曲径通幽 别有洞天

周文灿

摘 要：函数与解三角形的综合问题是三角形问题的一部分。正、余弦定理和函数两者的综合考查屡见不鲜。本文通过分析一道解三角形题目，以三角形为背景，考查了解三角形中的正弦定理、余弦定理、基本不等式以及最值问题，考查的知识点较多，知识的融合性比较强，属中档题。此类问题的解决方法是：其一，要灵活地把所求问题化归成我们熟悉的问题；其二要准确熟练地活用三角公式及其变形；最后，要注意题目中的限制条件，如角的范围等。

关键词：解三角形；函数；一题多解；多变量

一、试题再现

在△ABC中，已知AB=2，AC2-BC2=6，则tanC的最大值是__________。

二、试题赏析

学科内综合问题是高考的热点问题之一。新课标高考要求，对基础知识的考查要注重学科的内在联系和知识的综合性，在知识网络的交汇处设计试题。函数与解三角形的综合问题是三角问题的一部分。正、余弦定理是三角形边与角的等量关系，而函数主要体现在变量（如角度、长度）的变化，所以两者的交汇是自然的，两个方面的知识综合考查屡见不鲜。此类交汇问题的解决关键是：其一，要准确熟练地活用三角形公式及其变形；其二，要注意角的隐含信息，如角的范围等。

笔者是一位高三数学教师，现在我们一轮复习正在复习三角函数、解三角形。近期作业中出现了上述这道填空题，班级里面只有个别学生会做这道题。下面我们一起来分析一下这道题目。

本题以三角形为背景，考查了解三角形的正弦定理、余弦定理、基本不等式以及最值问题，考查的知识点较多，知识的融合性比较强，属中档题，是不可多得的好题。

在解题过程中，我们需要灵活运用数形结合与三角形中正弦定理、余弦定理，结合题目特点从侧面出发可以得出多种解法，达到解决问题的目的。

三、思路分析

审题发现，本题的条件有：①△ABC中；②AB=2；③AC2-BC2=6。

条件①说明本题给出的条件在三角形中，条件②说明三角形中有一条边是定值，条件③说明两条长度不确定的边之间，有一种等量关系。

所求的是∠C的正切的最大值，需要求得∠C的正切的表达式，运用数形结合、函数法或基本不等式法等方法来求解。

四、多维剖析

思路1：分析可知，要求得∠C的正切的表达式，可以先求∠C的余弦值，亦即当∠C的余弦值取得最小值时，∠C的正切值取得最大值。因此根據余弦定理，解得∠C的余弦值，借助边AB和BC的等量关系，消去AC，表示出∠C的余弦值，通过基本不等式求解最小值。

解析1：在△ABC中，由余弦定理得

到这儿把表达式化成关于BC的函数式，下面用基本不等式来解决它，就需要将表达式变形，此时BC=，tanC

取得最大值。

本题中答案要求的是tanC的最大值，然而tanC的求解公式比较少，所以问题可以化归成求∠C的相关三角函数值。通过比较发现，求余弦值比较容易，所以运用余弦定理。在计算过程中，AB?AC的处理也是一个难关。已知条件AC2-BC2=6是一个方程，在平时复习的时候我们经常强调：方程的本质是为了消元，所以可以利用已知条件把AC消去，得到?BC，得到一个只关于BC的式子，接下来可以运用基本不等式求解最值。若学生在此处遇到障碍，可以告诉学生分析多变量是解题的关键，寻找它们的内在联系，也往往暗示着解决问题的目标和方向，运用课堂上学到的知识来分析、解决，“不畏浮云遮望眼”，透过现象看本质，为解决问题提供有效的途径。

思路2：解法1中，由余弦定理的方程，化成关于的二次方程，用△≥0求得cosC的范围，再由tanC的单调性求得，当cosC取得最小值时，tanC取得最大值。

解析2：由余弦定理可得：

4=a2+b2-2abcosC，

，

∵△≥0，∴可得cosC≥，

∵b>c，可得C为锐角，tanC取得最大值。

当然本题应用解析几何的方法也可以，以AB为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，设C点的坐标为（x，y），根据AC2-BC2=6解得点C的轨迹方程，把∠C转化成两条直线BC、AC的倾斜角之差，利用斜率来求解。因为一轮复习还没有复习到解析几何，这儿就不详细介绍了。

上述的方法1和2充分应用了现阶段复习的函数知识、余弦定理、基本不等式等相关知识，而函数、三角问题又是高考的热点问题，也是高三复习的重点内容，这道题目很好地把这些内容融合到一起，是一道不错的题目。endprint