基于马尔科夫预测的分层教学下教学质量量化模型

王勇

【摘要】本文以高等数学课程为例，建立了基于马尔科夫预测的分层教学下教学质量的量化模型，利用此数学模型，可以对分层教学下的任课教师教学质量进行动态评价.

【关键词】分层教学；马尔科夫链；标准分

一、引 言

高等数学是大学一年级的一门重要的课程，内容丰富，抽象费解，要求学生具有一定的初等数学基础和抽象思维能力.大一新生来自五湖四海，数学基础良莠不齐，因此，不少院校采取分层教学的模式，通常做法是根据新生入学数学成绩（或分层考试数学成绩）把新生编到相应层次的教学班施教，一段时间后进行阶段水平测试（单元、期中、期末考试等），根据考试成绩再次分层.如何评价不同层次班级中任课教师的教学质量是一个必须解决的问题.本文尝试运用马尔科夫链相关理论来解决这一问题.

二、马尔科夫链简介

（一）马尔科夫链及一步转移概率矩阵

设{X（n），n=0，1，2，…}为一随机过程，状态集为E={i0，i1，i2，…}，

若对于任意的n及{i0，i1，i2，…，in+1}，

有P{X（n+1）=j|X（n）=in，X（n-1）=in-1，…，X（1）=i1，X（0）=i0}=P{X（n+1）=j|X（n）=in}，则称此过程为马尔科夫链.记pij（k）=P{X（k+1）=j|X（k）=i}（k=0，1，2，…），

称pij（k）为马尔科夫链在时刻k时所处的状态为i，下一步将处于状态j的一步转移概率.若pij（k）（k=0，1，2，…）与时刻k无关，则称这样的马尔科夫链为齐次马尔科夫链，这时pij（k）简记为pij，并且令

P=p00p01p02…p10p11p12……………pi0pi1pi2……………，

称矩阵P是齐次马尔科夫链的一步转移概率矩阵.

（二）齐次马尔科夫链的多步转移概率及其遍历性

设{X（n），n=0，1，2，…}为齐次马尔科夫链，状态集为E={1，2，…}，

记p（n）ij=P{X（n）=j|X（0）=i}（i，j=0，1，2，…，n=1，2，…），称p（n）ij为此齐次马尔科夫链的n步转移概率.若对于所有的状态i，j∈E，极限 limn→∞p（n）ij存在（设为πj，πj与i无关），则称此齐次马尔科夫链具有遍历性，并称πj为状态j的稳态概率.

（三）有限状态齐次马尔科夫链的遍历性定理

可以证明：设齐次马尔科夫链{X（n），n=1，2，…}状态集为E={1，2，…，N}，若存在正整数m，使对任意的i，j∈E，有p（m）ij>0，则此齐次马尔科夫链具有遍历性，且各状态的稳态概率π=（π1，π2，…，πN）是方程组π=πP，（∑Nj=1πj=1，π1，π2，…，πN>0）的唯一解.

三、状态空间的划分

（一）标准分

由于每次水平测试，测试内容的难易程度、试卷本身的难易程度，评分标准等不尽相同，为此，引进标准分的概念.设X为某次水平测试后某名学生的考分，μ，σ2分别是该次测试的样本均值和样本方差，记Y=X-μσ，称Y为该生在该次测试的标准分.由中心极限定理，可以认为Y近似服从标准正态分布.

（二）状态空间的划分

状态空间的划分可采用如下方法（下表），也可根据具体情况采用其他划分方法.

状态划分表

状 态1（优）2（良）3（差）

状态区域Y>1-1≤Y≤1Y<-1

概 率0.1580.6840.158

四、一步转移概率矩阵的计算

考虑先后两次水平测试，ni表示某位教师所教班级第一次测试处于状态i的学生人数，nij表示该班级先后两次测试由状态i转移到状态j的学生人数，则一步转移概率可近似取成pij=nijni，从而该班级的一步转移概率矩阵可近似取成P=（pij）=nijni.

五、教学质量量化值的计算

为了量化教学质量，可以预先对每个状态i赋予分值qi，这样就可计算出被评价的班级的教学质量量化值：Q=∑iπiqi.

六、結束语

本文建立了基于马尔科夫预测的分层教学下教学质量的量化模型，利用此模型，可以量化分层教学下的任课教师教学质量，动态评价教学效果，模型可操作性强.由于模型认为某次考试学生成绩近似服从正态分布，并且用一步转移频率矩阵近似一步转移概率矩阵，因而，不可避免地带来误差，从而在一定程度上影响评判的效果，如何有效减少误差，有待进一步分析与研究.

【参考文献】

[1]李裕奇.随机过程[M].北京：国防工业出版社，2003.

[2]程恒，屈小妹.马尔科夫链在教学评价中的应用[J].湖北师范学院学报：自然科学版，2015（1）：75-78.endprint