问题引导到位 课堂生成精彩——“变量与函数”课例点评

（人民教育出版社）

在中国教育学会举行的2018年会员开放日活动中，中学数学教学专业委员会承办了初中数学课堂教学观摩与交流活动，来自全国的一千多名代表参与了活动，取得了非常好的效果.活动中展示了4节课，在课堂教学展示后，笔者点评了“变量与函数”一课.本文是在现场点评基础上整理出的书面点评稿，增加了一些内容，与教学设计及课后反思一起发表，希望得到大家的批评指正.

一、有关理论基础

1.核心素养的落实途径

我们知道，发展学生的数学学科核心素养是立德树人根本任务在数学课程中的具体化.当前和今后的一个时期内，数学教改研究的主要任务就是要探究如何把数学学科核心素养融入到日常教学中.

在新近颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准（2017年版）》）中提出，数学学科核心素养是通过数学学习而逐步形成的具有数学特征的关键能力、必备品格与价值观念，它包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大要素，事实上，这是具有数学特征的六个关键能力.《标准（2017年版）》认为，数学学科核心素养主要表现为“三用”，即会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.

如何才能在教学中落实好数学学科核心素养呢？笔者认为，其中的关键是要结合相应的教学内容，在落实“四基”、培养“四能”的过程中，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.要把握好教学内容的整体性、系统性和完整性，以研究一个数学对象的“基本套路”为依据，以“事实—概念（内涵）—性质（关系）—结构（联系）—应用”为教学主线，强化内容所反映的数学思想方法的教学，从而显化“事实—方法—方法论—数学学科本质观”的数学育人过程，把数学学科核心素养落实到位.

为什么要强调这样的教学主线呢？从思维过程、基本思想，以及数学学科核心素养相互关联的观点出发，“事实—概念”的教学中，学生主要是在经历数学抽象、直观想象等过程，即通过对典型、丰富的具体实例属性的分析，归纳共同属性，抽象本质属性，再概括到同类事物中去而形成数学概念.这一过程中需要加强“概念的抽象要做哪些事”“如何用数学的眼光看待事物的属性”“如何抽象”和“如何概括”等的思考；“概念—性质”的教学主要是从概念出发，通过逻辑推理、数学运算等发现和证明数学结论，包括通过归纳推理发现、再通过（逻辑）演绎推理证明，这个过程集中体现了用数学的思维思考世界；在“性质—结构”的教学中，学生要经历数学抽象、逻辑推理等过程，建立相关知识之间的联系，进而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构；而在“概念—性质—结构—应用”的过程中，要进行数据分析、数学建模活动，是用数学知识解决内外问题的过程.因此，强调上述教学主线对于落实数学学科核心素养具有重要意义.

2.关于概念教学

从上述教学主线可见，概念教学处于基础地位.根据概念学习理论，概念的获得有两种基本方式，即概念形成和概念同化.笔者认为，中学生在获得数学概念的过程中，两种方式是融合在一起的，据此可以得出如下概念教学的基本环节.

（1）创设问题情境，即提供典型而丰富的具体实例，给出学习任务.

（2）概念的抽象，即通过对具体实例属性的分析、比较、综合，归纳事物的共同属性，抽象本质属性.

（3）下定义，即概括出这类事物的本质属性，得到概念的全部内涵，并用准确、精炼的数学语言加以描述，用数学符号进行表示.

（4）概念的辨析，即以具体实例（正例、反例）为载体分析概念关键词的含义，更准确地把握概念的内涵.

（5）概念的初步应用，即通过解决简单问题，形成用概念做判断的具体步骤.

（6）概念的“精致”，即通过建立与相关概念的联系，形成“概念网络”.

上述概念教学环节体现了数学概念的产生过程，学生可以经历到完整的观察、想象、比较、归纳、抽象、概括等思维活动，数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养的发展都可以渗透其中.

3.关于函数概念的教学

由上述概念教学理论可知，函数一般概念的教学，在精选具体实例的基础上，重点是要引导学生通过对运动变化过程的分析，归纳变量之间对应关系的共同特征，抽象概括出函数概念；在对具体实例特性进行分析的基础上，从不同实例的特性中发现和归纳共性，从共性中抽象出函数概念的本质特征，再用精确的数学语言刻画函数概念，这是教学难点.所以，函数概念的教学要解决以下关键性的教学问题.

（1）这是一个运动变化过程吗？

（2）其中涉及哪些量？哪些是变量？

（3）两个变量之间具有怎样的关系？（x确定后，y是否唯一确定？）

为了突出重点，化解难点，教师应依据概念教学的基本要求，围绕抽象函数概念的关键问题，选择学生熟悉的现实问题，设计恰当的教学情境.因为学生独立得出函数概念的本质属性，并给出数学语言描述存在较大困难，所以可以在明确的问题引导下，由教师先做启发式讲解，带领学生分析具体实例中变量之间对应关系的特征，然后再逐步放开，通过系列活动，让学生展开独立思考、自主探究、合作交流等，归纳共性，抽象本质属性，概括出函数概念.

二、对“变量与函数”一课的点评

1．问题+启发式讲解

“变量与函数”一课，从教学设计到课堂实践都是符合上述要求的.

在课前检测了解学生对常量、变量概念的掌握情况后，执教教师给出匀速运动的问题情境（例1），并提出问题1.

问题1：这个问题中有哪些量？路程、速度、时间有什么关系？谁是变量？这两个变量之间是什么关系？

再通过两个追问，把学生的注意力引导到“两个变量具有怎样的对应关系”的思考上.通过学生回答、师生互动形成对对应关系的直接体验，然后执教教师给出具有一定规范性的描述：s随t的变化而变化；t取任意一个值，s的值唯一确定.

这个问题的教学以“问题+启发式讲解”的形式展开，这里的问题聚焦在函数概念的内涵，是有结构的，有利于学生进行变量之间关系的归纳，无形中渗透了对学生数学抽象素养的培养.

接着，教师给出例2.这个问题情境的设计是有考虑的，用表格表示两个变量之间的对应关系，这是一个函数，但没有解析式，它有利于破除学生对对应关系的一些不准确的认识.例如，许多学生认为函数都是有解析式的，不同的自变量对应的函数值也不同，等等.在函数概念形成之初，执教教师就注意利用不同例子，消除学生对概念本质的误解，这是非常好的做法.

给出问题情境后，教师提出如下问题及追问.

问题2：这是一个变化的过程吗？在这个变化过程中包含哪些量？哪些是变量？

追问：这个问题没有给两个变量之间的关系式，你还能看出两个变量之间的关系吗？刚才描述的两条结论还成立吗？

这里的问题继续聚焦在函数内涵的分析上，并增加追问：在这个变化过程中，两个变量之间的关系如何描述？教师放手让学生独立思考、小组交流，在此基础上进行全班交流.课堂中，学生的回答反映了他们对表格呈现的对应关系的真实理解.

生1：x-40=y，由x可以得到y的值.

生2：关系式不对，例如，由表格可知，当x=60时，y=6 000，而不是等于20.

生3：不同的x可以有相同的y值，例如，当x=63和67时，对应的y值都等于6 210.

执教教师继续追问：一个x是否对应了唯一确定的一个y值呢？

生4：售价确定，就有一个利润值，没有多余的.

上述回答中，生1不仅没有理解题意，而且也说明部分学生潜意识中认为对应关系必须用解析式表示；生3看到了不同的x有可能对应相同的y，教师通过追问把学生的思路引导到函数关系的本质特征上；而生4的回答是对“x确定，y就唯一确定”的理解，“没有多余的”就是“唯一”的.

通过上述过程，比较好地实现了教学设计意图，即明确研究变化过程中变量之间关系的思路，能够模仿描述两个变量间的对应关系．

2.定向探究，抽象函数概念

接着，教师安排了“活动1”，并要求结合三个实例思考和讨论如下问题：在不同的变化过程中有哪些是变量？每个问题中的变量之间是否具有相同的关系？如果有，这个相同的关系是什么？

可以看到，这里提出的问题一如既往地聚焦在函数概念本质特征上，引导学生展开“有结构的探究活动”，这是一种定向探究.教师提出的问题具有开放性，要求学生进行共性归纳，并给予学生充分的时间思考.在学生进行小组讨论的过程中，教师走到学生中间参与讨论，及时了解学生的学习进程，并从中选择有代表性的回答进行全班交流.

学生通过探究和交流，给出了非常精彩的回答.

生5：第（1）（2）题能列出关系式；第（3）题中，温度和时间没有关系，温度是受其他因素影响的.

师：你从影响气温的物理因素考虑，得出“温度与时间没有关系”的结论是对的.但这里要考虑的关系是温度是不是随时间的变化而变化？在一个确定的时刻，t是否有唯一的温度值？

生5：是.

生6：当时间t确定时，温度是唯一确定的.

师：如何确定？

生6：在x轴上取一个点，作x轴的垂线，可以得到唯一的温度.

生7：这三个实际问题有一个共同点，它们都是一个变化过程，一个变量随着另一个变量的变化而变化，一个量定了另一个也定了.

生8：时间不同时，温度可能一样.

……

在学生讨论的基础上，教师进一步提出问题：每个问题中的变量之间是否具有相同的关系？归纳上述这些具体问题的共性，就可以得到一个非常重要的数学概念——函数．你能说说归纳的结果吗？

生9：变化过程中，其中一个有确定值时，它是自己变的，这个可以叫做自变量；另一个是随着变化的变量，这个就应该是函数了.

上述活动中，学生对“变化过程”“变量之间的关系”“一个量随另一个量的变化而变化的特征”等的理解都得到了充分的展示.其中有的不太全面，有的出现了偏差，而生9给出的朴实说法，表明他对函数本质特征的理解已经很到位了.无论如何，通过活动1，学生的思维得到了充分暴露，为抽象概括函数概念奠定了坚实的基础.这时教师给出定义就自然而然、水到渠成了.可以相信，在这个活动中，学生对于如何分析具体实例、如何归纳共性、如何抽象本质特征等都能形成体验，这是培养学生学会“三用”的过程.

3.概念辨析，深化认识关键词

在给出函数概念后，教师安排了概念辨析的过程，围绕如何判断一个变化过程中变量的对应关系是不是函数，设计了三个小环节.

环节1，通过实例，总结判断一个对应关系是否为函数的3个步骤.

环节2，通过反例，引导学生关注关键词“任意”“唯一确定”的含义.

环节3，让学生列举生活中与函数相关的实例，学生的举例很贴切.例如，坐地铁的次数与总钱数的关系，学号和身高的关系，等等.

通过这一过程，学生进一步熟悉了函数概念中变量之间的关系，明确“唯一确定”的具体涵义.

4.关于课堂小结

当前的课堂教学中，“通过本节课的学习，你有哪些收获？”之类的不着边际的问题非常流行，课堂小结走过场的现象很普遍，而本节课的小结，所提出的问题则不同，内涵比较丰富.教师通过五个问题，不仅引导学生回顾本节课所学的知识，更关注了内容所反映的思想方法，以及如何展开思考，其中包括如何分析具体实例、如何归纳共性、如何抽象本质特征，等等，并提出“说一说接下来你想继续研究函数的哪些内容？从什么角度进行研究？”的问题.学生给出了如下非常好的回答.

生10：我想按照从一般到特殊的思路，研究一些具体的函数.

生11：我想研究函数的各种表示方法之间的关系.

生12：我想看看函数的实际应用.

……

这样的小结是过程与结果相结合的，注重了数学基本思想、基本活动经验的落实.同时，也把如何发现和提出问题渗透其中，实现了“四基”“四能”的融合，是发展学生数学学科核心素养的有力举措.

三、关于信息技术与数学教学的融合

因为本次活动的主题是“新技术支持未来教育”，所以这里对本节课中用信息技术支持教学（主要是在信息技术使用的点，以及如何使用上）提出一点看法.

1.合理选择、有效利用信息技术

这节课中的信息技术使用，一是课前检测，二是学习任务的推送，学习结果的收集和点评.

在课前检测中，结果是即时生成的，教师可以立即看到学生解答的准确率，发现存在哪些问题，并及时进行补救.

利用信息技术推送学习任务，可以设计个性化学习任务，给不同的学生发送不同的学习任务；同时也可以节省时间，让学生有更多的时间用于思考；还可以利用技术收集与展示学生的不同思考结果，达到更有效而充分的交流互动，学生在相互启发中自然而然地培养了探究能力.

在后续学习函数的表示法、研究函数性质的过程中，信息技术应该更有用武之地.

2.利用信息技术提高课堂教学效率

信息技术与数学教学融合可以减少“人力劳动”，让计算机去做重复性工作.本节课中，教师用平板电脑推送课前检测和目标检测题，利用技术手段展示学生解决问题的过程，实时反馈学生完成问题的作答情况，组织学生对错误答案进行讨论交流，从中可以看到教学生态的变化，课堂互动方式的变化，极大地增强了师生互动的效果和效率.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.