从麦克斯韦方程中看磁单极子

佘雨时

【摘要】磁单极在科普读物中经常被提及，本文从电荷有正负两极之分出发，引入磁也有可能具有南北两个磁单极子，并就从麦克斯韦方程组中的两个方程出发，给出自己关于磁单极的看法，最后并就目前探究磁单极子进展进行一定的概述。

【关键词】高斯定理  电通量  磁通量  磁单极子  磁荷

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0154-02

一、前言

电和磁遍布现代社会方方面面，早在十九世纪英国物理学家麦克斯韦就创造出了伟大的麦克斯韦方程组，正因为这组方程，使我们能够知道磁和电有着不可分割的联系。大家都知道自然界有正电荷和负电荷之分，人们可以单独得到正负电荷，但是对于磁来说，却很少有人说有南北极分开的磁单极子，这样我就想是否磁场也是由正负磁荷产生的呢，如果磁能够和电一样也有类似于电荷那样的磁单极子，那么电和磁就会有高度的对称性，麦克斯韦方程组中关于磁的方程也会被改写。尽管很多理论学家预测磁单极子的确存在，可是至今我们仍未得到磁荷，即单独的南极或北极，就经验而论磁具有固有双极，即南极和北极是成对出现的，一个磁铁，从中间截断，之后还会得到两个小磁铁，再分割还是会得到四个更小的磁铁，这样无论如何分割最后剩下的部分又会重新形成新的南极或北极。那么，是否存在着磁单极子呢？下面我将从描述电场是有源场的高斯定理出发，再论磁场的高斯定理，从中给出我自己的一些想法。

二、电荷为什么能称作电荷

对于任意闭合平面，我们有高斯定理

？蓐E·dS=■    ①

其中E为电场强度，dS为微元的面积，q为曲面内的电荷量。从上面的式子中我们可以看出穿过一个闭合曲面的电通量是和这个曲面包含的电荷成正比的。对于上面①公式可以看作是麦克斯韦方程组中下面②公式的变形。

？荦·D=ρ     ②

其中D=？着0 E

由①式可得？蓐D·ds=q

取一小长方体（如图1所示），记最接近原点的那一点坐标为（x，y，z），令该长方体在x方向上的长度为△x，在y方向上为△y，在z方向为△z。考虑3、4面：由3进入立方体的通量为？蘩Ez·△x△y，由于△x△y△z极小，故可用A点的电场做近似处理记做-EZ3△x△y，同理，由4进入的通量为EZ4△x△y由于3、4两面存在微小的差异，△z极小时，有

EZ3=EZ4+■△Z。

因此，将3、4面的通量相加，可得到在Z方向上的通量为■△x△y△z。同理，1、2面的通量为■△x△y△z; 5、6面通量为■△x△y△z。

从而

？蘩立方体E·dS=■+■+■V

因为？荦=■+■+■，我们因此可以得出：

？蘩立方体E·dS=（？荦·E）△V

这就证明了小立方体向外的通量等于该矢量的散度乘以立方体的体积。进而易得到高斯定理？荦·D=ρ。由此说明电荷发出的场为有源场，因此可以说明存在可分离的正负电荷。

三、为什么不存在磁荷

当我们在画一个磁铁产生的磁力线时，我们通常是将磁力线从北极出发，经外部回到南极，然后又进入磁铁内部，最后回到北极。这就表明，磁场和电场有着明显的区别，电场的方向可以从一个孤立的正电荷到另外一个孤立的负电荷，再由正电荷回到负电荷，这两个孤立的正负电荷都可以作为电场的发射源，所以说电场是一种有源头的场;而对于磁场来说南北极不能孤立存在，它们是一个整体，磁力线从某一点出发最后又回到了这一点，所以说是一种没有源头的场，就是无源场。

根据毕奥-萨伐尔定律：

dB=■■

可以得到B=■？蘩V■dV′

其中J（x′）为电流元x′上的电流密度，r为x′到场点 x的位矢，？滋0为真空磁导率。

不妨设i，j，k为x，y，z方向上的单位向量，r=xi+yj+zk=■■

？荦r=■i+■j+■k

=■i+■j+■k

=■

故■？荦r=■，则B=-■？蘩VJ（x′）×？荦■dV′，由于x和x′无关，而？荦是对x的算符，与x′无关。

所以：？荦×J（x′）■=？荦■×J（x′）

所以B=■？犖×？蘩V■dV′=？荦×C，其中C=■？蘩V■dV′

？荦·B=？荦·（？荦×C）

下面证明？荦·（？荦×C）=0

记C=Axj+Ayj+Azk，则

？荦×C=■

=■k+■i+■j-■j-■k-■i

？荦·（？荦×C）=■-■+■-■+■-■=0

所以？荦·（？荦×C）=0，即？荦·B=0。

若存在磁荷，和电荷类似，磁荷作为磁场的源，应满足？荦·B≠0。与上式矛盾，故可证明磁场是无源场，也解释了为什么至今仍未发现磁荷的一个重要原因。

四、对上述两个麦克斯韦方程的理解

对于一个有源场，通过单位体积的一个闭合曲面的通量应该不等于0;而无源头的场，通过单位体积的一个闭合曲面的通量应该为0。我们可以用法拉第的研究方法，即用电力线和磁力线来刻画和理解电场与磁场。不妨假设电场强度正比于电力线的根数，则电力线越密，单位体积内电场的散度越大。为了便于理解，我们可以取一个球面来分析。假设一个球面中存在一个点电荷，则由？荦·E=■易知其散度不为0，所以有电力线从球面穿出，呈向外的发射状，这也解释了电场是一个有源头的场。

同理，当我们用磁力线来描述一个磁场时，穿过一个曲面的磁力线的疏密情况与这个曲面上的磁通量大小成正比关系，这样假设一球面内有一小磁铁，根据？荦×B=0易知B的散度为0，因为磁不存在磁单极子，南北极是同一点，那么磁力线是一个闭合的曲线，经发射离开球面后又会进入球面，也就是说进入这个球面的磁力线根数与穿出这个球面的磁力线根数是一样的，最后一正一负抵消掉了，所以通过球面的磁通量为0。

五、磁单极子的进展和意义

由于目前我理解的限度，只能从麦克斯韦方程组中的电与磁的高斯定理出发，来理解电场是有源场，但是磁场却是无源场，也就是存在电荷但是却不存在磁单极子，电力线有端点但磁力线却没有端点。但是历史上在1931年的时候，英国物理学家保罗·狄拉克却提出了不同的观点，他的观点是即使磁力线是封闭的，也会存在磁单极子。他从量子力学的角度论述了磁单极子与磁力线封闭可以共存，条件是磁荷与电荷一样满足特定的量子化条件（即任何带电粒子的电荷是单位电荷的整数倍，任何磁单极子的磁荷是单位磁荷的整数倍），并且磁荷的存在可以用来解释电荷的量子化。并且狄拉克指出磁单极子的磁荷比基本电荷要大出许多，这也就意味着磁荷之间的相互作用力比电荷之间的相互作用力大出许多，必须要非常大的外力才能把相互吸引的磁荷给分割开来，这也就是电子在很久之前就被发现了，但是磁单极子却一直没有被发现的原因。后来又有许多科学家在狄拉克的基础上作了一些新的工作，进一步在理论上证明了磁单极子存在的可能性。

尽管理论已经预言了磁单极子存在，但是却一直没有发现一个可靠的实验去验证这一结果，大多数实验都因为无法探测到磁单极子的存在或者是探测到后不可重复实验而告终。所以对于磁单极子是否真的存在，大家的看法还是不一。

虽然目前还没有发现磁单极子，但是科学家还在不懈努力，争取早日发现磁单极子。因为发现磁单极子对于物理学有着极其深远的影响，并且有很高的实用价值。磁单极子的发现不仅关乎着物质磁性的起源，还和电磁之间的对称性有着密切的联系，同时研究磁单极子对于宇宙早期的演化理论以及微观粒子结构理论至关重要。

六、总结

本文通过麦克斯韦方程组中的电场和磁场的高斯定理，从一个角度阐释了为什么至今仍未找到磁单极子的原因之一：磁力线是一个闭合的曲线，其上任意一点都可作为发射源或接收源，所以无法找到磁单极子。当然，历史上也有不少人坚持存在磁单极子，之所以目前仍未得到，是因为正负磁荷结合得太紧密，以致用现有的方法仍无法将其分离。我们还应该对磁单极子有进一步深入的研究，如果发现真的存在磁单极子，那么势必将迎来新一波科学和技术的大飞跃！

参考文献：

[1]刘光华，邓小燕.磁单极子进展概述[J].大学物理，2010（11）：1-5.

[2]徐湛.磁單极的三世三生——本科生硕士生博士生层面的磁单极精讲[J].物理与工程，2015（02）：12-18.

[3]万蔡华，韩秀峰.寻找磁单极子[J].物理，2016（10）：670-671.