看透高考压轴题的数学背景

2018-01-29涂勇

数学教学通讯·高中版 2017年12期

关键词：压轴题高考

涂勇

[摘要] 文章通过对三道高考题的数学背景的探索，试图挖掘高考压轴题的编制思路，并尝试了原创压轴题.

[关键词] 高考；压轴题；数学背景

高考压轴题以其创新的形式、思维的深度和灵活性著称，但压轴题也不会脱离数学的核心和本质，不是一味地追求技巧和复杂度，压轴题的背后往往有深刻的數学背景知识. 笔者在教学过程中，遇到几道高考压轴题，就是如此，下面做出说明.

例1 （2013广东理科第8题）

设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}，集合S={（x，y，z）x，y，z∈X，且三条件x

A. （y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S

B. （y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S

D. （y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S

分析：答案是B. 本题可以通过取特殊值或者分类讨论得出结果，但这些方法都没有看清本题的数学本质. 笔者认为本题的数学背景是圆排列情形. 事实上，x

例2 （2013重庆理科第10题）在平面上，⊥，==1，=+，若<，则的取值范围是（）

A. 0，

B. ，

C. ，

D. ，

分析：答案是D. 笔者认为：本题的数学背景知识是平面四边形的四边平方和等于对角线平方和，也就是三角形的中线公式. 解法如下：本题中，OM既是△OAP又是△OB1B2的中线.利用中线公式，在△AOP中，有2（OA2+OP2）=（2OM）2+AP2；而在△OB1B2中，有2（OB+OB）=（2OM）2+B1B，于是有OA2+OP2=OB+OB=2.

例3 （2014湖北理科第14题）如图2，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB=2.

（Ⅰ）圆C的标准方程为________；

（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：

①=；②-=2；③+=2，

其中正确结论的序号是_________. （写出所有正确结论的序号）

分析：本题的背景知识是：阿波罗尼斯圆和调和分割. 设EF为圆O的直径，若点B，A调和分割线段EF，而EF的中点为O，于是有结论：①对于圆上任意一点M（或N），=为定值；②OA·OB=OE2. 于是本题第（Ⅱ）问可以这样求解：由圆C的切割线定理可知OA·OB=OT2=1=OM2，于是B，A正好调和分割线段EF. 设OA=x，于是x（x+2）=1，x=-1，因此====+1.

高考压轴题并不是仅仅在拼技巧和凑数据，一方面压轴题的出题要兼顾高中数学知识载体，另外一方面也要体现数学的思维和本质，于是利用一些适合的数学背景知识，就可以做出具有创新性的压轴题.笔者在教学过程中也曾经利用这种处理办法出了一道全新题目.

例4 （笔者新编）过椭圆C：+=1（m>0）的右焦点F作直线l与椭圆C交于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于P点，若以|MN|、4|PF|、长轴长为边长可以构成长轴长为最大边的钝角三角形，则m的取值范围是（）

A. ，4

B. 0，

C. ，4

D. 0，

答案：B

解答：+=1，y=k（x-c）？圯（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0，

x1+x2=，MN=2a-e（x1+x2）=，MN的垂直平分线为：y+=x-，令y=0，得xp=，于是PF=c-xp=，所以PF=MN.

因为以MN、4PF、长轴长为边长可以构成长轴长为最大边的钝角三角形，

设MN=x，于是有x+2ex>2a，x2+（2ex）2<（2a）2 ？圯x∈，，

由于焦点弦长的范围是，2a，于是，∩，2a≠，