10 ，S  30 -S  20 是否成等差数列？（是）

（3）有更一般的结论吗？

（四）课堂小结（主要由学生完成）

从知识、方法、思想和应用层面来回顾.

四、认识与思考

1.为了让学生更好地掌握等差数列的前n项和的公式的推导，一借助有趣的历史故事引入，激发学生学习兴趣;二利用刚学过的等差数列的下标和性质直接推导S n的公式，让公式的推导一气呵成.

2.数学课堂应该是以数学知识为载体的数学思想方法的感悟.教师根据学生情况创设一个再创造过程，选取契合学生认知基础和学习特点的问题情境，让学生主动参与探究并体会其中蕴含的数学思想和方法，逐步形成对数学学科核心素养的培养.