流体表面毛细波与激光照射共同作用产生的光环现象

赵金瑜 关国业 林 方

(四川大学物理科学与技术学院，四川 成都 610064)

一束稳恒射流沿竖直方向自由下落，撞击一块水平放置于出射口下方数厘米处的硬质阻隔板，可以观察到撞击点上方液柱表面形成类似“驻波”的稳定周期性波形分布，即表面毛细波现象，如图1(a)所示。早在20世纪五六十年代，Wada Y和Lienhard J H便先后观察到并研究了液柱表面毛细波传播现象[1,2]。近十几年来，对此现象的研究有了新的进展。Ji W和Setterwall F首先注意到了表面活性剂对液体表面毛细波的影响[3,4]。随后，Awati K M和Howes T在理想流体基础上考虑了牛顿黏性力的作用，对黏性液体的表面毛细波进行了分析[5]。Hancock M J等人在早年Adachi K实验基础上[6]分析了重力场下平面射流的性质，给出了液柱中段出现表面毛细波的条件[7]。Eggers J和Villermaux E则对圆柱射流的实际应用进行了综述[8]。2013年，Massalha T和Digilov R M从修正的伯努利方程出发，得出了重力作用下自由下落液柱的表面形状函数[9]。2015年，巩欣亚等人实验探究了不同参量对毛细波形态的影响[10]。

透明液体对光有透射、折射、漫反射和全反射等多重作用，因此透明液体受到光的照射会产生奇妙而美丽的现象，比如夜晚五彩缤纷的音乐喷泉。竖直液柱的表面毛细波存在周期性细微结构，因此当液柱与阻隔板的接触点受到激光照射时，可以观察到在液柱表面形成若干亮暗相间的光环，如图1(b)所示。与此现象有关的问题亦出现在2016年第29届国际青年物理学家锦标赛(International Young Physicists’ Tournament，简称IYPT)上[11]。

图1 观察照片(a) 液柱表面稳定毛细波； (b) 激光照射下的光环现象

本文的主要内容包括： (1)以理想流体与定常流动为前提假设，通过伯努利方程建立竖直自由下落液柱的流场方程，推导表面毛细波波长的隐性表达式；(2)设计并搭建稳定可控的实验装置，对理论表达式进行定量验证；(3)通过半定量实验，探究了不同参量对光环形态的影响；(4)运用仿真软件模拟激光与液柱相互作用之后的空间光场分布；(5)分析液柱表面光环的成因。

1 液柱表面毛细波

1.1 理论分析

图2 液柱形态(a) 实验中自由下落的液柱； (b) 坐标系及描述液柱运动的物理量

竖直自由下落的液柱形态如图2(a)所示。以液体出射口中心为坐标原点O，竖直向下方向为z轴，建立柱坐标系r,θ,z，如图2(b)所示。对液柱轴线上与出射口距离为z的P点应用伯努利方程[12]，可得

(1)

对于任意弯曲液面内外的压强差，有拉普拉斯公式[13]

(2)

其中，R1、R2为液面上相交于考察点且相互垂直的两条任意曲线C1和C2的曲率半径。取C1为竖直液柱表面与过P点的水平面的相交曲线，即以P点为圆心、rz为半径的圆，于是有

(3)

取C2为液柱表面与过z轴任一竖直平面的相交曲线，即液柱侧面母线。在离开出射口一段距离之后，液柱半径rz随z变化很小，即母线近似为直线，因此有

(4)

O、P两点的压强等于大气压强与液柱表面张力的附加压强之和，将式(3)、式(4)代入式(2)，得到

(5)

其中，pb为大气压强；σ为液体表面张力系数；r0为O点处液柱半径，即液体出射口半径。

将式(5)代入式(1)，可得

(6)

引入竖直下落流体系统的无量纲常数，即Froude数和Weber数，其定义为[5]

(7)

代入式(6)，可得

(8)

此外，液柱对任意水平截面的通量守恒，即满足守恒关系

(9)

其中Q为液柱流量。联立式(8)或(9)即可得到竖直下落液柱的截面半径公式

(10)

本文实验采用纯净水，可视为理想流体，粘滞力的影响可以忽略，即We→∞，于是式(10)可写成

(11)

最后，结合Navier-Stokes方程与边界条件(11)，可解得恒流理想流体液柱表面任意一点流速U与该点附近毛细波波长λ的关系为[3,7]

(12)

式中，Inx为n阶第一类修正型贝塞尔函数[14]。由此，在实验中测量液柱某处流速与该处表面毛细波波长的关系并与式(12)进行对比，即可验证实验液柱满足恒流理想流体假设，以及毛细波理论的适用性。

1.2 实验验证

图3 实验装置示意图

实验装置示意图如图3所示。实验所采用的水流发生源为实验室恒流水龙头。一段长1.2m的恒定管径医用橡胶管将水龙头与竖直放置的长度为30cm的摩尔管相连，摩尔管管口即液柱出射口。在出射口正下方0～12cm的可调范围内水平放置一块硬质阻隔板(如PVC防潮板，玻璃板或不锈钢板)。照射源采用波长650nm、额定功率5mW的激光笔；用铁架台夹持激光笔以便调节其照射角度。摄像设备采用Apple® iPhone 6s移动电话主摄像头，镜头光圈f/2.2，焦距4.15 mm(等效焦距29 mm)，像素1200万；摄像头经砖墙测试在所用焦段不存在可见的桶形或枕形畸变。

实验前，用水平仪将阻隔板调至水平，将摩尔管调整并固定在竖直方向，确保二者相互垂直。将拍摄到的毛细波图像导入软件Tracker，并以管口一侧同一焦平面上沿竖直方向固定的刻度尺作为定标依据，即可读取出液柱半径、毛细波波长等所需参数，如图4所示。

图4 实验时的照片(a) 以刻度尺作为Tracker定标依据； (b) 利用Tracker对毛细波图像进行参数测量

图6 PVC防潮板作为阻隔板(a) 方位角90°； (b) 方位角180°； (c) 方位角270°； (d) 方位角360°

图5 表面毛细波波长与测量点流速函数关系的实验与理论对比图

2 不同参量对光环形态的影响

本节采用半定量方法，探究光环形态如何受不同参量影响，为后文分析光环成因提供实验对照。其中，照射距离指的是激光笔出射端到液柱与阻隔板接触点的距离；激光入射角指的是激光光束与水平面夹角；观察视角指的是摄像镜头轴线与水平面夹角。

2.1 阻隔板表面漫反射率

实验保持激光入射角40°，照射距离40cm，观察视角45°不变，分别以PVC防潮板和高抛光镜面不锈钢板作为阻隔板，分别从90°、180°、270°、360° 4个方位进行摄像，如图6、7所示。可以看出，采用PVC防潮板作为阻隔板时4个方位角皆可观察到光环，且光环亮度和明暗环相对位置不随拍摄方位角发生明显改变；当使用镜面不锈钢板作为阻隔板时，虽然液柱表面存在毛细波，但仅在观察角为180°时观测到狭窄的点状光环。据此推测，如果激光在照射点附近发生镜面反射，则光线最终只能沿一个狭窄方向射出，因此只有在特定方位角才能观察到光环；反之，如果激光在照射点附近发生漫反射，则可以形成全向光场，因此各个方向均可观察到光环。此结论将在后文通过软件仿真加以分析。

图7 镜面不锈钢板作为阻隔板(a) 方位角90°； (b) 方位角180°； (c) 方位角270°； (d) 方位角360°

图8 激光入射角度对光环形态的影响(a) 入射角20°； (b) 入射角30°； (c) 入射角40°； (d) 入射角50°

2.2 激光入射角

实验中控制照射距离40cm，观察视角45°不变，阻隔板采用PVC防潮板；改变激光入射角，实验结果如图8所示。光环出现位置及明暗程度并没有发生明显变化。如果2.1节结论成立，即光环的产生源于激光在照射点附近发生的漫反射，那么激光入射角度的改变不会使漫反射发生明显变化，从而不会明显改变光环形态。

2.3 观察视角

实验中控制激光入射角40°，照射距离40cm不变，阻隔板采用PVC防潮板；改变观察视角，实验结果如图9所示。当观察视角很小时几乎不能观察到光环；随着观察视角的增大，可观察到的光环数目逐渐增多，亮度也随之增大。值得注意的是，液柱表面每一个毛细波波长内都存在一个亮环和一个暗环，相邻亮暗环宽度之和等于毛细波波长，不随视角改变而改变，此现象将在第3节进行分析。

3 光环成因分析

从上文实验结果分析，光环的产生及其形态依赖于两方面：液柱表面毛细波；激光在液柱与阻隔板接触点附近的漫反射和液柱内部光场分布。前者决定了相邻亮(暗)环之间的间距；后者则决定了光环出现与否以及光环的亮度和可见个数。

图9 观察视角对光环可见个数和亮度的影响(a) 视角20°； (b) 视角30°； (c) 视角40°； (d) 视角50°

3.1 毛细波波长与光环间距

图10 亮暗环分布与毛细波波形关系示意图

3.2 阻隔板漫反射率对光线分布的影响

实验发现，不论阻隔板表面光滑与否，液柱都存在表面毛细波，且具有基本相同的结构；然而只有粗糙的阻隔板能形成光环，其区别在于激光在液柱与阻隔板的接触点附近发生的反射类型不同。对于镜面，高准直激光束在接触点发生镜面反射，反射方向单一，从液柱表面直接出射或经过几次反射后出射，绝大部分液柱表面没有受到激光照射，因此不易观察到光环现象；对于表面粗糙均匀的PVC防潮板，激光束在照射点发生漫反射，液柱内部形成以接触点为中心的辐射状光场，使整个液柱表面都能得到光线的照射，因此任意角度均可观察到光环现象。

对液柱进行CAD三维建模，可得到几何参数与实验基本一致的液柱模型(如图11所示)，将其导入光学仿真软件Tracepro®即可模拟光场分布。模拟参数设置如下： (1)激光波长为650nm、水柱折射率为1.33136、吸收系数为0.00034；(2)光线在“液体-空气”界面将发生ABg散射，散射参数设置为：吸收率0.01、镜面反射率0.01、镜面透射率0.9797；(3)激光光场满足高斯分布，入射角为40°，照射距离为40cm，光线条数为5700，辐照度10W/m2。(4)将阻隔板漫反射率分别设置为99%(对应PVC防潮板)、50%和0(对应镜面不锈钢)。由此生成的光线分布如图12所示。

图11 利用CAD对液柱表面进行三维建模

图12 阻隔板漫反射率对光线分布的影响第1行为侧视图，第2行为俯视图，从左至右漫反射率分别为99%、50%和0

从图中可以看出，当漫反射率为99%时，激光经接触点反射后光线呈全空间均匀辐射状分布，意味着此时从任何角度均可观察到光环现象；随着漫反射率减小，光线在水平面内的发散均匀性被打破，光线主要集中于激光的镜面反射方向及其反方向，其余区域的光照强度减弱；当漫反射率为零时，激光发生镜面反射，只有从特定的观察角(180°，即镜面反射方向)才能观察到狭窄光环，与2.1节实验结果相符。此外，不少光线经阻隔板反射或经多重全反射后沿竖直方向从液柱上表面射出，因此在摩尔管口和管内上液面应可观察到有光线溢出；实验中也观察到了此溢光现象，如图13所示。

图 13(a) 摩尔管口处溢光现象； (b) 摩尔管内上液面处溢光现象

4 结语

综上所述，本文对理想流体表面毛细波与激光照射共同作用产生的光环现象进行了研究，认为液柱表面光环形成过程如下： (1)液柱与阻隔板撞击形成表面毛细波。(2)激光斜入射到液柱与阻隔板的接触点并发生漫反射。(3)漫反射光照满液柱的整个侧表面。(4)表面毛细波的存在使液柱表面曲率周期性变化，因此，到达液柱内表面的漫反射光根据到达处液面曲率分为两部分：若到达处液面曲率未达到全反射条件，则这部分光折射到空气中(此处呈现亮环)；否则，则通过全反射回到液柱内部(此处呈现暗环)，相邻亮暗环宽度之和等于毛细波波长。(5)全反射回到流体内部的光继续在流体内部传播并在距离接触点更高位置的内液面处再次发生折射或全反射，形成一系列亮暗相间的光环，且亮度自下而上递减。由此可见，流体表面毛细波和激光在接触点处发生漫反射是产生光环现象的必要条件，二者缺一不可。

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